PRINCIPES DE LA CRISTALLOGRAPHIE

§ 10. Les formes cristallines sont terminées par des faces planes; en général, à chaque face plane correspond dans le cristal une face qui lui est rigoureusement parallèle: au moins, lorsque le cristal est isolé et régulièrement terminé sur tout son contour. Le plus souvent, les cristaux sont implantés sur une masse solide, de sorte que Ton ne voit qu'un sommet du cristal, et que l'on ne peut en observer qu'une moitié : il est donc souvent difticile de vérifler la proposition que nous venons d'énoncer sur le parallélisme des faces deux à deux : mais il n'existe presque point de cristaux implantée qui n'aient été trouvés quelquefois isolés et complets, et justifiant alors cette proposition. On est donc fondé, par analogie, à supposer qull en serait de même de tous les cristaux s'ils n'étaient pas implantés, et à les représenter habituellement complets avec leurs deux extrémités. ' g 1 1 . Les cristaux ont toujours des angles saillants et jamais d'angles rentrants. Et cependant lorsqu'on observe une réunion d'un grand nombre de cristaux, par exemple la cavité d'une roche dont les parois sont couvertes de cristaux et que les minéralogistes appellent une géode de cnsiaitx, ou lorsqu'on observe une cristallisation obtenue dans nos laboratoires, on remarque beaucoup d'angles rentrants, ce qui semblerait infirmer la proposition précédente; mais ces angles rentrants sont produits par l'accolement de deux cristaux individuels, et on n'en observe jamais sur un individu cristallin isolé.

g 12. CllYaipe. — Les substances cristallisées ne se cassent pas avec une facilité égale dans tous les sens; en général les cassures se font suivant des faces planes. Ces cassures suivant des faces planes peuvent être reproduites indéfiniment sur le même cristal, parallèlement à elles-mêmes, de sorte que la matière peut être divisée en un grand nombre de lames à faces parallèles. Ce mode de cassure porte le nom de cassure lamelleuse. Cette propriété des cristaux est connue depuis longtemps des lapidaires, qui l'utilisent pour tailler les pierres précieuses. Ainsi le diamant présente une cassure lamelleuse suivant quatre sens différents; les lapidaires en profitent pour enlever par la cassure les parties défectueuses, et abréger ainsi considérablement le travail de la taille du diamant. Ils appellent cette opération

cliver le diamant. On donne le nom de clivages aux faces parallèles qui s'obtiennent ainsi sur un cristal par la cassure.

Un même cristal possède plusieurs sens de clivage; c'est ce que \m exprime ordinairement en disant qu'il présente plusieurs clivages; mais ces clivages ne sont pas toujours également faciles. Certains clivages sont très-faciles à constater par la cassure, même lorsque celle-ci est dirigée au hasard ; d'autres ne s'effectuent qu'en prenant plus de précautions, et encore sont-ils souvent très-imparfaits. Ainsi le carbonate de chaux présente trois clivages égaleiiienl faciles, inclinés l'un sur l'autre de 105** 5', et par l'eirot desquels lu substance se casse toujours suivant des fragments rhomboédriques. Le sulfate de chaux présente également trois clivages, mais l'un d'eux est beaucoup plus facile que les deux autres ; il en résulte que le cristal a une tendance à se diviser en lames, et au moyen d'une lancette on peut en séparer facilement des lames d'une minceur extrême. Si l'on cherche à casser ces lames entre les doigts, les autres clivages se manifestent immédiatement et donnent lieu à des lames parallélogrammiques .

g 1 3. SolMe de cUvai^e. — La réunion des plans de clivage constitue une forme géométrique constante dans tous les individus d'une même substance cristallisée; on appelle cette forme solide de clivage,

g 14. AréCes du erUud. — On appelle arêtes d'un cristal les lignes suivant lesquelles les faces du cristal se coupent. On distingue les arêtes en arêtes obtuses et en arêtes aiguës, suivant que les faces qui déterminent ces arêtes forment entre elles un angle obtus ou un angle aigu.

g 15. Anglea du erisud. — Trois ou un plus grand nombre de faces qui se réunissent sur un }:oint forment un angle solide, que les minéralogistes appellent simplement, mais improprement, un angle du cristal. On classe les angles d'après le nombre de leurs faces : ainsi on dit : angle à 5 faces (fig. i); angle à 4 faces (lig. 2); angle à 6 faces (fig. 3), etc., etc.

Fig. 1. Fig. 2. Fig. S.

\ 16. Fomes sfaMpIca et foraie* composée». — Quelquefois

les cristaux ne sont terminés que par des faces semblables entre elles. Tels sont : Toctaèdre régulier formé par 8 triangles équilatéraux (llg. 4); l'hexaèdre régulier ou cube, qui est terminé par 6 carrés (fig. 5); le dodécaèdre hexagonal, formé par 12 triangles isocèles (fig. 6). Ces formes sont dites des formes simples^

Fig. 4, Fig. 5. Fig, 6.

On appelle, au contraire, formes composées les formes qui renferment des faces d'espèces différentes. La figure 7 représente une forme imposée ; elle est formée par 6 faces carrées et 8 iangles équilatéraux. La figure 8 est également le forme composée ; elle est formée par 6 fais rectangulaires et par 12 triangles isocèles. ^ Si, dans un cristal composé, on conçoit toutes

s faces d'une même espèce prolongées de maière à faire disparaître les faces de l'autre pèce, on obtient une forme simple. Les faces

obtient un prisme régulier à 6 faces indéfinies. Si l'on prolonge, au contraire, les i 2 faces triangulaires, on obtient un solide fermé, le dodécaèdre hexagonal (fig. 6).

Il est clair que les faces qui donnent lieu à un solide illimité ne pourront pas former à elles seules un cristal ; elles se présenteront toujours en combinaison, soit avec des faces qui, prolongées, donneront un solide fermé, soit avec des faces qui, par leur prolongement, donnent des formes ouvertes ou indéfinies.

g 1 7. Formes dominantes et formes secondaires. — En général, dans un cristal composé. Tune des formes simples qui le constituent est plus développée que les autres, et donne au cristal son aspect général ; cette | forme prend alors le nom de forme dominante, tandis que les autres formes de la I combinaison portent le nom de formes secondaires; leurs faces sont souvent appelées faces modifiantes. Ainsi les figures 9 { et iOreinrésentent, toutes deux, des combinaisons de Foctaèdre avec Thexaédre; mais, dans la figure 9, les faces o, qui appartiennent à Toctaèdre, sont beaucoup plus développées que les facettes a, qui appartiennent à l'hexaMre, et donnent au cristal un aspect octaédrique; on dira donc que sa forme est un octaèdre modifié par les- faces du cube. Au contraire, la figure 10 présente Taspect du cube dominant, et on l'appellera hexaèdre modifié par les faces de l'octaèdre. ^*^* ^^•

8 18. Troneatnres. — Lorsque, dans une combinaison de plusieurs formes simples, une arête de la forme dominante est remplacée par une face parallèle. à cette arête, comme dans la figure 11, on dit quefarête est tronquée, et Ja fac^ modifiante s'appelle face ou facette de troncature de rareté. Celte face de troncature peut être également inclinée sur les deux faces de la forme dominante qui renferment l'arête tronquée; on dit alors que la troncature est droite ou tangente : c'est le cas de la figure 1 1 . Dans le cas contraire, on dit que la troncature est oblique.

