MÉTHODES: GÉOMÉTRIQUES

Lever à vue. Avant de procéder aux opérations du lever, il est indispensable de faire un lever à vue ou une reconnaissan<^ du terrain, pour déterminer les points fondamentaux sur lesquels s'appuieront les opérations topographiques. Ces points seront marqués au moyen de piquets. Plus cette reconnaissance est faite avec soin, plus les opérations subséquentes deviennent faciles. En pays accidenté, il ne faudra pas craindre d'y consacrer un temps assez long. Sur le croquis du lever, on trace la ûgure géométrique, c'est-à-dire lô polygone irrégulier qui doit servir de base au lever et dont le choix ne peut être fait qu'en possédant à fond la configuration du terrain. Dans tous les cas, il faut éviter do trop multiplier le nombre des côtés. Ce polygone sera inscrit ou circonscrit au terrain à lever et ses limites coïncideront autant que possible avec celles du terrain. Une ou plusieurs lignes polygonales accessoires peuvent se rattacher au polygone principal. L'ensemble de ces constructions géométriques prend le nom de canevas topographique.

Lever du canevas topographique. Pour lever ce canevas, on peut employer trois méthodes :

1" Celle du cheminement périmétrique.

2® Celle de la décomposition en triangles.

. 3*» Celle des coordonnées,

1 r- Chemin emeni périmétrique . On mesure successivement tous les côtés et tous les angles en faisant le tour du polygone. On pourrait cependant construire un polygone semblable, en se passant de mesurer un angle et les deux côtés adjacents, ou un côté et les deux angles adjacents; mais il est nécessaire de mesurer tous les éléments du polygone, pour se ménager des éléments de vérification . Les vérifications peuvent se iaire de différentes manières : 1* En dessinant le polygone, il faut qu'il ferme sous un

angle égal à celui mesuré sur le terrain et dont les côtés adjacents soient proportionnels à leurs homologues du terrain.

Il arrive rarement que ces conditions soient rigoureusement remplies pour un polygone de quelque étendue. On admet que l'écart de fermeture est le résultat d'erreurs d'observation inévitables, lorsqu'il n'est que de 1/800 du périmètre total dans un terrain facile, et de 1/400 dans un terrain difBcile. Il existe dans ce cas des procédés de dessin, pour faire fermer le polygone en sacrifiant le moins possible à l'exactitude. Lorsque l'écart de fermeture est plus considérable, il existe aussi des procédés graphiques qui permettent de reconnaître l'erreur, lorsque celle-ci est unique ; mais si l'écart de fermeture provient de la combinaison de plusieurs erreurs, on doit recommencer le travail (i).

Afin de diminuer les chances d'erreurs, on conseille de ne pas fermer le polygone au point de départ, mais de lever le polygone en deux portions successives, en partant chaque fois du môme point, mais en sens inverse.

Chacun de ces levers partiels s'arrête en un point diamétralement opposé au point de départ, et c'est en ce point diamétralement opposé que Ton ferme le polygone. Les erreurs qui peuvent être faites sur Tune des branches du polygone ne se répercutent pas ainsi sur l'autre.

^"^ On peut vérifier si la somme des angles mesurés est égalq à autant de fois 180® qu'il y a de côtés moins deux. Si la différence obtenue était très faible, on pourrait admettre qu'elle provient d'erreurs d'observation inévitables et la répartir sur tous les angles pour corriger le polygone.

S"" Un 3* moyen de vérification consiste à prendre des points de repère, c'est-à-dire à choisir des objets qui sont visibles de plusieurs sommets du polygone et qui sont compris dans rétendue du plan. En mesurant en chacun de ces sommets l'angle fait par la ligne de visée dirigée vers un point

(*) Voir BAUERNFEiia), Elemenie der Vermessungskunde, 4^ Ed. 4873. T, II, p. •134.

de repère et Tun des côtés adjacents du polygone, on déterminera chacun de ces points par IMntersection de plusieurs droites. Si ces droites reportées sur le dessin ne se coupaient pas au même point, cela dénoterait des erreurs de mesure dans le polygone. Si plusieurs de ces droites se coupent en un même point et qu'une autre ne passe pas en ce point d'intersection, il y a de grandes probabilités pour que le sommet d'où cette droite a été tracée, soit fautif :

On prend ordinairement comme points de repère des objets qui doivent être figurés au plan.

