POUR LE TRAC:Ê DES TANGENTES AUX COURBES

58. Lorsqu'un point mobile engendre une courbe Ja vitesse de ce point est à chaque instant dirigée suivant la tangente à celte courbe. Décomposons à un certain moment le mouvement du point en deux mouvements simultanés : la vitesse absolue du point sera la résultante des vitesses correspondantes à chacun de ces deux mouvements. Si donc on sait trouver les vitesses de ces deux mouvements, on pourra construire la tangente a la courl)e par la règle du parallélogramme des vitesses.

Quelquefois, on peut déterminer facilement Tune des deux vitesses composantes en grandeur et en direction et, la seconde, en direction seulement, ce qui ne suffit pas pour construire le parallélogramme dont la tangente cherchée est la diagonale. Dans ce cas, on peut souvent achever la solution en décomposant le mouvement du point d'une autre manière, dans laquelle les deux*vitesses composantes soient encore connues «m direction et Tune d'elle en grandeur. Ces diverses méthodes sont connues en géométrie sous le nom de Méthode de Roberval.

MÉTHODE DE HOBERVAL.

Cherchons, par exemple, à mener ime tangente en un point donné de la conchoïde. Cette courbe EF s'obtient eu menant par un même point des transversales OD, qui rencontrent une droite fixe ÂB, et en prenant sur ces transversales une longueur constante CD à partir de la rencontre avec la droite AB.

Soit D le point auquel on demande de mener une tangente à la courbe.

Considérons une position infiniment voisine OD' de la transversale,

ce qui nous donne un point de la courbe D' infiniment voisin du point D. Soit C le point de rencontre de la transversale avec la droite ÂB.

Projetons les points C et D' sur OD; nous décomposons ainsi chacun des éléments CC\ DIX, j^M décritspar les points mobiles C etD, en deux éléments CC'et C"C',DD^ et D'' D', et si nous divisons tous ces éléments par le temps infiniment petit que la droite OD met à passer à la position CD", nous aurons les vitesses des points C et D, et les composantes de ces vitesses projetées sur OD et sur une perpendiculaire à OD.

Les longueurs CD et C D' sont égales par hypothèse ; d'ailleurs, la longueur C D'^ projection de C D' sur une direction qui fait avec OIV un angle infiniment petit, est égale à C D', à moins d'un infiniment petit du second ordre. Par suite Fig. 72. C^'D^^CD, et retranchant de part et d'autre

la partie commune C" D, il vient CC" = DD". Si Ton divise par d, on voit que les vitesses des points C et D, projetées sur OD, sont égales.

Les vitesses de ces points perpendiculairement à OD sont égales à

— r- et — r— , et, par suite, elles sont entre elles comme CCeUyD*,

ou comme les distances OC', OIV, qui deviennent à la limite égales à OC et OD.

Prenons donc, à partir du point C dans la direction CÂ, une longueur arbitraire CH, qui représentera la vitesse du point C le long de la droite BA. Puis décomposons cette vitesse CH en deux vitesses, Tune CG suivant OD, Tautre CK perpendiculaire à la première. Nous venons de voir que la vitesse absolue du point D a une composante suivant OD égale à la composante de la vitesse du point C, c'ci^t-à-dire égale k CG. On prendra donc DM =CG. La composante de la vitesse du point D perpendiculairement à OD est à la composante CK comme OD est à OC. Élevons

CONCHOÏDE, CERCLE.

au point D, DL perpendiculaire à OD, puis joignons OK et prolongeons cette droite jusqu'au point L ; nous aurons la proportion :