Souvent les angles de la forme dominante se trouvent tronqués et les faces de troncature sont droites ou obliques, selon que leurs

inclinaisons sur les faces de la forme dominante qui déterminent Tangle sont égales ou inégales. La figure 9 représente Toctaédre régulier dont les angles sont tronqués par les faces de Thexaèdre; la ligure 10 représente un hexaèdre dont les angles sont tronqués par les faces de Toctaèdre. Dans les deux figures les troncatures sont droites.

Loi^qu'une face de troncature oblique d'un angle s% trouve égale* ment hiclinée sur les deux faces qui forment une des arêtes de cet angle, on dit que la troncature repose symétriquement sur cette arête; ainsi, dans la figure il, la face de troncature est également inclinée sur les deux faces, elle repose symétriquement sur Varêle. Dans le cas contraire, elle repose obliquement sur Tarète.

On dit, de même, qu'une face de troncature repose symétriquement sur une {ace de la forme dominante, lorsque la ligne d'intersection de ces deux faces forme des angles égaux avec les deux arêtes adjacentes de la face dominante ; on dit, au contraire, qu'elle repose obliquement sur cette face, quand ces . angles sont inégaux.

§19. Biseaux. — Les arêtes d^ la forme dominante sont souvent remplacées par deux faces parallèles à ces arêtes, et également inclinées sur les faces adjacentes ; on dit, dans ce cas, que l'arête est remplacée ^*^* ^^' par un biseau. C'est ce qui arrive dans la

figure 12, où les arêtes de l'hexaèdre sont remplacées par des biseaux. g 20. PolDt«mentB. — Un angle de la forme dominante se trouve

souvent remplacé par un autre angle plus obtus; on dit alors qu'il s'est formé un pointement sur l'angle. Quelquefois les facettes du pointement sont en même nombre que les faces qui formaient l'angle primitif, comme dans la figure 13 ; d'autres fois il n'y en a que la moij tié, comme dans la figure 14.

p. ... «. ' 4i Les facettes du pointement re-

^ig- ^^' Flg. 14. , .^ . *^ ^ A ,^^

posent symétriquement, tantôt sur les faces (fig. 13), tantôt sur les arêtes de l'angle (f g. 14).

§ 21 . Centre du erisud. — Dans un cristal quelconque, simple ou composé, il existe un point tel, que toute droite qui y passe et

CRISTALLOGRAPHIE. iô

qui se termine aux faces du cristal se trouve divisée en ce point en deux parties «gales. Ce point est le centre du ciistal,

% 22. Axes &m crisuO. — Il existe dans toutes les formes simples certaines lignes passant par le centre du cristal et autour desquelles les faces sont disposées symétriquement ; on donne à ces lignes le nom d'axes du cristal. Quelque- ''«g- ^5. Fifî.ifi.

fois le cristal présente plusieurs systèmes d'axes, tel est Thexaédre régulier. Si Ion joint, en effet, par des lignes, les centres des faces opposées (fig. 15), on jura trois lignes rectangulaires qui jouiront de la propriété énoncée, et qui, par conséquent, sont' des axes; on obtient un second système d'axes en joignant les angles opposés (fig. 16); cela donne un système de 4 axes formant entre eux des angles de 70*» 32'; enfin, si Ton joint deux à deux les milieux des arêtes ^ , , ^^

opposées (fig. 17), on obtient un système de 6 axes comprenant entre eux des angles de 60**. Tous les axes de Thexaèdre qui font partie d'un même système sont égaux entre eux.

Dans le dodécaèdre hexagonal (fig. 18), on obtient les axes en joignant les angles opposés; on trouve ainsi un système de 3 axes horizontaux égaux et formant entre eux des angles de 60", et un axe unique

vertical, perpendiculaire au système des ^'^' ^^'

trois autres.

Dans l'octaèdre oblique à base rhombe (ilg. 19), les axes sont encore les lignes qui joignent les angles opposés ; les axes de cette figure sont tous les trois inégaux et inclinés les uns sur les autres.

g 23. Plaecment du cristal. — Pour étudier avec plus de faci. lité les diverses formes cristallines, il est utile de donner aux cristaux

une position déterminée, on est convenu de lés placer de manière que Tun de leurs axes soit vertical. Ainsi, pour l'hexaèdre, on adopte ordinairement, pour système d'axes, le système des trois axes rectangulaires qui joignent les centres des faces opposçes. Comme ces trois axes sont parfaitement semblables entre eux, il est clair qu'il n'y a aucune raison de choisir l'un ou l'autre de ces axes, et, quel que soit celui que l'on place dans la direction verticale, la figure présente exactement le même aspect.

Lorsque, dans le système d'axes d'une figure cristalline, il se trouve un axe unique qui n'a pas d'analogue dans le système, on choisit toujours cet axe pour le mettre dans la position verticale, et on lui donne le nom d'axe principal; les autres axes sont alors appelés axes secondaires. Le dodécaèdre hexagonal (fig. 18) est placé de manière que son axe unique soit vertical.

L'octaèdre à base rhombe (fig. 19) présentant trois axes dissemblables, on peut choisir pour axe principal l'un quelconque de ces axes, et lui donner la positioiï verticale ; mais, lorsqu'on a fait choix de l'un de ces axes, il est convenable de le conserver pendant tout l'examen du cristal.

La condition des axes secondaires ne doit pas non plus rester arbitraire lorsque l'on veut étudier les divers cristaux que présente, une même substance. Dans toutes nos figures, les cristaux seront placés de manière que l'un des axes secondaires soit dirigé dans le plan de la figure. -

§ 24. Définition des systèmes cristallins. — L'étude attentive dés diverses formes conîposées que nous présente le règne minéral a fait reconnaître que des formes simples quelconques ne pouvaient pas se combiner ensemble. On ne rencontre jamais, sur un même cristal^ que des formes simples qui ont des systèmes d'axes identiques.

Ainsi nous rencontrons fréquemment le cube et l'octaèdre régulier combinés ensemble; de même, le rhomboèdre se trouve combiné avec le prisme régulier à 6 faces ; mais on ne trouve jamais le rhomboèdre ou le prisme à 6 faces combiné avec l'octaèdre régulier ou avec Thexaèdre. Le rhomboèdre et le prisme régulier à 6 faces ont un système d'axes composé de 3 axes semblables faisant entre eux des angles de 60" et situés dans le même plan, et un quatrième axe perpendiculaire sur les trois autres; tandis que, dans le cube et dans l'octaèdre régulier, on ne trouve aucun système d*axes analogue.

On donne le nom de système cristallin à la réunion des différentes formes qui ont des systèmes d'axes semblables.

