D'UN BIOUYEMENT CIRCULAIRE UNIFORME

incliné tel que le rayon OD mené dans le cercle par le point perpendiculairement à A A' ait pour projcclion le demi-pelit axe OB.

Supposons qu un mobile M parcoure avec une vitesse constante v la circonférence de ce cercle. L'accélération totale du mouvement de ce point est J

dirigée de M vers 0, et est égale à —, a

Fiff. 90.

a étant le rayon du cercle, c'est-à-dire le demi grand axe OA de Tellipse.

La projection de Taccélération totale sur le plan de Tellipse sera l'accélération totale du mouvement de la projection M' du mobile M ; elle sera donc dirigée de M' vers 0, suivant la droite M'O, projection de MO.

Les aires décrites dans le plan du cercle parle rayon vecteur MO ont pour projection sur le plan de Tellipse les aires décrites par le rayon M'O. Or/ le rapport de la projection orthogonale d'une aire plane à celte aire ne dépend que de l'angle du plan de la première aire avec le plan de projection, et par suite les aires

décrites par le rayon M'O dans le plan a' o m a

de l'ellipse sont proportionnelles aux l'^'s* ^^'

aires décrites par le rayon MO dans le plan du cercle ; ces dernières aires croissent proportionnellement au temps, puisque la vitesse du mouvement circulaire est constante. Donc les aires décrites par le rayon M'O dans le plan de l'ellipse croissent aussi proportionnellement au temps ; en d'autres termes, la vitesse are'olaire du point W autour du centre Ô de V ellipse est constante.

Nous verrons tout à l'heure qu'il en est de même tontes les fois que Taccélération totale passe constamment par un point fixe 0.

Enfin, l'accélération totale du point M' est proportionnelle à la distance M^O.

Pour le démontrer, considérons l'accélération totale — , du

mouvement circulaire ; elle est dirigée de M vers 0. Nous pou-

vons la décomposer en deux accélérations, Tune jx , accéléralion

du mouvement delà projection m le long de Taxe OA, etTautrej^ ,

accélération du mouvement de la projection n, du point M le long

de Taxe OD (fig. ^\his). Or nous avons

^^^ vu (§ 41, p. 69) que jjc est proportion-

/ÎX nelle à la distance Om ; de même, j^

/ I \ est proportionnelle à la distance Ow.

^ I \ L*accéléralion totale du point M' se

— ^^ ^ décomf)ose de même en deux ; Tune,

i égale à j^ , n'est autre que laccéléralion

Fig. 91 his, du i3oint m, projection sur OA du point

BI lui-même : elle est donc proportionnelle à la dislance Om ; l'autre,

égale à ;\, est la projection sur OB dcraccéléralionjy, laquelle

est dirigée suivant le rayon OD du cercle, et est proportionnelle à

On; donc /y, projection dej^, est proportionnelle à On', projec-

.• j r. 1 On' , . , . OB * j

tion de On ; or le rapport jr- est égal au rapport — = — des

axes de l'ellipse. En définitive, Taccélération totale du mouvement du point M' est la résultante d'une accélération j'^, proportionnelle à Om ou à M'n', et d'une accélération j\ , proportionnelle à On' ou à M' m; la résultante des deux accélérations M'n' et M' m est représentée en grandeur par la diagonale M'O du parallélogramme construit sur M'n' et M' m; raccélération totale est donc proportionnelle à la distance M'O.

HAYON DE COURBURE DE l'eLLIPSE.

67. Nous venons de démontrer queraccélcration totale du point M' est dirigée vers le point fixe G et qu'elle est proportionnelle à la distance M'O, qu'enfin les aires décrites par le rayon vecteur CM' sont proportionnelles au lenops.

Soit tù la vitesse angulaire constante du rayon OM dans le cerde ADA', qui a pour projection Tellipse ABA'; Taccélération totale du mouvement projeté sera égale à w* x OM'. On peut déterminer le nombre constant u. En effet, u étant Tangle décrit dans Tunité de temps par le rnyon OM, si Ton appelle T la durée du parcours entier du cercle,

DE L'|LLirSE,

û> X T sera égal à 2 tt et, par suite, « = A^ ; raccélération totale

s'exprime donc par '^ X OM'.

Si on la projette sur la normale à Tellipse au point M', on aura la composante centripète de cette accélération, c'est-

à -dire — , en appelant v

la vitesse du point M' et p le rayon de courbure de Tellipse.

Pour évaluer la vitesse, abaissons du point sur la tangente M' T une perpendiculaire OT.

Le produit y i; x OT sera Taire décrite dans Tunité de temps par

le rayon vecteur OM'; or, dans le temps T, le rayon vecteur décrit la la surface de Tellipse entière, itab. Donc

Fiff. 92.

YX0TxT=7raZ»,

et par suite