SURFACE DE SÉPARATION DE DEUX LIQUIDES

position, on voit que le. serrement ne peut céder à la pression du liquide qu'en écartant les parois de la galerie contre lesquelles il " s'appuie.

Dans la partie B de la mine qui est inondée, l'eau exerce aussi une pression énorme sur toutes les parois qu elle touche. Cette pression s'exerce aussi bien sur les parois supérieures des cavités où elle est répandue, que sur leur sol et sur les parois latérales. Aussi Teau contribue-t-elle puissamment, en pareil cas, à soutenir le terrain qui est au-dessus de ces cavités ; et si l'on vient à l'épuiser à l'aide de pompes, pour reprendre les travaux dans les parties de la mine qui étaient inondées, il se produit des éboulements nombreux, en raison de ce que le terrain n'est plus soutenu comme il l'était auparavant.

§ 227 . SarfSnce de séparation de deux liquides, t— Lorsque deux liquides différents, non susceptibles dese mêler l'un avecrautre, sont placés ensemble dans un vase, ils Qccupent chacun une portion de la capacité du vase, et se touchent le long d'une certaine surface qui leur sert do limite commune. Si les deux liquides n'ont pas la même densité (§220), et c'est ce qui arrive généralement, l'équilibre ne peijt subsister qu'autant que la surface qui les sépare est plane et horizontale. Admettons, en effet, que cette surface n'ait pas tous ses points sur un même plan horizontal, ^gf. 30 1 , et nous allons voir que l'équilibre ne pourra pas avoir lieu Soient A , B, deux points situés sur un même plan horizon- mm^ -j^ lai, dans le liquide inférieur; et G, D, deux autres . |^-;g;i^.J points situés verticalement au-dessus des deux pre- ^^^^ niîers, aussi sur un même pian horizontal, dans le Ei:i^^S liquide supérieur. Les verticales AC, BD, perce- ^^^f ront la surface de séparation des deux liquides aux 1^

points E, F; et l'on pourra supposer que les points ,^J^ A, B, aient été choisis de manière que les hauteurs Fig. 30 1. AÉ, BF soient inégales, ce qui est toujours possible, dans l'hypothèse qui a été faite. Si l'équilibre a lieu, les pressions aux points G, D, doivent être égales (§ 2 ! 2) Mais en appliquant ici le raisonnement du § 21 3, on trouvera quela pression en A, sur une très petite surface horizontale, sera égale à celle qui a lieu en G, sur une pareillesurface, augmentéedu poids du liquide quiseraitcontenu dans un cylindre vertical ayant ces deux surfaces pour bases inférieure et supérieure. De même, la pression en B, sur une surface de même étendue, sera égale à la pression qui a lieu en D, sur une surface égale, augmentée du poids du liquide que contiendrait un cylindre vertical s'étendant de B en D, et ayant ces deux surfaces pour bases. Mais le

poids du liquide contenu dans lepremier de ces deux cylindres ne peut pas être le même que celui du liquide contenu dans le second ; puisque les capacités de ces deux cylindres sont égales, et que dans lun des deux le liquide le plus lourd entre en plus grande quantité que dans Tautre : ce qui ne peut pas être compensé par la différence correspondante entre les quantités du liquide le moins lourd qui entrent dans chacun d'eux. Il résulte de là que les pressions qui ont lieu en A et B, sur deux petites surfaces d'égale étendue, ne sont pas égales entre elles. Donc, l'équilibre ne peut pas exister, puisqu'une conséquence nécessaire de cet équilibre, c'est que les pressions soient les mêmes, à égalité de surface, pour tous les points situés sur un même plan horizontal, pris comme on voudra à Tintérieur de la masse liquide (§212).

Nous pouvons donc dire que, toutes les fois que deux liquides pesants, de densités différentes, se trouveront dans un même vase, ils se disposeront de manière que leur surface do séparation soit plane et horizontale. Nous pouvons dire en outre que le liquide le plus lourd, celui dont la densité est la plus grande, se placera audessous de l'autre. Cette dernière condition n'est pas indispensjible pour l'équilibre, qui aurait lieu tout eussi bien, si le liquide le moins dense était au fond du vase, et qu'il fût surmonté du liquide le plus dense: mais dans ce cas l'équilibre serait instable, et la grande mobilité des liquides ferait que la plus légère cause le troublerait, pour ramener le liquidé le plus dense au fond du vase.

Si un même vase contient plus de deux liquides, de diverses densités, et non susceptibles de se mêler, il est clair que ces liquides se disposeront les uns au-dessus des autres, de manière que leurs densités décroissent en allant du fond à la surface, et que la surface de séparation de deux d'entre eux soit plane et horizontale. C est ainsi que si l'on verse dans un vase du mercure, de l'eau et de l'huile, qu'on agite le tout et qu'on le laisse ensuite reposer, le mercure se placera au fond du vase, l'eau surmontera le mercure, puis audessus de l'eau viendra l'huile.

