ACTION I)E LA PESANTEDH SI! H LES COUPS

bout du même temps, dans ce nouveau cas, sera v = ^ iTm v (28).

Nous avons donc la faculté, en augmentant M |>ar rapporta m, de rendre la vitesse de chute d'un système pesant aussi faible que nous le voudrons, sans que le rapport des vitesses, ou 1a loi du mouvement, soit pour cela altéré. Dès lors, les espaces parcourus pourront être mesurés sans que la résistance de l’air trouble le phénomène.

59. Construction rtc l’mpparcil. — Sur une poulie à gorge creuse P ifig. 21) s’enroule un fil fin, portant des masses A, B, qui, ayant chacune pour valeur M, se font mutuellement équilibre. L’une des masses A peut se mouvoir verticalement le long d’une règle de bois L divisée en parties d’égale longueur. En un point quelconque de cette règle, peuvent être fixés, par une vis de pression, des curseurs Cet C’, l’un (1 formé par un disque de métal : nous le nommerons le curseur plein ; l'autre G', par un anneau : nous le nommerons lé curseur annulnire. Le dernier est assez large pour laisser passer librement la masse A : mais il arrête la lamé métallique D. de masse m, qu’on place au-dessus de A. Un appareil chronométrique battant les secondes fait partie de la machine. Au moment où la première unité de temps commence, il fait partir une détente qui abaisse la tige de métal mobile à charnière qui maintient la masse A à la hauteur du zéro de la graduation. Dans ces conditions, les corps A et B, qui resteraient immobiles, s’ils étaient seuls, sont mis en mouvement par le poids de la masse

additionnelle D qui est elle-même entraînée: et la formule v = — - - rest

applicable. Tout le système est porté par un socle muni dé quatre vis calantes qui permettent de rendre verticale les règles graduées,' — On remarquera que l’axe de la poulie P. au lieu de tourner sur des coussinets fixes, repose sur les circonférences de quatre poulies croisées deux à deux qui sont mi-* ses en mouvement" par cet axe. De cette façon, on substitué au frottement de glissement, le frottement de roulement toujours beaucoup plus faible.

60. Fonctionnement de l’oppnrell. — Lot des espaces. — La masse additionnelle étant posée sur A, on abandonne le système à lui-même à l’origitie de la première unité de temps. On cherche alors par tâtonnement à placer le curseur plein en un point tel, qu’on entendele ehoc de A contre ee curseur au moment où le bruit du pendule indique le-commencèmfnt de la deuxième seconde ; la position du curseur sur la graduation donne l’espace parcouru en une seconde, soit 15 centimètres. On ramène A au zéro; on recommence l’expérience, et on constate qu’il faut placer le curseur plein à la distance 4x15 on fit) centimètres, pour que le poids vienne le frapper à l’instant où la troisième seconde commence. De même le curseur C doit être placé à une distance du zéro égale à 9 X 15. ou 135 centimètres, [tour que le |»oids v arrive au bout de 3 secondes. Il en résulte que les espaces parcourus sont :

PKSANTEI'R.

l'niihinl l,serontle ( 15e) — l!> X,l

l’emhmt 2 secondes i.V j< < = 1S X 21

lÿmlnnt 3 seiomles li* X 9 = *i X 3’

Donc les espaces parcourus, r/tiund on l es compte à partir de l’oriyme du mouvement . varient proportionnellement aux carrés des temps employés « les parcourir, ce < 1 1 1 i revient à écrire : ’ . .

e'z^et*.

e élaut rcs|iuee parcouru au bout du temps t. et c une eonstante dont nous déterminerons tout à l'heure la valeur numérique.