CRÏSTALLOGRAPHIF. ir,

Les cristallographes ont distingué six systèmes cristallins :

1" Le premier système, ou système cristallin régulier, est caractérisé par 5 axes semblables et perpendiculaires entre eux ;

5* Le deuxième système est caractérisé par 3 axes perpendiculaires, mais dont 2 seulement sont semblables entre eux ;

3* Le troisième système cristallin est caractérisé par A axes, dont 3 sont semblables, disposés dans le même plan, et se coupent sous des angles de 60*; le quatrième axe est d'espèce différente et se trouve perpendiculaire au système des trois autres ;

4" Le quatrième système cristallin ast caractérisé par 5 axes dissemblables et perpendiculaires entre eux;

5" Le cinquième système cristallin est caractérisé par 3 axes dissemblables ; 2 de ces axés sont obliques Tun sur Fautre, mais le troisième axe est perpendiculaire au système des deux autres ;

ti" Le sixième système cristallin est caractérisé par 5 axes dissemblables qui sont obliques les uns sur les autres.

Nous allons passer successivement en revue les principales formes cristallines qui constituent ces différents systèmes.

1* Système crhtallin régulier,

§ 25. Les formes de ce système sont caractérisées par 5 axes senj. blables, perpendiculaires entre eux. On trouve encore dans ces formes d'autres systèmes d'axes, comme nous Tavcns vu plus baut; mais ces autres systèmes n'introduisent aucune considération nouvelle, et le système .cristallin régulier se trouve complètement défini par les 3 axes rectangulaires semblables, qui seront les seuls (pio nous considérerons.

Les principales formes simples qui appartiennent à ce système sont :

i' L'octaèdre régulier (fig. 20), formé par 8 triangles équilatéraux : les arêtes sont égales entre elles ; les angles solides sont égaux et à 4 faces. Les angles dièdres des faces sont de 70** 32'.

Les axes rectangulaires joignent les angles opposés, et chaque face coupe les trois axes suivant des longueurs égalçs. Il résulte de là que, si l'on désigne par a la longueur de ces axes, comprise entre le centre du cristal et le point où il rencontre les faces, en pourra définir la face de l'octaèdre en Fig. 20.

disant que c'est la face qui coupe les trois axes rectam>nlaires sui-

vant des longueurs égales a. On est convenu de représenter cette face par la formule

qui exprime la condition de Tégalité des trois axes.

2* Vhexaédre ou cube (fig. 21), formé par 6 faces carrées ; les trois axes rectangulaires joignent les centres des faces opposées ; chaque face est perpendiculaire à un des axes et parallèle aux deux autres ; de sorte que Ton peut représenter chacune de ces faces, et par suite rhexaèdre tout entier, par la formule :

(a : 00 a : oo a).

5* Le dodécaèdre (fig. 22), formé par 12 faces rhombes dont les angles sont lOO*» 28'et 70«32'.

Les angles sont de deux espèces : 6 angles  à 4 faces correspondant par leur position aux angles de Toctaèdre, et 8 angles à 5 faces qui correspondent aux angles de l'hexaèdre. Chaque face du dodécaèdre est parallèle à un axe octaédrique, et coupe les Fig. 22. deux autres suivant des longueurs égales ;

on peut donc représenler ces faces par la formule

(a : a : ce a).

4" Le tétraèdre (fig. 25 et 24), formé par 4 faces qui sont des triangles équilatéraux. On peut faire dériver ce solide de Toctaèdre régulier, en supposant que les faces alternatives de Toctaèdre soient prolongées de manière à faire disparaître les faces intermédiaires. Selon que Ton fera disparaître l'un ou Tautre système des faces alternatives, on obtiendra deux tétraèdres (fig. 25 et 24) parfaitement égaux, mais qui se distingueront Tun de Tautre par leur position.

Ce mode de génération du tétraèdre a fait donner à cette forme le noiil (ï hémioctaèdre.

Fig. 25.

Fig. 24.

Fig. 25.

6* Le tétrakishtxaédre ou liexaèdre pyramidal (fig. 25), solide à 24 faces, dont l'aspect général est celui d'un hexaèdre sur les faces duquel on aurait placé des pyramides à 4 faces.

Le pkis souvent la hauteur des pyramides à 4 faces qt(! sont implantées sur les faces de rhexaédre est égale à la moitié de Taxe de rhexaèdre. Quelquefois, cependant, le rapport entre la hauteur des pyramides et Taxe de l'hexaèdre est plus complexe, mais il est toujours représenté par une fraction rationnelle très-simple. Ainsi on rencontre les rapports |, ^, ^ J.

Si Ton suppose prolongées les faces alternatives du tétrakishexaèdre, de manière à faire disparaître les faces intermédiaires, on obtieiit une forme à 12 faces pentagonales, le dodécaèdre penlagonal (fig. 26), que Ton peut aussi appeler hémitétrakishexaèdre, à cause de son mode de génération. Il est clair qu'un même tétrakishexaèdre peut donner deux bémitétrakishexaèdres, suivant que Ton prolongera Tun ou l'autre des deux systèmes alternatifs de faces. Ces deux formes seront parfaitement égales entre elles, et ne différeront que par la direction de leurs faces.

6* Le triakisoctaédre, ou octaèdre pyramidal (fig. 27), solide à 24 faces, qui présente Taspect général d'un octaèdre régulier sur les faces duquel on aurait placé des pyramides à 3 faces.

De même qu'il existe plusieurs tétrakishexaèdres présentant des rapports différents entre les hauteurs des pyramides et les longueurs des axes, de même il existe plusieurs triakisoctaèdres ; les rapports entre les haifteurs des pyramides et les axes sont toujours représentés par des fractions très-simples , teUes que \, |, |.

En prolongeant les faces alternatives du ^^s- 27. Fi^. 2«.

triakisoctaèdre, on obtient une forme hémiédrique (fig. 28), Thémi-

Fig. 26.

INTRODIJCTJON.

triakisoctaèdre ; mais cette forme ne s est présentée jusqU'ici que

très-rarement.

T*» VikoHiétraèdre (11g. 29), solide à 24 faces, 48 arêtes, 26 angles. On obtient cette forme en supposant que les angles solides de Toctaédre régulier soient remplacés par des pyramides à 4 faces plus obtuses , comme le montre la figure 50, et en supposant ensuite les

Fig. 50.

prolongées de manière, à faire disparaître de l'octaèdre. Le rapport entre la hauteur longueur des axes de Toctaèdre peut être 1 peut exister plusieurs ikositétraèdres ; mais représenté par une fraction rationnelle très- ! jusqu'ici que les rapports j et |.

a se présentent que très-rarement dans les ; citons ici que pour mémoire.

^ 2r). Formes compcMiées du système erlstalHii régutter.

Les formes simples que nous venons d'énumérer donnent lieu, en se combinant, à un grand nombre de formes composées dont nous indiquerons les principales.

Les figures 51, 52 et 55 représentent trois combinaisons de Toctaèdre régulier et de Thexaèdre, dans lesquelles les faces de Toctaèdre sont marquées o et celles de Thexaèdre sont marquées a.

r.RISTALLOGRAPHlE.

