LEMME II

9. Étant donnée une courbe DG,tenninée à deux ordonnées DA^CB, perpendiculaires à un axe MN, on partage Tintervalle AB des deux ordonnées en un certain nombre 4le parties égales, en menant les «ouTelles ordonnées a A, bi, ck, dl, em, fn, gp; puis par les points D»

h, i, ky.,,p, on mène parallèlement àMNdes droites D/i', ^t^ ikf, kl',,.. p(j, qui par leurs rencontres avec les ordonnées voisines achèvent les rectangles D\ah% habi\ ibck',.,, pgl^'. Cela posé, je dis que la somme de Ions ces rectangles a pour limite Vaire comprise entre la courbe DC, les deux ordonnées DA, CB, et Vaxe AB, lorsque le nombre des parties dans lesquelles on a partagé V intervalle AB augmente indéfiniment,

La démonstration que nous allons donner suppose que les ordonnées successives AD, ah, bi,.,. BC, soient croissantes du point A au point B, «u du point B au point A . S'il en était autrement, elle s^appliqueraif séparément aux portions de la courbe CD pour lesquelles cette condition serait remplie.

Supposons donc, que la courbe s'élèA e du point C au point D, comme cela a lieu sur la figure. Alors tous les rectangles indiqués dans Ténoncé sont intérieurs à la courbe et si Ton désigne par A Taire de cette courbe on aura par conséquent :

A > DA X Xa -^ haX ab -h ibx bc -\- . . . -^ pg X gB,

mais

si Ton désigne par n le nombre de parties égales obtenues en divisant

la droite AB; donc

il»

A >(DA 4--Aa H- fè -h . . . +;?^; X — .

Prolongeons extérieurement à la courbe les droiles hi',ik\ kl'., , pC,