§ 228.¥ases commmiiqiiaiits. — Lorsque deux vases communiquent l'un avec l'autre par leurs parties inférieures, si l'on verse un liquide dans l'un de ces deux vases, il se répartit entre les deux, et s'y met en équilibre. La surface libre du liquide est plane et horizontale dans chacun des deux vases, ainsi que cela résulte de ce que nous avons vu précédemment. Mais si l'on compare les deux surfaces libres, on reconnaît qu'elles sont à une même hauteur: c'est-à-dire que, si l'on prolongeait le plan horizontal qui forme la surface du liquide dans l'un des deux vases, ce plan coïnciderait

VASES COMMIÎNIQUANTS. 335

avec la surface du liquide dans Tautre vaso. C'est ce dont nous nous rendrons compte facilement de la manière suivante.

Soient A, B, fig. 302, deux points pris à l'intérieur du liquide, sur une ligne horizontale qui traverse le tuyau de communication des deux vases ; l'équilibre exige que les pressions en ces deux points soient égales (§ 212). La pression au point A est égale au poids d'un cylindre du liquide que l'on considère pi„,^ 3^2,

ayant pour base l'unité de

surface et pour hauteur la distance AG du point A à la surface libre du liquide dans le vase de droite. La pression au point B ne se trouvera pas aussi facilement, en raison de la forme du vase de gftuche; voici comment on pourra l'obtenir. La pression en B est égale à la pression en D, augmentée du poids d'un cylindre du liquide ayant pour hauteur BD, et pour base l'unité de surface. La pression en D est la même que celle qui a lieu en E ; mais la pression en E est égale à la pression en F, augmentée du poids d'un cylindre du liquide ayant pour hauteur KF, et pour base l'unité de surface: donc la pression en B est égale à la pression en F, augmentée du poids du liquide que contiendraient deux cylindres ayant tout deux pour base l'unité de surface, et pour hauteurs, l'un BD, l'autre EF. En continuant delà même manière, et observant que la pression en M est nulle, on arrivera à trouver que la pression en B est égale au poids du liquide que contiendraient cinq cylindres, ayant tous pour base l'unité de surface, et ayant pour hauteurs les lignes BD, EF, GH, IK, LM. Les pressions en A et B devant être égales, il en résulte que la somme des cinq lignes BD, EF, GH, IK, LM, doit ôtre égale à la ligne AG ; ou, en d'autres termes, les surfaces libres du liquide, dans les deux vases, doivent se trouver à une même distance verticale au-dessus du plan horizontal qui passe par les deux points A et B. Donc, en déûnjtive, ces surfaces libres doivent être situées sur un même plan horizontal.

L'appareil représenté par la /îgf. 303 permet de vérifier très facilement le principe que nous venons de trouver ..Get appareil se compose d'un vase de verre muni inférieurement d'un tuyau horizontal, à l'extrémité duquel est adapté un tube de verre qui se relève verlicalement. Quand on verse de l'eau dans le vase, elle se répand en partie dans le tube de verre, en passant par le tuyau horizontal qui

le relie au vase; et il est aisé de reconnaître que les surfaces libre.^ sont à un môme niveau AB, dans le tube et dans le vase. Si ensuite on enlève le tube de verre, pour le remplacer par un autre tube d'une forme différente, fig. 304 ou 305, on voit que le niveau de

Fig. 3U3

Fig 306

faces libres.

l'eau A'B', ou A"B", est toujours situé dans le prolongement de la surface libre du liquide dans le vase Un robinet, placé sur le tuyau horizontal, permet d'interrompre ou de rétablir à volonté la communication entre le vase et le tube, et facilite ainsi la substitution d'un tube à un autre, sans qu'on ait besoin de vider le vase chaque fois

§ 229: Lorsque deux liquides do densités différentes, et non susceptibles de se mêler, sont introduits ensemble dans des vases cojnmuniquants, les choses ne se passent pas de la même manière que dans le cas où il n'y a qu'un seul liquide. Supposons, par exemple, qu'on ait pris un tube de verre doublement recourbé, pg 30(5, et ouvert à ses deux extrémités, et que, le tube étant placé comme l'indique la figure, on y ait versé du mercure : ce liquide se répandant dans la partie horizontale et dans les deux branches verticales, s'y sera mis en équilibre, et ses surdans ce? deux branches, auront été au môme niveau

VASES COMMUNIQUANTS. 337

Si l'on a ensuite versé de l'eau dans la branche de gaucho, cette eau, en pressant sur ie mercure, a dû le faire passer en partie dans la branche de droite, où son niveau se sera élevé. Mais, lorsque l'équilibre est établi, la surface libre de l'eau dans la branche de gauche ne se trouve pas au même niveau que celle du mercure dans la branche de droite ; ces deux surfaces doivent au contraire être situées à des hauteurs très différentes, ainsi que nous allons le reconnaître.

