DE L'ACCÉLÉRATION COMPLÉMENTAIRE
Dans le premier cas, il faudra faire dans la formule qz=0 et Vg = 0; elle se réduira donc à
ce qui est d'accord avec la règle ; car si p et Vy sont positifs, la rotation instantanée tend à faire tourner l'extrémité de la vitesse relative dans le sens YZ, et par suite Taccélération complémeur taire a la direction positive OZ. On vérifierait de même la formule pour les autres signes que peuvent avoir les facteurs.
Dans le second cas, il faudra fairej9 = 0, Vy =0, et par suite, on aura je^ , = — ^qv^, ce qu'il est encore facile de vérifier en faisant successivement q et Vy positifs et négatifs.
Le signe de la formule, vérifié dans ces cas particuliers, peut être admis dans le cas général en vertu du principe de continuité.
En raisonnant de même pour les deux autres plans, on parviendra aux formules suivantes, que l'on peut déduire Tune de l'autre par de simples permutations de lettres :
Je^=^{gvt—rvy); jc,t=^{pvt—qvx).
Pour former ces équations, on peut écrire sur une même ligne les trois composantes de la rotation instantanée dans l'ordre p, g, r, mais en récrivant la première à la suite de la troisième ; audessous on écrira dans le même ordre les trois composantes de la vitesse relative v^^ Vy^ v, qu'on fera suivre de même de la première, comme si ces composantes étaient éyritesen cercle; on obtiendra ainsi le tableau suivant :
Vx Vy. Vs Vg
On formera les différences des produits en croix^
pvy-qvx, qvt-^rvf, rvx —pvt,
des termes de cette double sui'e ; on les multipliera par 2, et les produits représenteront cbacnn une des composantes de l'ac-
MfCAir.. EK9. SréciAL. 3« ATfV, . 18
cëlêration je,; chaque produit contient les composantes, parall&les à deux des axes coordonnés, de la rotation et delà vitesse relative et représente la projection de Vaccélération je sur le troisième axe.
PROBLÈMES A BÉSOUDRE.
1 . Un courrier part à midi du point À. Un second courrier part n midi 30 minutes du point B. Tous deux suivent la droite ÂM. Celui qui oart du point  fait 15 kilomètres à F heure. L'autre a une vitesse de
Fig. 252.
3'°,50 par seconde. On demande de déterminer le point G où le premier courrier atteindra le second, et de trouver Theure de la rencontre, sachant que la distance ÂB est de 27 kilomètres.
S. L'aiguille des heures et celle des minutes sont ensemble sur midi. Trouver les heures où elles sont encore superposées ; — les heures où elles font Tune avec Tautre un angle droit; — un angle de 120**.
8. L'aiguille des heures, celle des minutes et celle des secondes (dans une horloge à secondes) sont ensemble sur midi. Déterminer les h^iu*QS de la rencontre de TaiguiUe des heures avec celle des secondes; — les heures de la rencontre de l'aiguille des minutes avec celle des secondes; — les heures de rencontre des trois aiguilles. — Démontrer que jamais les extrémités des trois aiguilles, supposées d'une égale longueur, ne peuvent former les sommets d'un triangle équilatéral.
4. Le globe terrestre fait un tom* entier autour de son axe en vingt-quatre heures, et le méridien terrestre est une circonférence de 40,000,000 de mètres de longueur. Déterminer la vitesse linéaire de points pris à la surface du globe sur Téquateur ; — > à 30* de latitude ; — à 45- ; — à 60'.
5. Un observateur placé sur le haut d'une tour laisse tomber en dehors de la tour une petite pierre qui vient frapper le sol. Il note le tenaps écoulé entre le moment où il a abandonné la pierre et le moment où il entend le bruit. On demande la hauteur de la tour, en tenant
compte du temps que le son aura employé pour remonter du sol à l'oreille de l'observateur. Le temps observé est de 4 secondes, et la vitesse du son dans l'air est de 340 mètres par seconde.
6. Une roue d'engrenage ayant 1 20 dents, engrène avec un pignon qui en a 8 ; sur Taxe du pignon est montée une seconde roue qui porte 75 dents et qui engrène avec un pignon qui en porte 10; ce second pignon fait corps avec une troisième roue, portant 54 dents, laquelle engrène avec une roue calée sur un arbre tournant, et portant 20 dents. On fait faire à la première roue un tour et demi par minute ; on demande 1* la vitesse angulaire du dernier arbre, 2" le nombre de tours qu'il effectuera par minute.
9 . La circonférence primitive d'une roue dentée a un diamètre de 4 ",25; la circonférence conjuguée a un diamètre de 0",15; sur l'axe de cette circonférence est montée une seconde roue dont la circonférence primitive a un diafnètre de O^jOO et qui engrène avec une roue calée sur un arbre tournant ; la circonférence primitive de cette dernière roue a un diamètre de 0",22. — On imprime à la première roue un déplacement angulaire de 50**. Trouver la longueur de Tare décrit par les points de la dernière circonférence primitive. Chercher quels nombres de dents on peut attribuer aux différentes roues de cet équipage de roues dentées.
8. Sur l'arbre ÀÀ, est montée une roue M qui engrène avec une roue N, montée sur un axe BB. En un point donné de l'un des rayons de
Fig. 255.
celte roue N, est monté un axe GG, lequel est entraîné dans le gouvernent de la roue N et porte deux roues solidaires P et Q. La roue Q engrène avec une roue fixe S, montée sur Taxe BB. La roue P engrène avec la roue B, montée également sur l'axe BB.