Les Mgures 54 et 55 représentent des combinaisons du dodécar-

dre et de Toctaèdre.

Dans la figure 55, les

faces de Tpctaèdre

dominent, tandis que,

dans la figure 54, les

faces dominantes sont

les faces d du dodécaèdre.

Dans la figure 56, nous trouvons une

tîo^binaison de l'he- ^^^' ^ ^^^' ^

xaèdre avec le dodécaèdre, rhexaèdre a dominant.

La figure 57 nous représente une combinaison de rhexaèdrie dominant avec 1^ tétraèdre ; on voit que, dos 8 angles solides de ^^^' ^' ^''^' ^'•

riiexaèdre, 4 seulement sont tronqués par les faces o du tétraèdre ou hémioctaèdre. Nous rencontrons dans cettç combinaison une ex* ception à la loi que nous avons énoncée (§ iO); à savoir, que, dans tout cristal régulièrement terminé' sur tout son contour, une face quelconque possède toujours sur le cristal une face qui lui est parallèle. Dans la combinaison de Thexaèdre avec le tétraèdre, les facettes du tétraèdre ne possèdent pas de facettes parallèles sur los angles opposés de Ihexaèdre.

La figure 58 représente la combinaison des deux tétraèdres que Ton obtient en prolongeant les deux systèmes de faces alternatives d'un même octaèdre.

ï.es formes qui précèdent résultent seulement delà combinaison de deux Flf?.58. rig.s».

formes simples du système régulier; mais on rencontre quelquefois des formes composées, plus complexes, résultant de la combinaison (Je trois on d'un plus grand nombre de formes simples. Ainsi la

lO INTRODUCTION.

figure 59 représente une combinaison de l'hexaèdre a dominant, avec loctaèdre o et le dodécaèdre d.

La figure 40 est une combinaison de

rhexaèdre a dominant, avec le dodécaé-

èdre d et le tétraèdre o.

2" Deuxième système cristallin,

§ 27. Les formes qui appartiennent à ce système sont caractérisées par 5 axes rectangulaires, dont 2 sont semblables entre eux, et dont le troisième est dissemblable.

. Nous choisissons Taxe unique pour axe ^^^' *^' principal, et nous plaçons le cristal de fa-

çon que cet axe unique soit vertical. Le rapport de grandeur entre taxe principal et les axes secondaires parait pouvoir varier d'une manière quelconque ; en général, ce rapport est complexe et irrationnel. Dans le système cristallin régulier, les trois axes étant semblables, les faces sont disposées d'une manière parfaitement symétrique par rapport aux trois axes. Il n'en est pas de même dans le deuxième système crislallin ; les deux axes secondaires étant semblables, les faces se trouvent disposées symétriquement par rapport à ces 2 axes, mais elles sont disposées par rapport à ceux-ci autrement que par rapport à l'axe principal. Aussi rencontre-t-on dans ce système des faces perpendiculaires à l'axe principal qui n'ont pas leurs analogues sur les 2 axes secondaires; de même; on rencontre sur les 2 axes secondaires des faces perpendiculaires, qui n'ont pas nécessairement leur analogue sur l'axe principal. Ces faces produisent ainsi des prismes ouverts qui ne peuvent pas terminer à eux seuls un cristal. Rien de semblable ue pouvait se rencontrer dans le système cristallin régulier.

Formes Himples du deuxième •ystème erlstelUn. — Octaèdre à hase carrée (fig. 4i). Les faces de ces octaèdres sont des triangles isocèles ; leurs arêtes sont de deux espèces :

8 arêtes terminales D qui convergent vers l'axe principal CC, et 4 arêtes latéraies G. La section qui passe par les arêtes latérales, et, par suite, par les axes secondaires, donne un carré (fig. 41 a); on donne à cette section le nom de '^' * base de Voctaèdre, Les sections faites

par les arêtes terminales donnent des rhombes (fig. 41 h).

CRISTALLOGUAPHIE. 21

Dans le système cristallin régulier nous n'avons qu'un seul octaèdre; dans le deuxième système, nous avons, au contraire, une inOnité d'octaèdres i à base carrée qui diffèrent entre eux par rinclinaison de leurs faces, ou par le rapport de Ion- 1 gueur que Taxe principal présente avec 1 les deux axes secon- " daires égaux; et, Hg.lir. Fig.ilA.

pour que Toctaèdre soit caractérisé, il est nécessaire d'assigner ce rapptMTt de longueur, ou de donner rinclinaison des faces.

Dans tous les octaèdres du deuxième système cristallin, Taxe principal joint toijgours les deux sommets de Foctnèdre, mais les axes secondaires peuvent présenter deux positions différentes par rapport aux arêtes latérales de l'octaèdre, ou aux côtés de la base. Ces axes peuvent joindre les angles opposés de la base, comme dans In figure 42, ou réunir les milieux des côtés opposés, comme dans la figure 45 .

On obtient ainsi, en effet, deux octaèdres à base carrée ayant des systèmes d'axes parfaitement égaux; l'octaèdre, qui a pour base la figure 43, a ses faces

inclinées de la même manière " *ig. 42. " Fig. âiô.

que le sont les arêtes de l'oct; èdre qui a pour base la ligure 42. Nous distinguerons ces deux octaèdres en appelant l'octaèdre qui a pour base la figure 42 octaèdre de première classe ou octaèdre direct, et Toctaèdre qui a la figure 45 pour base octaèdre de deuxième classe, ou octaèdre inverse.

Lorsqu'une même substance cristallise en octaèdre à base earrée, elle ne présente pas toujours le même octaèdre. On observe, au contraire, souvent, plusieurs octaèdres très-différents, mais qui présentent entre eux une relation extrêmement simple. Cette relation consiste en ce que, si Von réduit ces octaèdres à avoir la même hase, leurs hauteurs ou leurs axes principaux présentent entre eux des rapports rationnels et extrêmement simples.

On choisit Tun de ces octaèdres pour forme principale ou forme primitive; on donne la préférence à celui de ces octaèdres qui se présente le plus ordinairement, ou à celui qui domine le plus sou-

vent dans les eombinaisons. On donne à cette forme principale ou primitive la notation

(a : a : cj.

La notation de tous les octaèdres dans lesquels la base est placée, par rapport aux axes secondaires, de la même manière que dans l'octaèdre principal, c'est-à-dire de tous les octaèdres de la première classe, ou octaèdres directs, devient alors

{a: a : me);

tandis que celle des octaèdres de la seconde classe, ou octaèdres inverses, dans lesquels l'inclinaison des faces est égale à celle que présentent les arêtes des octaèdres correspondants de la première classe, sera

(a : oca : me).

Si le non^bre m pouvait recevoir des valeurs quelconques, le nombre de ces octaèdi^es serait infini ; mais l'observation a montré que, dans les divers octaèdres à base carrée que présente une même substance, le nombre m présenté toujours une valeur rationnelle et extrêmement simple; ainsi, la notation de l'octaèdre primitif étant

on ne rencontre jamais, dans la môme substance, que les octaèdres qui ont pour notations

(a : a : "le) un (a : a : ~c) (a : a : ôc) (a : a : 4c)

(a : a : ic) (a : a : Jf) ;

r*est-à-dn-e les octaèdres qui, pouV des axes secondaires égaux, ,ont un axe principal 2* 3, 4 fois plus grand ou 2, 5, 4 fois plus petit que Taxe principal c de l'octaèdre primitif.

