MÉTHODE NUMÉRIQUE

La méthode précédente présente Tinconvénient que les erreurs se propagent de sommet en sommet. Si Ton rapporte des azimuts, les droites du dessin restent, à vrai dire, parallèles aux alignements du terrain; mais les erreurs s'amplifient lorsqu'on rapporte des angles au lieu de rapporter des azimuts.

Dans la méthode numérique, au contraire, chaque point est déterminé par ses coordonnées et se rapporte d'une manière absolument indépendante des points voisins, de sorte qu'une erreur n'affecte que le sommet où elle a été commise. On peut de plus tenir compte de fractions qui restent négligées dans la méthode graphique.

Cette méthode est donc plus exacte, mais aussi beaucoup plus lente. Elle s'appliquera toujours, lorsque le plan aura été levé au moyen d'une triangulation faite au théodolite, car ce sera le seul moyen de conserver au plan l'exactitude du lever.

Les coordonnées des points à rapporter se déterminent généralement par rapport à la méridienne prise comme axe des Y et à la ligne E.-O. prise comme axe des X. On commencera donc par tracer une méridienne en Tun des sommets, par un des procédés indiqués ci-après, et Ton mesurera au théodolite l'angle que fait un des alignements avec cette méridienne, c'est-à-dire l'azimut vrai de cet alignement.

Pour déterminer les coordonnées des sommets, il faut calculer l'azimut vrai de chaque alignement, connaissant l'azimut de l'un deux et les angles que les alignements font entre eux.

Soit, fig. 61, une ligne polygonale A.BGD et soit a.

l'azimut vrai du cûté AB.

L'azimut ^ du cbié bC est égal à l'angle B-(180-a) = a + B — 180. L'azimut y du côté CD sera de même égal à P + G — 180. Les angles B et C sont mesurés du mémo côté de la ligne polygonale.

Mg. t.1. Ces azimuts étant déter-

minés, il est facile d'en déduire les coordonnées des sommets, connaissant la longueur des alignements.

Les coordonnées du point B sont :

I = AB si» a.

y = A B cos a.

Les coordonnées du point C sont :

x' = X + B C stn p.

y' =: y -t- B C CM p.

Les coordonnées sont positives vers le Nord et vers l'Est; leurs signes concordent donc avec celui des lignes trigonométriques.

De même que nous venons de passer de la valeur des alignements et des angles à celle des coordonnées, on peut aussi se trouver dans le cas de passer de la valeur des coordonnées à celle des alignements et des angles. On applique pour cela deux formules bien connues de la géométrie analytique plane :

1° Cslle qui donne la distance de deux points :

2* Celle qui donne la tangente de l'angle d'une droite avec

l'axe des y :

x' ~ X tgiX=M— .

Ces deux formules permettent de résoudre un grand nombre de problèmes : détermination de distances à vol d'oiseau, de l'azimut d'un alignement non jalonné, mais tracé à vol d'oi-

Prenons comme exemple le problème des trois points (voir page 112).

Ce problème peut se présenter comme ceci :

Connaissant les coordonnées de trois points ABC, calculer les coordoimées d'un point D d'où l'on a relevé les angles a ^ que font entre eux les alignements menés de ce point vers A, B, C.

Nous avons résolu précédemment ce problème connaissant les côtés a, b, c du triangle ABC et l'angle G, données qui nous ont servi à calculer les droites m, h, p.

Les longueurs a, b, c, de même que l'angle C, peuvent être exprimées en fonction des coordonnées de A, R, En effet, on a (fig.

Si l'on pose a4b + c=P, ona:

-«-^N/mI— )(f-')(f-«)

Après avoir déterminé numériquement ces valeurs, il est facile de déterminer de même celles de m^ n et p. L'angle du côté AG avec l'axe des y est donnée par

L'angle de AD avec l'axe des y sera égal à (p -f- S. Or pour calculer m, nous avons dû au préalable calculer 8 en fonction des coordonnées des sommets et de a et p. Les coordonnées du point D seront donc :

x^stx^-^-msin (180 — (y + 8)) = «i + ^ **** (f + 8). y sa t/i — mco$ (180 — (f -f • 8)) = !/i + w cos (y -f 5). On calculera de même ces coordonnées, au moyen de n ou de p, pour obtenir une vérification.