On demande de déterminer le rapport des vitesses angulaires des roues M et R, connaissant les pombres
des dents que portent respectivement les roues
Les (rois roues N, R, S, bien que montées sur te même aie géomé- Irique, sont iadépendanles les unes des autres.
Appliquer la formule k m=30, fl=24, p=ei , g=43. r=l9,î:^37.
Résoudre le même problème en introduisant une nouvelle roue raisaul corps avec la roue M, engrenant ayec la roue S et possédant
•. Une roue d'engrenage A est fixe; autour de son aie tourne le bras porte-train BB. Ce bras porte deux aies s et ^ parallèles au premier.
Sur l'aie a est montée une roue C, qui engrène d'un coté avec la roue fiie A, et de l'autre
'"■'"■ EllapoueB/n-l.
Le nombre des dents de la roue C est indifférent.
Déterminer les vitesses angulaires 'prises pjr les trois roues P, Q, et R, lorsque l'on imprime au bras porte-train une vitesse a autour de l'aie fiie. {ParadoTe de\Fergiisson.)
I». Le mouvement est donné ^ la machine à aVser par la roue G,
montée sur l'arbre creui cccc. L'oulil B, est monté sur cet arbre, i l'inlérîeur duquel passe une vis MH, prise ï ses eilrémilés dans des
paliers fixes; L^outil est rattaché à ua écrou mobile E, qui embrasse cette vis, et qui sort du cylindre creux par la fente FF.
Le cylindre creux porte une roue d engrenage L, qui engrène avec la roue R; celle-ci fait corps par Tintermédiaire de Taxe II, avec une roue R' qui engrène avec la roue K, donnant la rotation à la vis. 11 résulte de ces dispositions que quand on fait tourner la roue 6, Toutil B tourne au dedans du cylindre et avaœe en même temps d*une certaine quantité.
On donne le pas Ji de la vis, le notilbre n des dents de la roue K, et le nombre n — i des dents de la roue L; on sait, d'ailleurs, que les roues R et R' ont le même nombre de dents.
On demande de déterminer la quantité dont s'avance latéralement Toutil au dedans du cylindre par chaque tour de la roue G.
1 i . Une circonférence G roule sans glisser à Tintérieur d'une circonférence fixe S. Un point de la première décrit dans ce mouvement une épicycloïde intérieure. Démontrer qu'on peut engendrer la même épicycloïde par un point d'une seconde circonférence C', roulant à l'intérieur de la circonférence S.
It. Démontrer qu'oti peut toujours, étant données deux lignes tracées dans Un plan, faire décrire la première par un point attaché invariablement à une troisième ligne roulant sans glisser sur la seconde.*
i8# Construire la troisième ligne du problème précédent, en admettant que les deux premières sont deux droites qui secoupeui.
14. Construire la courbe que décrit le foyer d'une parabole roulant sans glisser sur une droite fixe. Mener la tanjente à la courbe ainsi décrite, et trouver son centre de courbure en un point donné.
iS. Construire la courbe décrite par un point mobile, connaissant la valeur constante de la projection de sa vitesse sur une droite horizontale, et sachant que la vitesse de sa projection sur une verticale croit proportionnellement au temps. Mener la tangente à la trajectoire, et construire le centre de courbure un en point donné.
m. Un point mobile se meut à la surface de la terre, supposée sphcrique, avec une vitesse v donnée et dans une direction donnée. Déterminer V accélération complémentaire due au mouvement de rotation du globe, et trouver les valeurs des composantes de cette accélération projetée sur la verticale du lieu, sur la tangente au méridien et sur h tangente au parallèle.
t V . Deux excentriques circulaires égaux A et A', sont calés sur un môme arbre tournantO(fig. 256). Les barres AB, A' B' de ces deux excentriques sont articulées apx points B et B' avec une coulisse en arc de cercle^ dans laquelle est engagé le cotUis^au C. Le point B' est en outre assujetti à rester k un^ distance invariable LB' d'un point &xe L. Le coulis-
««au C fait corps aTec une pieu CDEeug|>eiiduâ suiwint Sie E et mobile aotour de ce point. Elle commande par son eilrémité D une tige DNP,
3rl[culée au»; poinU D et N, et destinée à transmettre 1 un tiroir m n»u»emeDt rectUigne alternatif. — On peut modifier l'amplitade dee«
mouvement en relevant plus ou moins la coulisse BB'; pour cela, on n'a qu'à déplacer le levier FG, appelé leviei' de changement de marche, en faisant décrire à Tarticulation H, autour du centre G, une portion plus ou moins grande de Tare de cercle UH'. La tringle HK transmet ce déplacement au levier coudé KIL, mobile autour de Y arbre de relevage- 1. Une double bielle de relevage, LB', rattache Textrémité L' de ce levier à l'articulation B' de la coulisse. Le contre-poids M, qui équilibre les pièces mobiles dans toiites leurs positions, est destiné à faciliter ces manœuvres. — On demande :
l** De démontrer que pour une position donnée du point L, le centre instantané de rotation de la coulisse BB' est à Tintersection de la droite LB', avec la droite menée par le centre et le point de concours des axes des deux barres d'excentrique AB, A' B' ;
2"* De trouver les limites d'excursion d'un point P, pris sur la tige NP, et de construire la courbe correspondante des espaces, pour différentes positions du levier de changement de marche, FG.
(Coulisse de Stephenson, pour la distribution de la vapeur dans les locomotives.)