On rencontre aussi les octaèdres correspondants de la deuxième classe î

xa

on

xa

ic)

xa :

xa .

xa

■ic)

xa

Il y ^, cependant, encore deux cas qui se trouvent souvent réali-* ses dans les substances appartenant au deuxième système cristallin î ce sont ceux qiie l'on déduit des formules »

{a : a : me) (a : 'yoa: me)

CUISTALLOGHVhHlK. £

en donnant à m ses valeurs limites, c'est-à-dire en faisiuit

m ou m = 5<e .

Faee tenoiitale droite. — En donnant à m des valeurs de plus en plus petites, on obtient des. octaèdres de plus en plus aplatis, et à la limite, quand m = 0, roctaèdre se réduit à sa base : nous appellerons cette foniie limite de Toctaèdre face terminale droite. Cette face terminale ne peut jamais se présenter isolée ; mais elle se rencontre très-fréquemment en combinaison dans les formes composées. La notation de cette face pom*rait élre (a : a : Oc) ; mais on l'écrit ordinairement (oo a : <x>a: me) ou simplement (œ a: oo aie), on la considère alors comme la limite des octaèdres ayant Taxe principal me, mais dont les axes secondaires, sans cesser d'être égaux, deviennent infinis.

Prismes A bases emrrées* — En donnant à m des valeurs de plus en plus grandes dans les formules générales (a: a: me), (a: œ a : me), on obtient des octaèdres de plus en plus aigus; et enfin, quand m = oo , les octaèdres se changent en deux prismes à base carrée, dont les bases sont : la figure 4a pour le prisme qui dérive des octaèdres de la première classe, et la figure 43 pour le prisme qui est la limite des octaèdres de la seconde classe. Ces deux prismes ne peuvent pas composer à eux seuls un cristal ; majs ils terminent souvent un cristal, en se combinant avec les octaèdres ou avec la face terminale droite.

§ 28. Formes eomposées du deiuLième système erlstal* lia. — Lorsque les deux octaèdres primitifs de première et de seconde classe se combinent, l'octaèdre de seconde classe d forme des troncatures droites sur les arêtes de l'octaèdre de première classe Oy comme dans la figure 44, qui présente en même temps la face terminale droite e.

La figure 45 représente une combinaison de Toctaédre primitif Oi ayant pour formule {a: a : c)y avec Toctaèdre obtus de là même classe | ayant pour formule (et i a : \c), et avec l*octaèdre plus aigu M de la secionde classe (à : a : 2c). ^'S- ^- ^''^' ^'

La figure 46 rtoUs dohne une combinaison de roctaèdre primitifs, la : tf : c), avec le prisme droit de la même class(î g, (a : a : -^c).

I^ figiire 47 représente la combinaison du'même octaèdre primitif o, {a : a : c), avec le prisme droit de la seconde classe a, {a: oo a : ooc).

Fig. 46. Fig. 47. Fig. 48.

Dans la figure 48 nous trouvons une. combinaison de Toctaèdre primitif o, (a : a : c), avec la face terminale droite c, et avec le prisme de la seconde classe a, (a : oo a : ooc); Toctaèdre primitif domine daiis la combinaison.

La figure 49 représente une combinaison des deux prismes droits g et a ayant pour formules (a : a : œ c), (a : œ a : oo c), avec Toctaèdre primitif o, (a : a : c), et roctaèdre correspondant de la seconde

classe d, (a: oo a: c); lepnsme droit (a: a: ooc) domine dans la combinaison.

Enfin, dans la figure 50, on trouve une combinaison de l'ootaèdreprimitif 0, (a: a: à), avec Toctaèdre aigu de la même classes, (a : a : 3c), et le prisme droit de seconde classe Oy (a : oo a : oo c). Le prisme domine dans la combinaison.

tème cristallin.

^ 29. Les formes qui appartiennent au troisième système cristallin sont caractérisées par 4 axes, dont 3 sont semblables entre eux et se coupent sous des angles de 60^ le quatrième axe est d'espèce différente et se trouve perpendiculaire sur les trois autres. On choisit cet axe unique pour axe principal et les trois axes semblables deviennent les axes secondaires. Le rapport entre la longueur de Taxe principal et celle des axes secondaires est quelconque.

11 est évident que, dans ce système cristallin, les faces sont dispo-

CniSTALLOGRAPHIE. 25

sées symétriquement par rapport aux trois axes secondaires, tandis qu'elles sont disposées, par rapport à Taxe principal, d'une manière tout à fait difiterente de celle qu'elles présentent avec les axes secondaires. On rencontre dans le troisième système, de même que dans le deuxième et dans tous les systèmes suivants, des formes indéfinies qui ne peuvent pas à elles seules terminer un cristal.

Les principales formes simples qui se présentent dans ce système sont les suivantes :

Dodécaèdres hexagonaux ( fig. 51 ). Ces formes ont i 2 faces, i 8 arêtes et 8 angles.

Les faces sont des triangles isocèles.

Les arêtes sont de deux espèces : 12 arêles terminales D,*fet 6 arêtes latérales G.

Les angles sont également de deux espèces :

2 angles terminaux G qui sont réguliers et à 6 faces, et 6 angles latéraux à 4 faces qui sont seulement symétriques.

La section faite par les arêtes latérales donne la base^ qui est un hexagone régulier et qui renferme les trois axes secondaires. ng. :;i.

Les sections faites par deux arêtes terminales parallèles donnent des rhombes.

On peut distinguer deux classes de dodécaèdres, suivant la manière dont les axes secondaires sont disi)Osés par rapport aux côtés de la base. Dans la première classe, les axes joignent les angles de la base, comme dans la tigiu*e 52. Dans la seconde classe , les axes joignent les mi- ^ lieux des côtés opposés, conune dans la figure 53.

Les faces des dodécaèdres de la première classe, ou dodécaèdres directs, coupent deux p.^ ,^^ ^^^ ,^^

axes secondaires, sui- ° "

vant des longueurs égales a, et sont parallèles au troisième. Les faces des dodécaèdres correspondants de la seconde classe, ou dodécaèdres inverses, coupent un des axes secondaires, suivant une longueur a, et leurs prolongements coupent les deux autres axes secondaires, suivant des longueurs 2(i.

20 IMRODlCîlOK

D'après cela, la formule qui convient au dodécaèdre de la première classe est

(a : a: ooa : c);

tandis que celle du dodécaèdre correspondant de la seconde classe est

Outre les deux dodécaèdres dont nous venons de parler, il peut s'en présenter une infinité d'autres appartenant aux deux classes, et dont les formules générales seront

(a : a : oca : me) (2a : a : 2a : me).

nême substance, les dodécaèdres présenteles relations très-simples. Si l'on rapporte tnes (Taxes seeondaires égatiXy leurs axes lire eux des rapports rationnels très-simles valeurs de m seront 2, 3, 4 ou ^, i, J.

