ENGRENAGES CONIQUES OU ROUES D ANGLE

139. La théofie des engrenages coniques est calquée sur celle des engrenages cylindriques.

Soient OB, OB' les deux axes concourants autour desquels doivent s'opérer les deux rotations, savoir, c» autour de OB, et kJ au

tour de OB'. Nous supposerons que ces rotations s'opèrent en sens contraires, c'est-à-dire que l'axe de la première soit OB, et l'axe de la seconde le prolongenient de OB'.

Nous commencerons par chercher dans le plan BOB' un point A, tel qu'entraîné succes>ivement dans le mouvement autour de OB, puis dans le mouvement autour de OB', il ait la même vitesse linéaire en grandeur et en direction* Il faudra pour cela que l'on ait, en abaissant sur les axes les perpendiculaires Â&, kV y

AftXw=Afe'Xw',

équation qui déBiiit une droite AO, diagonale du parallélogramme construit dans l'angle BOB', avec des côtés proportionnels à 01 et à &>'. Imaginons que cette droite AO tourne autour de OB, de manière à engendrer un- cône droit à base circulaire dont OB soit l'axe; puis, qu'elle tourne autour de OB', de manière à engendrer un second cône de révolution; ces deux cônes seront tangents tout le long de la génératiiceCA; et si on leur imprime, autour de leurs axes et dans le sens des flèches, des vitesses angulaires égales a> et a>', ils n'auront pas de glissement l'un sur l'autre, puisque les vitesses linéaires des

Fig. 196.

GOMQUES. 219

points en contact sont égales et dirigées dans le même sens au passage dans le plan BOB^

On pourra donc transformer la rotation u autour de OB en une rotation w' autour de OB' par la simple adhérence entre les deux cônes OB et OB', comme on transforme (§ 122) la rotation autour d'axes parallèles par la simple adhérence entre deux cylindres.

Pour déduire de là l'engrenage conique, coupons les deux cônes par une surface sphéiique ayant le point pour centre^ et un rayon OA arbitraire.

Cette surface sphérique coupe les cônes suivant les deux cercles Afe, W; cela posé, traçons sur la spbèi e, à partir du point A, une courbe quelconque qui représentera le profil du creux pratiqué dans la roue kb'; cherchons ensuite l'enveloppe des positions de cette courbe dans le mouvement relatif du cercle A^ par rapport k kb; ce mouvement se réduit au roulement du premier cercle de la sphère sur le second ; dans ce mouvement, chaque point du profil mobile décrit une courbe épicycloïdale sphérique, et l'enveloppe des positions de ce profil s'obtiendra en appliquant les mêmes principes qui nous ont servi pour la recherche de l'enveloppe des positions d'une figure plane de forme constante, mobile dans son plan suivant une loi donnée (§ 82).

Les courbes ainsi tracées serviront de directrices à des surfaces coniques ayant pour centre commun le point 0, et dont l'une formera la surface de la dent d'une roue, et l'autre, la surface correspondante du creux de l'autre roue ; les deux surfaces coniques se loucheront à un instant donné suivant une génératrice, et le plan élevé par cette génératrice perpendiculairement aux deux surfaces coniques en prise passera par la droite OA , génératrice de contact des deux cônes primitifs.

On pourra donc construire les engrenages coniques comme on construit des engrenages cylindiiques, en effectuant sur la sphère les constructions analogues à celles qu'on effectuerait sur le plan, puis en prenant les figures résultantes pour bases de cônes, dont le sommet commun soit au point 0.

Le prolongement de ces surfaces jusqu'au point est purement fictif, car, dans la pratique, on limite les roues à deux sphères concentriques.

1 40. Les constructions à exécuter sur une smTace sphérique ma-

térielle sont aussi faciles que les constructions sur un plan; les arcs de grand cercle y remplacent les lignesdroites. Mais il serait difficile de réaliser matériellement la* surface sphérique auxiliaire pour y tracer les profils des pleins et des creux des deux roues. Si la sphère était une surface développable, on pourrait l'appliquer sur le plan, et alors on n'aurait plus qu'à effectuer dès constructions planes, qu'il serait facile de reporter ensuite sur la sphère. Ce procédé est inadmissible, puisque la sphère n'est pas applicable sur le plan. Mais nous n'avons pas besoin pour notre tracé de -toute la surface de la sphère auxiliaire; les figures que nous avons à construire sont en effet réparties sur deux zones étroites de cette sphère, l'une ayant le cercle kb, l'autre le cercle A 6' pour lignes moyennes; on peut remplacer ces zones, à cause de leur petite largeur, par les surfaces développables des cônes droits qui leur sont circonscrits ; on pourra donc dérouler les cônes sur le plan, et on aura, par ce procédé, développé approximativement, non pas la sphère entière, mais les régions de cette sphère utiles pour la solution du problème proposé. Cette simplification a été imaginée par Tredgold. Au point A, pris sur la génératrice de contact des cônes primitifs, élevons une perpendiculaire SS' à OA dans le plan des

deux axes. Elle ooupera les axes en deux points S et S' qui seront les sommets respectifs des cônes de révolution circonscrits à la sphère suivant les cercles kb^ kV. Ces cônes S et S' seront tangents entre eux suivant leur génératrice commune SS', car ils ont pour plan tangent commun un plan conduit par SS' ' perpendiculairement au plan BOB' . Imaginons que le tracé de la base de l'engrenage dessiné sur la sphère, soit reporté sans altération sur les cônes qui ont une zone commune avec elle tout le long des parallèles Afc, kb\ Considéré sur ces cônes aux environs de la génératrice SS', le tracé ne différera en rien de celui d'un engrenage cylindrique qui aurait pour centres les points S et S' et pour rayons

Fig. 197.