ID

Bl et par suite, passant ù la limite :

,. Clx« ,. « « '""■ -gfî- = "•»• ID = CD'

rapport fini. Nous voyous donc que CI, infiniment petit par rapport

à Bl, n''est pas infiniment petit par rapport au carré Bl'.

Si donc on convient d'appeler infiniment petits du premier ordre' la quantité BI, et toutes celles qui, conmie BÂ, comme arc BG, arcBCÂ, ont avec BI un rapport limite différent de zéro, on pourra appeler infiniment petits du second ordre les quantités telles que CI,.... qui

ont un rapport limite différent de zéro avec le carré Bl*; infinimentpetits du troisième ordre les quantités qui ont un rapport limite différent de zéro avec )e cube Bl , et ainsi de suite.

6. Dans la mécanique comme dans la géométrie, on a souvent à considérer des grandeurs infiniment petites, et on arrive à poser des égalités dans lesquelles entrent des termes infiniment petits de divers ordres. Ces égalités peuvent toujours se simplifier, comme nous allons le voir par un exemple.

Soit régalité

A 4- B/i +C/4* — A' -H Wh -+- C /#^

dans laquelle A, B, C, A', B', C, sont des quantités variables ou constantes, mais finies, et k une quantité variable infiniment petite. On dira que dans cette équation les termes A et A' sont les termes finis, que les termes B/i et B/t' sont infiniment petits du premier ordre, et que les termes C/i*, C k^ sont infiniment petits du second ordre. On d(kluit d'^abord de cette égalité Téquation suivante :

(A — A') -h (B— B'jft 4- iC— C')/i2fc 0.

i^ette équation se décompose nécessairement en trois autres : , ,: A=A', B=B', C=C'.

En effet, Téquation étant toujours vraie quelque petit que soit h, est

8 miOBLÈMI-:

vraie quand h = 0, ce qui donne Â=:A'; supprimant done k terme A — A' et divisant par h, on aura une nouvelle équation :

(B— B')-h(C— C')ft=0,

laquelle est encore vraie quelque petit que soit h, et par suite vmie quand ^ == 0. Donc B = B'. Supprimant donc encore B — B', il vien Ç — C = ou C = C'. Ce résultat est général quelque soit le nombre des termes de Végalité donnée. Une équation dans laquelle entrent des termes infiniment petits d'ordres différents de petitesse se décompose nécessairement en autant d'équations qu il y a d'ordres différents. * Si Ton n'a besoin que d'une seule équation pour résoudre la question proposée, on la trouvera, en général, en prenant la première de» équations A := A% B = B', C = C', qui ne se réduit pas d'elle-même à une identité.

Si, par exemple, A est identique à A', mais que B ne soit pas identique à B^, l'équation B = B' renfermera la solution cherchée. On voit qu'elle résulte de l'équation primitivement posée, en réduisant les termes identiques A et A', et en effaçant les termes du second ordre, comme infiniment petits par rapport aux termes B/t et B'h qui sont du premier; on a alors :