(il . l.«l des vitesses. — Pour évaluer la vitesse au bout de 1 , de 2, de .‘I secondes, définie comme elle l’a été (21), nous placerons le curseur annulaire à la division 13 (’), et nous recommencerons l’expérience précédente en arrêtant la masse A par le curseur plein, a la fin de la deuxième seconde. Nous trouvons que ce dernier curseur doit être placé à la division 45. Celle expérience donne la vitesse après une seconde de chute. Kn ell’et, pendant la première unité de temps le poids s’est nul d’un mouvement varié et a parcouru 15 centimètres; à la lin de cette première seconde, la masse additionnelle, qui faisait varier le mouvement, étant arrêtée par C’, le système n’a plus été animé que d’un mouvement uniforme dû à la vitesse acquise. Cette vitesse sera donc mesurée pur l’espace 30 centimètres, compris entre la division 15 et la division 45. De même plaçons le curseur C’ à la division 00 : nous trouverons que le curseur plein doit être placé i à la division 120, pour arrêter Le poids à la fin de la troisième second©. Donc la vitesse, après 2 secondes.

Fig. 2t. —

Machine d'Atwood.

est 120e — 60e = 60e.

C Poulie principale. — A et D Hisses égales. — I. et I.' Règles grsiluées. - <■ Curseur plein. - T.' Curseur annulaire.

(*) Kn réalité « c’eat un peu au-dessus de la division 15 «lue le curseur C. doil cire placé» afin qu'il arrête la niasse additionnelle» au moment où la base inférieure «le A passe devant la division 15.

ACTION UK LA PESANTEUR SI H I.Ei> CORPS. LU

Kn résumé, les vitesses d'un eorps ijui tombe sout suecessivenienl :

Après l seconde 3(K = 30 X I

Ai>rès 2 secondes (MK = 30 X 2

Après 3 secondes . P(K = 30 X 1

Lu t vitesses acquises sont projiortioniielles aux temps employés à les acquérir. Or. comme cet énoncé donne la définition même du mouvement uniformément varié (221. et que d’antre part le mouvement suit les mêmes lois, quel que soit le poids absolu de la masse additionnelle, ou la valeur de la force qui produit le mouvement, pourvu qu'elle demeure la même pendant la durée de l’expérience, nous en concluons que toute force constante produit un mouvement uniformément varié. C’est la vérification expérimentale de h» conséquence à laquelle nous avait conduits le second principe fondamental de la mécanique (25).

Remarquons que la vitesse de 30 centimètres au bout de la première seconde est juste le double de l’espace 15 centimètres parcouru d’un mouvement uniformément varié pendant cette seconde. Le fait est vrai quelles que soient les valeurs de M et m. Si. donc, dans la formule (II. nous faisons t= I , comme on ac=c. il s’ensuit que la constante c, qui est l’espace parcouru dans la première seconde de chute, n’est autre chose que la moitié de l’accélération J g. On peut donc écrire ainsi la formule (I) : e = \yi‘>.

Les lois de la chute- des corps sont alors représentées par les deux formules :

' — Ri

Si l’on élimine t entre ces deux égalités, ou trouve :

q = l/2ge. » . (3i

Donc les vitesses qu’un corps acquiert en tombant sont proportionnelles aux racines carrées de ses hauteurs de chute. '

N’oublions pas que, dans tout ce qui précède, on suppose que le eorps qui tombe ne possède aucune vitesse initiale.

62, Proportionnalité de* forre* aux vite»**». — Supposons que, dans la machine d’Atwood qui va nous servir, les masses égales A et B soient chacune formées de sept rondelles, d’égal diamètre etd’égal poids, qu’on puisse enlever à volonté : la masse de l’une des rondelles est prise comme unité de masse, et elle est égale, en outre, à la masse additionnelle employée. Faisons une première expérience, comme il « été dit pour la vérification de la loi des espaces, et déterminons l’espace parcouru dans la première seconde de chute.