Pour cela examinons les pressions qui ont lieu, dans l'une et l'autre branche, sur le plan horizontal AB, qui passe par la surface de séparation des deux liquides. L'équilibre du mercure exige que la pression soit la même pour tous les points situés sur un même plan horizontal CD inférieur à AB ; car s'il n'en était pas ainsi, le liquide répandu dans la portion du tube qui fait communiquer les deux branches serait inégalement pressé en des points situés sur un même plan horizontal, ce qui est impossible. Cette égalité de pression, pour tous les points d'un plan horizontal quelconque CD, qui ne rencontre que du mercure dans les deux branches, aura encore lieu pour celui de tous ces plans qui est le plus élevé, c'est-àdire pour le plan AB. Il n'en serait plus de même pour un plan horizonlal supérieur à AB, c'est-à-dire pour un plan qui rencontrerait du mercure dans la branche de droite, et de l'eau dans la branche de gauche. Observons maintenant que la pression qui s'exerce en un point du phn AB, dans la branche de droite, est égale au poids d'un cylindre de mercure qui aurait pour base l'unité de surface, et pour hauteur la distance verticale de la surface libre E du mercure au-dessus du plan -AB ; et que, de même, la pression qui s'exerce en un des points de ce plan, dans la branche de gauche, est égale au poids d'un cylindre d'eau ayant pour base l'unité de surface, et pour hauteur la distance verticale de la surface libre F de l'eau au-dessus du môme plan AB. Puisque ces pressions doivent î^lre égales, il en résulte que les poids des deux cylindres de mercure et d'eau doivent être égaux, ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que les hauteurs de ces cylindres sont inversement proportionnelles aux densités des liquides qu'ils contiennent. Ainsi, pour l'équilibre, la hauteur de la surface libre F de l'eau au-dessus du plan AB oevra être égale à 4 3,6 fois la hauteur de la surface libre E du mercure au-dessus de ce plan ; puisque les densités du mercure et de l eau sont entre elles dans le rapport de 1 3,6 à 1.

En général, on peut conclure de ce qui précède, que pour que deux liquides différents soient en équilibre dans des vases commu^ HiqnanlSy il faut que les iMuteurs des surfaces libres de ces deux

liquides, au-dessus du plan horizontal qui passe par leur surface de séparaiiony soient inversement proportionnelles aux densités de ces deux liquides.

§230. lilqiildes aoiiiiiis & des forées qneleonqnes . — Si les

molécules d'un liquide ne sont pas soumises à la seule action de la pesanteur, outre les forces moléculaires qui existent toujours, les circonstances qui accompagnent l'équilibre du liquide seront différentes de celles que nous avons trouvées jusqu'à présent. Les pressions ne varieront pas de la même manière, quand on passera d'un point à un autre de la masse liquide; la surface libre du liquide n'aura pas la même forme. Occupons- nous spécialement de la surface libre, et voyons à quelles conditions elle devra satisfaire.

Soit A, ^gf. 307, une molécule prise sur la surface libre d'un liquide soumis à des forces quelconques. Concevons , que nous ayons composé en une seule toutes les forces qui agissent sur cette molécule, non compris les forces moléculaires, et que la résultante de toutes ces forces soit dirigée suivant la ligne AB. Si 4a portion de la surface libre du liquide qui avoisine le point A, portion qu'on peut toujours supposer plane, n'est pas perpendiculaire à la ligne AB, le liquide ne pourra pas être en équilibre. En effet, pour que le liquide iùl en équilibre, il faudrait que la force dont nous venons de parler, qui agit suivant la ligne AB, fût détruite par la résultante des actions moléculaires auxquelles la molécule A est soumise. Mais cette résultante des actions moléculaires est dirigée suivant la perpendiculaire AC à la surface libre (§ 2i9). Si donc la force qui agit suivant AB était décomposée en une force dirigée suivant AC, et une autre force perpendiculaire à la première, la composante dirigée suivant AC pourrait seule être détruite par l'action des forces moléculaires ; et l'autre composante ferait nécessairement mouvoir la molécule A, sur la surface libre, pour l'amener dans une autre position. Ainsi l'équilibre ne pourra pas exister, tant que la résultante des forces, auxquelles est soumise chaque molécule située sur la surface libre, ne sera pas dirigée perpendiculairement à cette surface. Si, au contraire, cette résultante est dirigée perpendiculairement à la surface libre, on conçoit que l'équilibre puisse avoir lieu : puisque cette résultante, tendant à faire pénétrer la molécule dans l'intérieur de la masse liquide, déterminera le développement de certaines forces moléculaires, dont l'ensemble pourra s'opposer

LIQUIDES SOUMIS A DÉS FORCES QUELCONQUES. 339 complètement à la production de ce mouvement, en donnant lieu à une résultante égale et de sens contraire.