Le tracé du plan se fait sur du papier quadrillé, au décimètre par exemple. Suivant Téchelle, on saura immédiatement dans quel carré se trouve le point dont les coordonnées sont connues et Ton n'aura que des fractions à porter sur les côtés de ce carré pour déterminer le point en traçant deux parallèles aux axes.

Pour accélérer le tracé, on peut se servir d'instruments spéciaux, ordinatographes ou rapporteurs de coordonnées. Tous ces appareils reposent sur la combinaison d'une règle graduée avec une équerre à arête graduée munie ou non d'un vernier.

Pour accélérer le calcul des coordonnées, on se sert avantageusement de la règle à calculs.

Peu de temps après l'invention des logarithmes, Gunther imaginait une échelle logarithmique sur laquelle étaient portées graphiquement des longueurs linéaires proportion-

nelles aux logarithmes des nombres inscrits en regard des divisions de l*échelle.

On a ainsi une table graphique de logarithmes, dont on peut se servir, en prenant les logarithmes au compas, pour en faire graphiquement des sommes ou des différences, ce qui revient à effectuer des multiplications ou des divisions.

Au lieu de se servir du compas, on juxtapose aujourd'hui deux règles portant des échelles logarithmiques et pouvant glisser Tune sur l'autre; on obtient ainsi la règle à calculs sur laquelle les additions et les soustractions de logarithmes se font avec la plus grande facilité.

L'une des règles, au lieu d'être divisée proportionnellement aux logarithmes des nombres peut l'être proportionnellement aux logarithmes des sinus, des tangentes, des sinus carrés, etc.

Pour le calcul des formules tachéométriques, on a réuni plusieurs règles qui servent à calculer les deux formules fondamentales .

D = g sin* v

et ^ sa D cotg v => g sin^ v cotg v «■ -^ sin 2 v (l).

Les règles doivent être limitées en longueur pour la facilité du maniement ; pour augmenter l'étendue de Téchelle, on les a disposées concentriquement. Les angles au centre sont alors proportionnels aux logarithmes des nombres marques à l'extrémité des rayons; mais cette disposition réduit le nombre d'opérations que Ton peut effectuer avec un même appareil.

M. Hermann, professeur à l'École polytechnique d'Aix-la- Chapelle, a construit un cercle à calculs où les différentes

(*) Voir Note sur Vemploi de la Règle logarithmique dam les études de tracés de chemins de fer au tachéomètre, par G. Petitbois, ingénieur. Revue universelle des mines, etc.^ S« série, t. XIV, 1883.

échelles sont tracées concentriquement sur un disque mobile. Deux aiguilles dont une seule est mobile, permettent de prendre entre elles un angle proportionnel à un logarithnoe quelconque. On peut ainsi multiplier le nombre d'opérations efTectuables.

M. Boucher a construit un cercle du même genre qui a les dimensions et Tapparence d'une grosse montre portant un cadran sur chaque face.

Ces appareils ne doivent pas dispenser de raisonner les opérations; ce sont des mécanismes qui permettent défaire plus sûrement et plus rapidement les opérations qui reviennent le plus fréquemment, avec une approximation moindre que celle que donnent les tables, mais en général très suffisante, puisqu'avec la règle à calculs on peut obtenir trois décimales.

Tracé de la méridienne. I

Comme nous venons de le voir, le tracé de la méridienne est généralement la base du calcul des coordonnées. Le tracé de la méridienne est de plus nécessaire pour orienter un plan.

On ne peut en aucun cas se fier aux méridiennes du cadastre qui présentent des erreurs très graves.

Si Ton s'est servi d'une boussole pour lever le plan, il est

indispensable de tracer la méridienne d'orientation en un point où aucune influence magnétique ne se fait sentir. Pour cela, on lève un petit polygone dont le point choisi occupe un des sommets et l'on vérifie s'il ferme exactement.