î ces dodécaèdres pour form£ principale, donnera la préférence à celui qui se préit, ou à celui qui domine ordinairement dans les combinaisons. En donnant à la forme primitive la formule

les formules des dodécaèdres seront

(2a : a : lia : c) (2a : a : 2a : 2c) (2a : a : 2a : 3c) (2a : a : 2a : 4c) (2a : a : 2a : *-c) (2a : a : 2a : ^c) (2a : a : 2a : je)

Mais on rencontre, en outre, très- fréquemment, des formes mdéfinies qui peuvent être considérées comme des formes lin[)ites des dodécaèdres, et que Ton obtient en faisant m « 0, ou m = oo dans les deux formules générales

(a \ a : aca : me) (2a : a : 2a : me).

En faisant m = dans ces formules, les dodécaèdres se réduisent à une seule face parallèle et semblable à la base. Nous donnerons à cette face le nom de face terminale droite. La notation de cette face sera donc (a : a : oo a : Oc), mais on écrit ordinairement sa formule ( oc a : 00 a : ce a : me), c'est-à-dire que l'on considère cette face comme la limite des dodécaèdres hexagonaux ayant Taxe principal

: Ou a

la

: ooa

CRISTALLOUUAPHIE. '27

mc, mais dont les axes secondaires, sans cesser d'être égaux, ont crû jusqu'à devenir infinis.

En faisant m = oo on a deux prismes à 6 faces qui ont pour formules

( a : a : oca : ooc) (2a : a : 2a : <xc).

Rhomboèdres ou hémidodécaèdres (fig. 54). Les rhomboèdres ont 6 faces, 12 arêtes et 8 angles. Les faces sont des rhombes; les arêtes sont de deux espèces, 6 arêtes terminales X, et 6 arêtes latérales. Les angles sont également de deux espèces : 2 angles C réguliers à 5 faces, et 6 angles latéraux Ë à 5 faces, mais irréguiiers.

L'axe principal joint les deux angles terminaux C, tandis que les axes secondaires joignent les milieux des arêtes latérales opposées, Les sections Fig. 54. passant par deux diagonales obliques CE, C'E' sont des rhombes dont les pians sont perpendiculaires aux faces du rhomboèdre auxquelles ces diagonales appartiennent. 11 y a trois sections de cette espèce dans un rhoniboàlre, et on les appelle sections principales.

On peut regarder le rhomboèdre comme dérivant du dodécaèdre hexagonal par un mode de génération semblable à celui par lequel nous avons déduit le tétraèdre de Toctaèdre régulier, c'est-à-dire en supposant que les faces alternatives du dodécaèdre prennent assez de développement pour faire disparaître les faces intermédiaires; il ne reste plus alors que les faces du dodécaèdre, qui sont parallèles deux à deux. Mais, comme on peut choisir Tun ou l'autre système de faces alternatives, il est clair qu'on obtiendra deux rhomboèdres (fig. 54 et 55), qui sont parfaitement égaux, et qui se confondraient si l'on faisait tourner l'un d'eux de 60" autour de son axe principal. Nous appellerons ces deux rhomboèdres rhomboèdre de première classe et rhomboèdre de deuxième classe; ou encore rhomboèdre direct et rhomboèdre inverse.

Les faces des rhomboèdres coïncidant avec les faces du dodécaèdre hexagonal, leurs notations seront les mêmes que celles des faces du dodécaèdre ; seulement, pour Fig. 55.

les distinguer de ces dernières, on affecte leurs formules du coeffi-

.28 IMUODlCTlOiN.

cient |. D'nprès cela, la notation des rhomboèdres de la première classe est

I (a : a : ooa : me)

et celle des rhomboèdres de la seconde classe sera

I (a' : a' : ooa : me).

Nous avons donné un accent aux deux premiers axes dans cette dernière formule, pour exprimer que les rhomboèdres de la seconde classe coupent, dans leurs prolongements, les axes qui sont coupés directement par les rhomboèdres de la première classe.

Une même substance qui cristallise dans le troisième système cristallin présente souvent plusieurs rhomboèdres de la première et de la deuxième classe. Si Von suppose que les axes secondaires de ces rhomboèdres sont égaux ^ on trouve que les longueurs des axes principaux sont entre elles dans des rapports rationnels et simples, ainsi que cela a lieu pour les dodécaèdres du même système. On choisit ordinairement Tun de ces rhomboèdres pour forme primitive, et on lui compare tous les autres.

Les rhomboèdres dont les faces sont placées de la même manière que les faces du rhomboèdre principal seront considérés conmie appartenant à la première classe; on rangera, au contraire, dans la seconde classe tous ceux dont les faces sont placées dans la direction des arêtes du rhomboèdre principal.

Les rhomboèdres présentent, comme les octaèdres du deuxième système cristallin, des séries de figures plus obtuses et plus aiguës. Chaque rhomboèdre obtus de ces séries a ses feces inclinées vers Taxe principal, de la même manière que les arêtes de la forme aiguë qui la suit immédiatement ; de sorte que chaque forme est le premier rhomboèdre aigu de celle qui la précède, et le premier rhomboèdre obtus de celle qui la suit. Les formes qui se suivent immédiatement dans ces séries sont de classes différentes.

Les rhomboèdres qui forment ces séries ont les notations suivantes :

Khomboèdre principal... (a : a : ooa : c) •

1" rhomboèdre' obtus (a' : a' : ooa : jc)

2' » » (a : a : ooa : Je)

T}" » » (a' : a' : ooa : |c)

1*" rhomboèdre aigu (a' : a' : ooa : "le)

2* » » (a : a : ooa : Ac)

Tj" )» » (a': a' : ooa: Se)

On rencontre, cependant, quelquefois encore, des rhomboèdres dont les axes principaux sont égaux à 5 fois ou à 5 fois Taxe principal du rhomboèdre primitif.

Didodécaèdres (fig. 56). Cette forme a 24 faces; elle présente l'aspect général d'un dodécaèdre hexagonal dont les faces seraient remplacées par des biseaux ayant leui*s arêtes dirigées comme les diagonales des faces du dodécaèdre.

Les faces du dodécaèdre sont des triangles scalènes. Les 36 arêtes sont de 3 espèces :

!• 12 arêtes terminales D, qui correspondent, par leur position, aux arêtes terminales du dodécaèdre hexagonal de première classe ; 2*12 arêtes terminales F correspondant, par leur position, aux arêtes terminales du dodécaèdre de la seconde classe; o* 12 arêtes latérales G, qui correspondent , deux à deux , aux Fig. 56.

arêtes latérales du dodécaèdre.

Les angles sont de 3 espèces : 1" 2 angles à 12 faces s\ métriques C, correspondant aux angles terminaux de Toctaèdre ; 2* 6 angles latéraux à 4 faces et symétriques A, qui correspondent aux angles latéraux du dodécaèdre hexagonal de première classe; 3" 6 angles latéraux à 4 faces et symétriques E, correspondant aux angles latéraux du dodécaèdre hexagonal de la seconde classe. ....