§ 231 . Nous pouvons donner, comme application de ce qui précède , l'exemple d'un vase qui contient de l'eau , et qui est animé d'un mouvement uniforme de rotation autour d'un axe vertical AB, fig. 308. Le mouvement peut être commviniqué au vase, comme le montre la figure, a

à l'aide d'une manivelle C et de deux poulies D, E, dans la gorge desquelles passe une corde sans fin. Pendant le mouvement , chaque molécule du liquide est soumise d'une part à son poids, d'une autre part à une force centrifuge dirigée horizontalement, et tendant à Véjoignerde l'axe AP. Si l'on compose ces deuxforcesen une seule, on trouvera une résultante oblique, située dans un plan passant par l'axe AB. Il faudra donc , pour l'équilibre du liquide , que sa surface libre ne reste pas plane et horizontale: mais qu'elle se déforme, comme l'indique la figure, afin qu'en chacun de ses points elle soit perpendicu-, laire à la résultante des deux forces appliquées à la molécule liquide qui y est située. La surface* deviendra concave^ par l'effet du mouvement de rotation, et sa concavité sera d'autant plus prononcée que le mouvement sera plus rapide ; la ligne courbe , suivant laquelle cette surface sera coupée par un plan. quelconque passant par l'axe AB, aura la forme d'une parabole (§404).

§ 232. La figure que présente la surface de la terre dans son ensemble, abstraction faite des aspérités du sol, est un autre exemple remarquable que l'on peut donner comme application du principe du § 230. Tout porte à croire qu'à une époque très reculée, la masse entière de la terre était liquide, et que c'est par un refroidissement progressif que sa surface s'est solidifiée, et est ainsi parvenue à l'état que nous lui connaissons. Cette masse liquide, si elle n'avait pas été animée d'un mouvement de rotation , aurait naturellement

pris la figure d'une sphère , en raison de l'attraction mutuelle qui s'exerçait entre ses diverses molécules, et qui tendait à les rapprocher le plus possible les unes des autres. Les matières liquides de différentes densités qui eh faisaient partie se seraient disposées régulièrement tout autour de son centre, en couches sphériques concentriques ; et la résultante de toutes les attractions auxquelles une molécule de la surface aurait été soumise, de la part des autres molécules, aurait été dirigée perpendiculairement à cette surface, puisqu'elle aurait nécessairement passé par le centre de toute la masse. Mais le mouvement de rotation de la terre autour de la ligne des pôles l'a empochée de prendre cette forme sphérique. On voit en efft t qu'un pareil mouvement, en vertu duquel chaque point décrit une circonférencede cercle dans l'espace d environ 2 4 heures, donne lieu au développement dune force centrifuge AB, fiy. 309, pour

chaque molécule non située sur l'axe de rotation PP'; cette force se compose avec la résultante AC des attractions que la molécule éprouve de li^ part de toutes les autres, et oblige ainsi la masse 11 - (juide à prendre une autre forme que si la résultante AC agissait seule. Si la surface était restée la môme que dans le cas où le mouvement de rotation n'eût pas existé, la force AC aurait été dirigée vers le centre 0, et la résultante AD des deux forces AB, AC, n aurait pas été dirigée vers ce ^ centre : donc elle n'aurait pas été

perpendiculaire à la surface libre du liquide, ce qui ne peut avoir lieu. Ainsi, par suite de l'action des forces centrifuges, que le mouvement de rotation développe dans les diverses molécules non situéessur l'axe, la surface a dû s'aplatir dans le sens de la ligne des pôles, et se renfler dans le voisinage de l'équateur, pour prendre une forme telle que l'indique la ligne ponctuée mw, tout en l'exagérant beaucoup.

La surface de la terre s'étant solidifiée peu à peu par le refroidissement, la croûte solide qui s'est ainsi formée a conservé, dans son ensemble, la figure aplatie qu'ayait la surface lorsqu'elle était liquide. Quant aux eaux de la mer, qui la recouvrent en grande partie, elles sont dans les mêmes conditions que la masse liquide qui composait

Fig. 3UU.