Voici les résultats numériques:

Masse totale eu mouvement, se composant de A, de B et de la masse additionnelle 7 -(- 7 -f- I = 15

PESANTEUR

Force i|iii produit le mouvement. *mi poids de

I» niasse additionnelle • I

Espace parcouru par le système, pendant In

première seconde de chute 32e, 5

Doue, vitesse après une seconde ou accélération . ... ■ 2 X 32,5 — *= 05

Dans une seconde expérience on enlève une rondelle à la masse R pour la déjatser sur A : et on replace sur cette dernière la même masse additionnelle que précédemment. Voici les résultats obtenus dans ces nouvelles conditions :

Masse totale’ en mouvement se composant de

lt, de A et de la masse additionnelle 6 + 8 + t = 15

Force qui produit le mouvement, ou poids de la' masse additionnelle et des deux rondelles qui

sont en plus sur A 1+2 = 3

Espace parcouru par le système, pendant la

première seconde de chute 97e. 5 = 32e. 5 X 3

Donc, vitesse après une seconde ou accélération 2 X 97,5 = B5 X 3

Ainsi, quand la masse est constante (toujours égale à 15), le rapport des vitesses nu bout du même temps, ou le rapport des accélérations

ÜÎL ) est égal au rapport des forces constantes qui ont successive-

uf» X «v

ment produit le mouvement .

63. Mouvement uniformément retardé. — Plaçons une seconde règle verticale graduée, à côté du 61 qui porte le poids ! Il [fii/. 22), et en regard de la partie supérieure y de chaque poids lixous des curseurs annulaires I munis chacun d’une masse additionnelle égale. ejm JB, Le poids A correspond à la 50' division, et le

poids B à la 70". Relevons le premier jusqu'au zéro avec la niasse additionnelle qu’il emporte, et abandonnons-le à lui-même. Il arrive au curseur C avec une certaine vitesse dépendante de la hauteur de chute 50e, et y déjaise la masse additionnelle. En même temps, le poids B arrive en G"; il possède, de bas en haut, la même vitesse *’i- î2 (pie A et se charge de la même masse addition-

nelle. Or, l’expérience montre que le poids B, dans ces conditions, remonte à très-peu près à la 2<>e division: il y arriverait exactement, s’il n’v avait

:it

ACTION IIK I. A PESANTEUR Sl’R LES CORPS.

les frottements et In résistance <lc l’air: il a |>nrcnuni de bas en liant depuis G", avec sa vitesse acquise, une bailleur de 70' — 20' = 50'. Donc, quand un corps est lancé de bas en haut avec une certaine vitesse initiale, il monte à une hauteur telle qu'en revenant ensuite librement à son jiotnl de départ , il y reprend exactement une vitesse égale et de signe ÎK contraire à celle qu’il avait en partant. On peut généraliser celte loi I du mouvement retardé, en disant qu’en chaque point m de sa tra- 1 jeetoire (fi g. 23) le corps retrouve, en tombant, une vitesse égale à m celle qu’il possédait, au même point, pendant sou ascension. En effet, *

quand le mobile, en montant, arrive en m. on peut considérer sa |

vitesse actuelle, quelle ipi’en soit l’oçigine, comme une vitesse initiale, et, à partir de m, il se trouve, comme à l’ordinaire, soumis à l’action de la pesanteur. Dès lorst il parvient comme précédemment ^ n au point K. et, d’après l’énoncé précédent, il doit posséder, en revenant à son point de départ i«, ja même vitesse qu’il y avait en partant.

(!4. For ni ut m dn mouvement uniformément vnrlé. — Eli vertu dll second principe (23), l’effet d’une force sur un dorps étant indépendant du' mouvement antérieurement acquis par ce corps, nous pouvons écrire que la vitesse d’un mobile animé d’une vitesse initiale v„. suivant la verticale et soumis en môme temps à l’action delà pesanteur, est égale, au bout du temps /, à ‘ .

i> = -t- gt

moiypement uniformément accéléré, si la vitesse est de même sens que la pesanteur, et à

' v = - gt

mouvement uniformément retardé, si elle est de sens contraire. En général.

De même, dn aura pour la valeur de l’espace parcouru dans l’un et dans l’autre cas :

e = vtt ± | i«.