L'axe principal joint les angles terminaux V,; les axes secondaires joignent les premiers angles latéraux A.

La notation la plus généi*ale .des didodécaèrircs

{a : na : pa : mr),

les coeflicients;i, p, m représentent, des nombres entiers très-simples, tels que 1 , ' 2, 3', 4, . . . ou des fractions trèS-simpies ~, |, |, ^...

Les didodécaèdres ne se présentent jamais d^|is

les cristaux comme formes dominantes ; ma^on

♦les rencontre souvent, comme faces modifiantes,

dans des combinaisons, principalement dans

relies où domine le prisme à 6 faces., . .

Scalénoèdres ou hémididodécaèjjlres {iig. 57). Ce sont les formes hémiédriques des didodécaèdres ; on les obtient en prolongeant, jusqu'à leur rencontre, les

couples de faoes adjacentes au second système d'arêtes terminales alternatives F' (fig. 56)o Les deux scalénoèdres qui dérivent ainsi de chaque didodécaèdre ont les mêmes raj^orts de position que les detix rhomboèdres "dérivés du même dodécaèdre hexagonal ; il

ur de son axe principal, utre. Les notations des aèdre (a:na:pa: me).

me système. — Nous

îs formes composées du

allin.

[ite une combinaison du

ivec le premier prisme à

La figure 59 représente une combinaison du rhomboèdre principal r, ayant pour notation |(fl : a : œ a : c), avec son premier rhomboèdre obtus j:', dont la

notation est |(a! : a' œ a : |c); ce dernier rhomboèdre ~ étant la

forme dominante.

La figure 60 représente une combinaison du rhomboèdre principal r.

^ (a : a : oc a : c)

avec son premier rhomboèdre obtus ^

^^(a! : a' : oo a:^c) et avec son premier rhomboèdre aigu 2 r

J (a' :a' : ooa : 2c),

*me dominante.

la combinaison du rhomboèdre primitif

^{a: a: ce a: c)

CaiSTALlOGRAPHlE.

avec son deuxiôme rhomboèdre aigu 4r

I (a : a : oc a : 4 r),

ce dernier rhomboèdre Ar dominant

Fig. 61.

Fig. 62.

Fig. 63.

La fij^re 62 représente une combinaison du premier prisme à 6 faces g avec un rhomboèdre ^' de la deuxième classe.

La figure 63 montre une combinaison du rhomboèdre principal r avec le deuxième prisme à 6 faces a.

La figure 64 montre une combinaison du prisme à 6 faces g avec la face terminale c.

Enfin, la figure 65 représente une combinaison du scalénoèdre 3^ dominant

i{fl : |fl : Ja : e)

avoT le rhomboèdre principal r.

Fig. 64.

Fip. fin.

4* Quatrième système crhtaUin.

% 31. Les fonnes du quatrième système cristallin se distinguent par 3 axes rectangulaires qui sont tous les trois inégaux et d espèces différentes; il est évident, d'après cela, que le choix de Taxe principal est complètement arbitraire. Les rapports de grandeur entre les trois axes sont tout à fait quelconques, et en générai ils sont irrationnels.

Fonaes simples* — Octaèdres droits à hase rhombe(C\f^. 66). Les faces de ces octaèdres sont des triangles sciilènes. Les arêtes sont de

5 espèces : A arêtes terminales D qui joignent les extrémités de Taxe principal avec celles du premier axe secondaire ; 4 arêtes terminales F qui joignent les extrémités de Taxe principal et celles du second axe secondaire: 4 arêtes latérales G qui joignent entre elles les extrémités des axes secondaires.

Les angles sont de (rois espèces : 2 angles terminaux C placés aux extrémités de Taxe principal ; 2 angles latéraux A aux extrémités du premier axe secondaire; 2 angles latéraux B aux extrémités du second axe secondaire.

Les sections faites par les arêtes terminales doiment des rhombes (flg. 67 et 68); il en est de même de la section qui passe par les arêtes latérales et qui donne la base (fig. 69).

Fig. 67. Fip. 68. Fig. 69.

Lorsqu'une même substance affecte la forme de plusieurs octaèdres à base rhombe, tous c«s octaèdres présentent des rapports simples entre les longueurs de leurs axes.

La notation de la forme primitive est

Les autres octaèdres que pourra présenter la même substance seront alors exprimés par les formules suivantes :

( a : b : me) ( a : mb : c) (ma : b : c) (ma : nb : c),

m et ;/ étant des nombres rationnels très-simples.

CRISTALLOGRAPHIR. 35

Les trois premières formules peuvent être considérées comme des cas particuliers de la quatrième.

Le nombre des octaèdres du quatrième système qui peuvent se présenter dans une même substance est donc encore plus grand que celui du deuxième système. Mais, dans la réalité, ce nombre est très-limité, et Ton ne rencontre guère que les octaèdres qui ont pour formules

(a:b:lc) ^

et les formes limites que Ton obtient en faisant m et ;/ égaux à

zéro, ou à TinOni dans nos formules générales.

En faisant m ou n égaux à zéro, on réduit Toctaèdre à des faces uniques, perpendiculaires à Tun des axes du cristal. On obtient ainsi :

i* Une face perpendiculaire à Taxe principal, en faisant c-^-O; la notation de cette face devrait être, d'après cela {ma : nb : Oc) ; on lui donne ordinairement la notation (oo a : oo ^ : c), qui suppose quelle dérive des. octaèdres [ma : nb : c), ayant Taxe e, mais dont les axes secondaires ont crû jusqu a devenir infmis ;

2" Une face perpendiculaire au premier axe secondaire, que Ton obtient en supposant a>»0;* la notation de cette face devrait donc être (Oa : mb : ne) ; on lui donne la notation (a :oo b : c); c'est-àdire qu'on la suppose dérivée des octaèdres (a : mb : ne) ayant Taxe secondaire a, mais dont les axes ^ et c sont devenus infinis;

5* Une face perpendiculaire au deuxième axe secondaire, que Ton obtient en faisant ^'=0; la notation serait, d'après cela (ma :0b: ne); maison lui donne ordinairement la formule {x>a : h : occ); on regarde alors cette face comme la limite des octaèdres ayant Taxe b, et dont les axes aei c sont devenus infinis.

En faisant m ou n égaux à l'infini dans la formule générale on obtient trois systèmes de prismes dont les arêtes sont parallèles à chacun des trois axes :

l"" Un premier système renfermant des prismes verticaux dont les faces sont parallèles à l'axe principal; leur, formule générale est (a : mb : ooe); ils ont la même base que Toctaèdre dont ils dérivent. La notation du prisme vertical qui dérive de l'octaèdre primitif est (a: b : ooc).

2* Le deuxième système renferme des prismes horizontaux dont les faces sont parallèles au premier axe secondaire, et qui ont pour notation générale (a : oo^ : me); le prisme qui dérive de l'octaèdre primitif a pour formule (a : <x>b : c).

