DU LEVIER

parallèles qu'on voudra, agissant les unes dans un sens, les autres en sens contraire , on cherchera la résultante des premières , puis celle des dernières, et Ton obtiendra ainsi deux résultantes partielles, agissant en sens contraires et dans des directions parallèles. Il n'y aura plus ensuite qu'à composer entre elles ces deux résultantes partielles, conformément à ce qui a été dit dans le § 26. Cette dernière composition pourra toujours s'effectuer, à moins que les deux résultantes partielles ne soient égales, et n'agissent pas suivant la même ligne droite : dans ce cas exceptionnel , les forces données n'auront pas de résultante.

§ 28. iKi le^«r. — Avant d'aller plus loin, nous appliquerons ce qui précède à la recherche du principe du levier y principe qui nous servira ensuite pour trouver la résultante de deux forces appli* quées à un môme point , suivant des directions différentes.

Le levier est une barre AB, fig. 20, à l'aide de laquelle on soulève un corps pesant M, qui porte sur l'extrémité A, en exerçant un effort à Tautre extrémité B. Cette barre est appuyée en C , sur l'arête dl'un support, autour de la- * qnelleelle peut tourner, lorsque l'effort f»s- 20.

appliqué en B est suffisamment grand. Supposons que le corps M, déjà soulevé d'une petite quantité , soit maintenu immobile, à l'aide du levier, dans la position qui lui a été donnée : le levier se trouvera soumis à l'action de deux forces, dont l'une est la pression que le corps M exerce en A, et l'autre est l'effort appliqué en B pour empêcher le corps M de retomber. Ces deux forces, que nous regarderons comme parallèles, peuvent, d'après ce qui précède, être remplacées par une force unique, produisant le même effet sur le levier. Cette force unique doit passer par le point C : car, s'il en était autrement, si elle était dirigée à gauche ou à droite de ce point, suivant mn, ou suivant pg, le levier tournerait nécessairement autour du point C, à gauche ou à droite, sous l'action de cette force qui lui serait seule appliquée. L'immobilité du levier, sous l'action simultanée des deux forces qui lui sont appliquées en A et en B , exige donc que la résultante de ces deux forces passe par le point C. Mais on sait cpie, pour cela, il faut que les forces soient inversement pro-

portionnelies aux distances AC et BC, qu'on nomme les bi^as du levier. Si CB est 4 0 fois, 4 00 fois, 4 000 fois plus grand que AC , Teffort qu'on devra exercer en B sera 4 0 fois, 4 00 fois, 4 000 fois plus petit que la pression supportée en A par le levier, et à laquelle il s'agira de faire équilibre. De là le principe suivant : Deux forces, agissant sur un levier^ se font équilibre, lorsqu'elles sont entre elles dans le rapport inverse des bras de levier^ auai extrémités desquels elles sont appliquées.

Ce principe a été découvert par Archimède , qui en a exprimé toute l'imporlance par ce mot bien connu : « Qu'on me donne un levier et un point d'appui , et je soulèverai le monde. »

§ 29. Le levier, sur lequel a élé fait le raisonnement précédent, était supposé droit, et soumis à l'action de deux forces parallèles l'une à l'autre. Examinons maintenant un levier coudé ACB, /îgf . 24 ,

P aux extrémités

fe^^ . duquel sont ap-

' ^^^^ ^pliquéesdeuxfor-

~>ces, respective-

^ mentperpendicu-

lairesauxbrasde

î , Fig. 21. levier AC et BC.

^ Imaginons que le

bras de levier BC soit supprimé , et qu'on le remplace p^r un bras de levier B' C, de même longueur, mais dirigé suivant le prolongement du bras de levier AC : le levier coudé ACB se trouvera remplacé par un levier droit ACB'. On admettra sans peine que, si l'on applique en B', perpendiculairement à B'C, la force qui était appliquée en B, elle agira de la même manière, pour faire tourner le levier autour du point d'appui C; et que, dans l'un et l'autre cas, elle devra avoir la même grandeur, pour faire équilibre à la force qui est appliquée au point A . Mais nous avons trouvé que, pour l'équilibre du levier droit soumis à l'action de deux forces parallèles, il fallait que les forces fussent inversement proportionnelles aux bras de levier aux extrémités desquels elles agissent : il en sera donc de même du levier coudé , soumis à l'action de forces dirigées perpendiculairement aux bras de ce levier.