4' Biles points de repère manquaient complètement, on pourrait aussi mesurer de distance en distance une diagonale ou les angles d'un triangle appartenant à la décomposition du polygone.

La méthode par cheminement périmétrique a Pinconvénient d'être longue; les erreurs s'y propagent facilement. Cependant elle est fréquemment appliquée, parce qu'elle peut l'être dans toute espèce de terrains.

2. Décomposition en triangles. — \ùn décomposant le polygone en triangles, il suffit de déterminer les éléments nécessaires à la construction de chacun d'eux pour pouvoir construire un polygone semblable. De là trois cas qui correspondent aux trois modes de construction des triangles.

A. Un triangle est déterminé si Von connaît ses trois côtés. — Il suffira donc de mesurer tous les côtés des triangles dans lesquels se décompose le polygone. Pour vérifier, on fait la décomposition à partir d'un autre sommet. L'avantage de cette méthode est de ne pas mesurer d'angles, mais la mesure des alignements prenant beaucoup de temps et étant sujette à de nombreuses erreurs, elle ne s'applique qu'à de petites surfaces, par exemple en arpentage ou dans les levers d'architectes. Au point de vue de l'arpentage, elle a l'avantage de mesurer directement les éléments des calculs.

B. Ufi triangle est déterminé^ si Von en connaît un côté et

deux angles adjacents. — On choisit un côté du polygone et l'on feût la décomposition en mesurant toutes les diagonales à partir de chacune des extrémités de ce côté. On mesure ce côté et tous les angles adjacents. Les sonmiets du polygone sont ainsi déterminés par Tintersection de deux droites, d*où le nom de méthode des intersections fréquemment donné à ce procédé.

Pour vérifier, on choisit un point sur le même côté du polygone et l'on vise de ce point tous les sommets qui doivent alors être déterminés par Tintersection de trois droites. Au lieu d'un côté on pourrait choisir une ligne quelconque pour déterminer les sommets par intersections à partir de ses extrémités.

L'exactitude de la méthode dépend essentiellement du choix de cette ligne. Elle doit être telle que les intersections ne se fassent sous des angles ni trop aigus^ni trop obtus. Cette méthode est la seule que Ton puisse employer quand certains sommets du polygone sont inaccessibles ; elle est d'ailleurs très rapide, mais elle exige que le polygone soit entièrement découvert.

G. Un triangle est déterminé, si Von en connaît deux côtés et Vangle compris. — On choisit un point intérieur ou extérieur au polygone d'où Ton puisse découvrir tous les sommets i On fait la décomposition à partir de ce point, en visant successivement tous les sommets. On mesure les droites ainsi obtenues et les angles qu'elles font entre elles. Pour vérifier, on fait la décomposition à partir d'un autre point.

Cette méthode, qui porte quelquefois le nom de méthode du rayonnement on des coordonnées polaires ^ exige que le polygone soit découvert ; elle est peu exacte, parce que l'erreur faite sur la mesure d'un angle au centre va en s'amplifiant à l'extrémité du rayon.

3. Coordonnées. On peut déterminer les sommets du polygone par rapport à des axes de coordonnées rectangulaires ou obliques, en employant les appareils servant à tracer des per*

pendiculaires ou des obliques d'inclinaison déterminée. II suffit de tracer Tun des axes sur le terrain, soit Taxe des abscisses, en mesurant directement chacune des ordonnées. On choisit souvent pour axe Tune des lignes du polygone, par exemple la plus grande diagonale; on peut aussi tracer les deux axes, sur lesquels on mesure les abscisses et les ordonnées; les sommets sont alors déterminés par intersections.

Cette méthode exige un grand nombre de mesures, elle n'est pour ainsi dire plus employée que dans le lever des détails.

Lever des détails. Le lever des détails se rattache à celui du polygone par différents procédés qui rentrent dans les méthodes pnîcédentes; soit par cheminement périmétrique, par intersections, par rayonnement, par coordonnées, etc. C'est cette dernière qui est appliquée dans le plus grand nombre de cas, notamment lorsqu'il s'agit de lever des limites de terrain représentées par des courbes ; dans ce cas une même ordonnée peut donner plusieurs points de détail.

La tenue du carnet a ici une importance considérable. Le carnet se compose d'une série de croquis sur lesquels on inscrit les mesures avec beaucoup d'ordre et de soin. Celui qui lève le croquis doit opérer comme si son dessin devait passer en d'autres mains pour être rapporté au plan.