."î" Le troisième système renferme des prismes horizontaux dont les faces sont parallèles au deuxième axe secondaire ; leur notation générale sera (ooa : mb : c) et celle du prisme qui dérive de Toctaèdre primitif est {ooa: b : c),

§ 52. Formes eomposées. — Leé principales formes compo« sées qui se présentent dans ce système sont les suivantes :

(Fig. 70.) Combinaison de Toctaèdre principal o avec Toctaèdre plus obtus I , la face terminale c, et le second prisme horizontal f de Toctaèdre principal.

(Fig. 71.) Combinaison de Toctaèdre principal o avec son prisme vertical g, et le prisme vertical |.

(Fig. 72.) Combinaison de Toctaèdre principal o avec son premier prisme horizontal rf> et le prisme vertical |.

(Fîg. 73.) Combinaison du prisme vertical gf de la forme primitive, avec le second prisme horizontal fde la formé primitive, et avec un second prisme horizontal plus aigu ^f.

(Fig. 74.) Combinaison du second prisme horizontal fde la forme primitive, du premier prisme horizontal ^, et de la face terminale droite c.

Fig. 74. Pig. 75.

(Fig. 75.) La même combinaison avec la face terminale dominant.

(Fig. 76 ) Combinaison du premier prisme vertical g de la fomit; primitive avec la face terminale droite c; la face terminale dominant.

(Fig. 77.) Combinaison du prisme v^tical ^ de la forme primitive avec le premier prisme horizontal f , et de la face terminale c.

Fig. 76. Fig. 77. Fig. 78.

(Fig. 78.) Combinaison de Toctaèdre principal o avec les faces latérales a eib,

5" CAnquième système cnstallin.

§ 55. Le cinquième systàne cristallin est caractérisé par 5 axes (|ui sont tous trois dissemblables ; deux de ces axes sont obliques Tun sur Tautre, le troisième est à angle droit sur les deux autres. Les rapports de grandeur entre ces trois axes sont absolument quelconques, et, en général, irrationnels. On peut prendre Tua quelconque de ces axes pour axe principal.

La figure 79 représente un octaèdre appartenant à ce système un des axes obliques est pris pour axe principal c. Les faces sont des triangles scalènes, mais «lies sont de deux espèces.

Les arêtes sont de quatre espèces : i

I arêtes terminales qui joignent les axes '

a et c; les arêtes opposées étant seules égales entre elles, à cause de l'obliquité des axes ; 4 arêtes terminales qui joignent les axes ^ et c et qui sont toutes égales entre elles, parce que les deux axes b eic sont perpendiculaires entre eux; enfin, 4 arêtes latérales qtii joignent les axes perpendiculaires a et b, et qui, par suite, sont égales entre elles. Fig. 80.

La section faite par les arêtes D, D' (fig. 80) est un parallèle-

Fig. 79.

gramme qui renferme les deux axes obliques ; on lui donne le nom de section principale.

La section faite par les arêtes latérales donné la base de Toctaèdre qui est un rhombe (fig. 81).

Pour définir complètement Toctaèdre, il ne suffit plus de donner les longueurs des trois axes, il faut encore Fig. 81. "" assigner la valeur de Fangle ^ que les

deux axes obliques « et c forment entre eux.

L'octaèdre du cinquième système n'a pas toutes ses faces semblables ; ainsi ce n'est pas à proprement parler une forme simple. On peut le considérer comme une combinaison de deux prismes obliques, dont le premier est formé par les faces BAC, CAB', BA'C et C*A'B' (fig. 79) et dont le second est produit par les faces BCA', B'C'A, BAC*, CA'B'. On peut distinguer ces deux prismes en appelant le premier : prisme oblique antérieur de Voctaèdre, et le second : prisme oblique postérieur de Voctaèdre. Cette distinction est nécessaire, car il arrive fréquemment que, dans les formes composées de ce système, les octaèdres ne se présentent pas en entier, mais seulement par Tun de leurs prismes obliques; d'autres fois l'un de ces prismes dominé beaucoup sur l'autre.

Les valeurs des axes a, b, c, pouvant varier à l'infini, ainsi que Tangle ^ des deux axes obliques, il est clair que le cinquième système renfermera une infinité d'octaèdres différents. Mais, lorsqu'une seule et même substance présentera, dans ses formes cristallines, plusieurs octaèdres du cinquième système, on trouvera que, dans tous ces octaèdres, l'angle ^ est le même, et que les longueurs des axes rt, bf c de l'un de ces octaèdres présentent toujours des rap~ ports commensurables, et même en général très-simples, avec les longueurs des axes correspondants de tous les autres. De sorte que, si l'on choisit l'un de ces octaèdres comme terme de comparaison, et qu'on lui donne la notation (a : b : c), tous les octaèdres de la même substance se trouveront compris dans la formule générale

(ma : nb : pc),

les quantités m, n, p étant des nombres rationnels, commensurables, et en général très-simples, comme 2, 3, 4 ou |, J, J....

Les formes qui se présentent le plus fréquemment dans ce système sont les formes limites que l'on obtient en faisant successivement m = 00, n=» 00, p =» 00, ou en posant successivement m «-0, w — 0, ;? = 0, dans la formule générale.

CUISTALLOGHAPHIE. 57

En faisant p= o©, on obtient des prismes verticaux, parallèles à Taxe principal c, et dont on peut écrire la formule générale

(a:mb \ «c),

la notation du prisme principal sera

[a\h \ occ).

En posant n =^ oe , on a des prismes horizontaux, parallèles au second axe secondaire h^ et dont la formule générale est

(rt : <»^b \ me),

celle du prisme horizontal principal étant

(a : dc6 : c).

Enfin, en posant m ^ oc, on a des prismes obliques parallèles à Taxe secondaire a, et dont la formule générale est

(o©a:6:mc),

le prisme oblique principal ayant pour formule

(ooa \ b \ c),

p^=^0 donne une face terminale parallèle aux axes a et ^, à laquelle on peut donner pour notation {ma : nb : Oc); mais on lui donne ordinairement la formule (oo a : ac b : c) qui suppose que cette face est la limite des octaèdres (ma : nb : c) ayant Taxe principal c, mais dont les axes secondaires ont crû jusqu'à devenir infinis.

n = donne une face terminale parallèle aux axes a et c, dont 1» notation serait (ma : Ob : pc)\ mais on lui donne ordinairement la formule (ooa : b : od c); on regarde alors celte face comme la limiU^ des octaèdres (ma : b : pc), ayant Taxe secondaire b et dont les axes* ma et pc sont devenus infinis.

Enfin, m «=0 donne une face terminale, parallèle aux axes b ei c^ qui aura pour formule (Oa : nb : pc), mais à laquelle on donne oré»nairement la notation (a : ofob : occ), parce qu*on la suppose dérivée des octaèdres (a : nb : pc) qui ont Taxe secondaire a, et dont les axes nb et pc ont crû jusqu'à devenh* infinis.

§ 34. Les formes composées les plus simples qui se présentent dans ce système sont les suivantes :

La figure 82 représente une combinaison de Toctaèdre prhuitif complet Of o', (a :b:e)f avec le prisme vertical principal g,(a:b:xv).