Pour tracer la méridienne,on peut faire usage des différentes méthodes suivantes.

V Méthode des ombres. — Cette méthode repose sur le fait qu'à des distances égales de son passage au méridien, le soleil se trouve à des hauteurs égales au-dessus de l'horizon. II s'ensuit qu'il donne en ces moments des ombres également allongées. On plantera donc en terre un pieux vertical ou

— Ul —

gnomon et l'on marquera sur le terrain les extrémités de ses ombres, lorsqu'elles sont également allongées. En joignant ces points à la projection de Taxe du pieux, on obtient un angle dont la méridienne est bissectrice.

L'observation se fait plus exactement, en traçant plusieurs circonférences autour du pieux et en marquant les points où Fombre de son extrémité vient affleurer chacune d'elles ; en joignant ces points, on obtient des courbes d'ombre.

Les moments le plus favorables pour opérer sont les équinoxes, parce qu'alors la courbe d'ombre se réduit à une ligne droite. Après Téquinoxe d'automne,les ombres s'allongent et la courbe devient dans nos latitudes une hyperbole, dont le pied du gnomon occupe le foyer ; après Téquinoxe de printemps, elles se raccourcissent et la convexité de Thyperbole change de sens. Sous d'autres latitudes, on aurait une parabole ou une ellipse.

Cette méthode est trop grossière pour pouvoir être employée, si l'on recherche quelque précision.

2^^ Méthode des hauteurs correspondantes. — Les étoiles se trouvant à la même hauteur au-dessus de Thorizon à des distances égales de leur passage au méridien, on peut tracer une méridienne, en visant successivement la même étoile à la même hauteur de part et d'autre du méridien. Si l'on dispose pour cette opération d'un appareil muni d'un limbe horizontal, on déterminera sur ce limbe un angle dont la méridienne est bissectrice. On choisit une étoile voisine du pôle et l'on se sert d'un théodolite dont on maintient la lunette suivant une inclinaison constante pour viser l'étoile de part et d'autre du méridien.

L'inconvénient de cette méthode est de ne faire qu'une seule observation par nuit, à moins de noter l'inclinaison de la lunette au limbe vertical, ce qui expose à des erreurs.

On ne peut employer cette méthode que lorsqu'ondécouvre, du point où l'on se trouve, une grande étendue de ciel.

On peut aussi faire Topération pendant le jour en visant le bord supérieur du soleil et en ayant soin de placer un verre noirci devant Fobjectif ; mais il y a une correction à faire à r^use de Tobliquité de récliptique, correction dont on ne tient pas compte dans la méthode des ombres.

3* Méthodes des hauteurs non correspondantes, — Si Ton se trouve dans une vallée resserrée d'où Ton ne découvre pas une grande surface de ciel, on peut déduire, de trois positions observées d^une même étoile, celle qu'elle occupera au moment de sa culmination, c'est-à-dire de son passage au méridien. Cela revient à résoudre un problème de géométrie analytique plane 0).

4** Observation de t'étoile polaire. — On peut déterminer la méridienne, en observant l'étoile polaire, soit au moment de son passage au méridien, soit au moment de sa plus grande digression.

L'heure du passage de Pétoile polaire au méridien est donnée pour chaque jour, ou de 10 jours en 10 jours, dans les annuaires astronomiques. Dans les nuits d'hiver, Tétoile polaire passe deux fois au méridien. Ses passages supérieur et inférieur sont distants de 11 heures 58 minutes. Le jour sidéral étant de 23 h., 56', 4". 091, il y a chaque année un jour de 24 heures où la polaire a deux passages supélrieurs et un jour où elle a deux passages inférieurs au méridien.

Une instruction de Combes (â) donne le moyen de faire Tobservation avec un théodolite, une boussole, ou simplement avec deux fils à plomb.