65. Haehlae de M. Morin. — Un poids cylindro-conique en fer I’(^ÿ.24), tombant en chute libre, est muni d’un crayon C, qui laisse unetrnee continue de son passage sur la surface du cylindre de bois M revêtu de papier et tournant autour d’un axe vertical. La rotation du cylindre est produite par la chute d’un poids P’, suspendu à un cordon, lequel, en1 se déroulant, lait tourner la roue dentée R. engrenant à la fois, par des vis sans fin, et avec l’iyte du cylindre M, et avec l’axe A muni de quatre ailettes. Celles-ci, en frappant l’air avec une vitesse croissante, éprouvent de la part de ce Huide une résistance qui augmente pins rapidement que cette vitesse : elles

l'KSANTKI h.

linisseiit dont- par régulariser le mouvement du cylindre et par le rendre uniforme, l'n levier «■muté I. maintient le poids evlindro-eonique à la partie supérieure de l’appareil, et c'est lorsque le poids I*' a déjà parcouru lesdeux

Fig. 21. — Machine de M. Morin.

M Cylindre de bois revêtu de papier. — R Roue deutée recevant le mouvement du poids P'. — A Ailettes régularisant le mouvement. — P Poids cylindro- conique tombant en chute libre. — f. Crayon lise au poids. — I. Levier coudé reteuant le poids à la partie supérieure. — X et X' Pointée* de» cordons à l'aide desquels on rend libres les poids P' et P.

tiers de sa course, suivantla verticale, qu’on peut considérnrle mouvement du cylindre comme uniforme. A l’aide du cordon X ou abaisse alors la longue branche du levier coudé, et le poids P tombe librement.

On déroule la feuille de papier qui recouvrait le cylindre, on l’étend sur un plan, et c’est l’étude de la courbe tracée par le crayon qui va noufc permettre de véritier immédiatement la loi des espaces,

ACTION DK I. A PKSANTKIM SI M I.IÎS CORPS. :i3

Convenons do prendre, pour unité de temps, lo temps nécessaire pour que, dans In rotation du cylindre. l’arête a\’(fig. ■25) vienne prendre la plate de AY, les longueurs Aa, «A, bc, cd étant égales; am sera l’espace paroonnt. pendant la première unité dn temps, jwr le poids cylindro-cnniquet in, l’espace parcouru pendant 2 unités de temps: co, pendant 3: dp. pendant'

A» etc. Or, en mesurant au compas ces diverses longueurs, on trouve

hn = Sam; * ' , co = 9am; dp zx. itfim. ■'

La loi des espaces se trouve donc vérifiée.

La courbe que nous venons d'obtenir avec la machine de M. Morin porte, en géométrie. le nom de jxirabole.

La loi des espaces étant ainsi vérifiée, il n'est pas besoin de nouvelles expé- î&-

riences pour démontrer la loi des vitesses; celle-ci s’en déduit par le raisonnement. En eflet, la loi des espaces, quand il n’y a pas de vitesse initiale, est exprimée par l’égalité e = ct* (60), c étant une constante dont l’expérience devra donner la valeur. Si l'espace s’accroît de et, le temps augmente d’une quantité correspondante f„ et on a, par la même raison. e -f- e, = e [t -f fj* = et* -f 2 ctt, -f- et,*. Retrancliant de cette dernière éga-

lité la précédente, on a ; e, = t , (2c< -f- et,), ou bien ~ — ïct -f- et,. Pas-

saut à la limite en faisant t, =0, on aura : limite de y ou v = ict. Done

les vitesses sont proportionnelles aux temps, et la constante 2c, dans la formule do la vitesse, est le double de la oonstanto qui entre dans la formule de l'espace. Si donc on écrit v~gt. on aura comme précédemment e = iÿ<». . •

66. Intensité de l» pesanteur. — Théoriquement, on pourrait déduire, des indications de la machine d’Alweod, l’accélération que la pesanteur communique à tous les corps tombant librement, laquelle sert de mesure a son intensité. On emploierait la formule

dans laqnelle g' ou l’accélération dans la machine d’Atwood pourrait être évalué# directement en doublant l’espace parcouru dans 1r première seconde de chute ; -rr-^ — est égal à — , » et P étant lea poids de la