11 arrivera souvent que les forces appliquées à un levier, droit ou coudé, ne seront pas dirigées perpendiculairement à leurs bras de levier. Dans ce cas, si l'on imagine, /!gr. 22, des perpendiculaires CA', CB', abaissées du point d'appui C sur les directions des deux forces, on pourra regarder les forces comme étant dans les mêmes conditions que si elles étaient appliquées aux extrémités du levier

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coudé A'CB' ; et ion en conclura que, pour qu'il y ait équilibre, il faut que les forces soient inversement proportionnelles aux longueurs des perpendiculaires CA' et CB'. On voit donc que, pour que le principe du

levier, énoncé pré- - -^ '

cédemment , con- ^ "" ^

vienne à tous les cas , il faut qu'on

entende par bras

de levier, aux extrémités desquels

les forces sont appliquées, les perpendiculaires abaissées du point

d'appui sur les directions des forces.

§ 30. Lorsqu'un levier ABC, fig. 23, aura son point d'appui à

l'une de ses extrémités C, t

et sera soumis à deux forces 1 -n ^

appliquées en A et B, dans a

des directions parallèles ,

mais en sens contraires, on

pourra considérer CA et

CB comme deux bras de le-

Fig. 23.

vier. aux extrémités desquels ces forces agissent, et Téquilibre aura lieu lorsque les forces seront inversement proportionnelles à 'ces bras de levier. On peut donner la brouette, fig» 2i, comme exemple de ce genre de levier. Le point d'appui est l'axe de la roue ; Tune des forces appliquées est le poids du corps placé dans la brouette ; et l'autre force est la résultante des deux pressions exercées de bas en haut par les mains de l'homme qui tient les manches de cette brouette.

§31. Dans tout ce que nous venons de dire, relativement au levier, nous l'avons toujours regardé comme étant un corps solide de forme invariable. H n'en est pas réellement ainsi : un effort, quelque petit qu il soit, déforme toujours un peu le corps auquel il est appliqué. Lorsqu'un levier est soumis à l'action de certaines forces, il commence par fléchir, puis il conserve la nouvelle forme qu'il a prise, tant que les forces agissent sur lui ; il se trouve alors dans les

mômes conditions que s'il n'avait jamais eu d'autre forme que celle (lue les forces lui ont donnée, et l'on peut lui appliquer, en toute rigueur, ce qui a été dit précédemment pour un levier de forme invariable. Il est clair que, quand on voudra se servir d'un levier, on devra toujours le prendre assez solide pour que la déformation qu'il éprouvera, sous l'action des forces, ne dépasse pas la limitede son élasticité. § 32. Forces appllqtnées ii un point dams diverses direefions. — Il est aisé de reconnaître que deux forces, appliquées à un même point, dans deux directions différentes, ont une résultante. Imaginons pour cela qu'une corde ACB, fig. 25, ait été attachée, par ses deux extrémités, en deux points fixes A et B; et qu'au point C on ait suspendu un poids de 4 0^, à l'aide d'une autre corde CD. Le poids se placera de manière que la corde CD soit verticale : les deux por-

^ tions AB , et CB de la première corde

seront tendues , et leurs tensions seront des forces appliquées au point C, suivant CA et CB, qui maintiendront en équilibre le poids de 1 0*'. Mais ce poids serait également tenu en équilibre par une force unique de iO^j agissant sur le point C, verticalement et de* bas en haut, suivant CD' ; cette dernière force produirait donc, à elle seule, le même F'S- 25. effet que les forces dirigées suivant CA

et CB, agissant ensemble, et par suite elle est leur résultante. § 33. Soit M, fig, 26, un corps soumis à l'action de deux forces, l'une de 3*^, l'autre de ô*', représentées en grandeur et en direction par les lignes droites AB, AC. Pour trouver la résultante de ces deuxforceSy on construira le parallélogramme ABCD ; la diagonale AD représentera ' celte résultante^ en grandeur et en direction. Nous diviserons en deux parties la démonstration de cette proposition, et nous commencerons par prouver que la résultante des deux forces données est dirigée suivant la diagonale AD.

KNous avons un moyen bien simple de reconnaître si la résultante des forces AB et AC est dirigée suivant AD : c'est de supposer que le point D du corps soit fixe, et que le corps ne puisse que tourner autour de ce point. Si la résultante passe, en effet, par le point D, la fixité de ce point détruira complètement son action, et le corps res-