On installe le théodolite sur son trépied, une demi-heure avant le passage ; on vise Tétoile^ on Tamène au centre du

(I) Uerg-und Huttenmànniiche Zettung, n® 47, 4876.

(*) Annales da mine», partie adminittrative, G* série» t. I, p. 445.

réticule et oo la points dans son mouvement apparent jasqu'A l'heure voulue indiquée €par une bonne montre qu'a» aura eu soin de régler dans la journée bur le temps moyen du lieu. « C'est là précisément la difQculté; mais en Belgique, elle peut être aisément éludée. En effet, les horloges intérieures des gares ont l'heure de l'Observatoire de Bruxelles & 2' près. L'heure de Bruxelles est applicable à toute l'étendue du pays, sans entraîner une erreur d'arc de plus de 2".

Une erreur de 2* dans l'instant du pointé n'entraînera pas une erreur de plus de 1 '/* minute d'arc dans la direction de la méridienne, obtenue par l'observation de la polaire.

Si la polaire passait au méridien en plein jour, on opérerait sur rétoile S de la petite Ourse (fig. 6i), l'erreur serait alors de 3' d'arc. Cette approximation est plus que sufllsante pour les levers à la boussole, qui ne donnent pas une plus grande approximation dans la détermination des azimuts.

On peut aussi observer l'étoile polaire, au moment de sa

plus grande digression ; ce moment est facile à saisir, parce

qu'en cet instant la projection horizontale du mouvement

apparent de l'étoile change de sens et par conséquent, l'étoile

suivie à la lunette du théodolite parait rester quelques instants

immobile. Il est donc inutile de connaître très exactement l'heure

de la plus grande digression.

SoitOP, fig. 63, l'axe du

monde, soit X la plus grande

digression de l'étoile polaire.

Le triangle sphérique PXZ

permet de déterminer l'angle

dièdre PZX, et par conséquent

la direction de la méridienne

CM, connaissant la direction

CD obtenue en visant l'étoile

au moment de sa plus grande

digression. Le triangle PXZ

Fig. 63.

donne :

ain PZ' Or PX est le complément de la déclinaisoD D de l'étoile polaire, PZ est le complément de la hauteur du pôle, c'est-àdire de la latitude géographique L du lieu où l'on se trouve, d'où:

cot D eoa L'

si)iZ =

5" Méthode de Franeœur. — On possède des tables donnant l'heure du passage de certaines étoiles au vertical de l'étoile polaire par rapport & l'heure du passage de cette dernière au méridien. Ces tables fournissent un moyen commode pour déterminer la méridienne. Il est en efifet facile d'observer, à l'aide d'un fil à plomb, le moment du passage d'une étoile quelconque au vertical de l'étoile polaire. Ces tables indiquent combien de temps après l'observation cette dernière passe au méridien .

En considérant par exemple l'étoile E de la grande Ourse (fig. 64), on sait qu'ft Paria cette étoile passe au vertical de l'étoile polaire P, 7', 2" avant le passage de l'étoile polaire au méridien. On peut donc aisément suivre celle-ci avec la lunette d'un théodolite jusqu'au moment de ce passage.

L'erreur faite à Liège, en appliquant les chiffres relatifs au méridien de Paris, n'est pas de plus de S' d'arc, ce qui est encore une approximation Fig- «*. permise, lorsqu'on se sert de la bous-

sole. Dans ce cas, la méthode de Franeœur est donc applicable et c'est, à coup sûr, l'une des plus simples.

6^ Méthode cartographique. — Pour une détermination approximative^ on peut opérer sur les cartes au 20000* de TÉtat- Major; la direction du méridien peut y être tracée en joignant les degrés de longitude marqués en haut et en bas de la carte. On peut donc prendre sur la carte Tangle de la méridienne avec une ligne d'orientation facile à déterminer sur le terrain. Puis à l'aide de cette ligne, on reporte cet angle sur le terrain; mais l'approximation ainsi obtenue est tout au plus de 16 minutes d'arc (i).

(*) Voir V Annuaire de l'Observatoire de Bruxelle», i88S.