Tracé de l'axe dkh souterrains kn courue
SOUHCRHAIN DE CIhAMOUSSEI
(canal du Forez). — Le souterrain de Chainousset, que nous avons fait exécuter au canal de V'oroz, a été iKîrcr ' dans le granit sur une sc<:tion do f5'",80 do largeur rt !)'",9.j de hauteur sous clcL Il forme une voûte en plein
cintre deS^jOS de rayon, dont les naissances sont à 1 mùtrtî
au-dessus du plafond du canal.
O. souterrain pst, du (;ùté d'amont, en ligne droite sur
82 UJètiTs do loiigU(»ur; il s(; termine», du cAlé aval, \mv \\\\^
Pw. n».
courbe en arc de cercle de 46"", 21 de développement et de 40 mètres de rayon.
La ligne PC (fig. S9) indigue la direction de Taxe de la galerie amont, et la ligne AB indique la direction de Taxe du canal. Le point de concours de ces deux alignements est le point T qui se trouve à égale distance des points de tangence A et P.
Les deux tangentes TA et TP ont chacune 26", 13 de longueur, et l'angle ATP = H3Hr.
Les deux tangentes AT et TP étant connues ainsi que Tangle ATP, il a été facile de calculer le rayon ainsi que l'angle au centre AOP, et Ton a trouvé r=40 mètres, et angle AO;>=66%19'.
Tracé extérieur de la courbe. — Pour tracer la courbe sur le terrain, on a mesuré sur la tangente AT^ et à partir du point A, des distances égales Aût, ab^ bc et cd.
Sur la tangente TP, et à partir du point P comme origine, on a mesuré des distances Pez,, afi^j etc.
En ces points de division, on a élevé, sur chaque tangente, les perpendiculaires oe, 6/, cg^ dn^ a,e,, bj^^ etc.
La longueur de Tune quelconque de ces perpendiculaires a été calculée par la formule
X représente une abscisse quelconque, comptée à partir de l'origine A ou de l'origine P. y représente une ordonnée correspondant à Tasbcisse x.
Ainsi, par exemple, pour une abscisse x = A6, on aura y = 6/", et par suite :
hf= r — |/r« — (A6)*.
Si Aô= 10 mètres, il vient, puisque r=: 40 mètres,
hf= 40 — jXiO* — 1 0* = 40«,00 — \/ 1 500,
d'où
hf= 40»,00 — 38»,73 = 1"*,27, T. I. 8
lu
TIRllAlittlIffVTSi
On A donc p\\ obtenir Ioa poirtU e, /*, 9, H, M), jf|« f^ et é (In la courbe.
Quant h la lonj^fUluir de TS) bn h TB^TO^BO. Or T( ei9t rhy)[)othénuM d'un trilini^le rectfthglé dont on donnai léH deux cdtéB fVt^i^.ii ei OPm> 40,00; bn en déditi Tt) =±1 47",78 ; dbttc TB -» 47^78 - 40«,00 =- TJ8.
En faisant au point T, avec la tangente Aï, Uii ftngl AT()=— j^' =8fl•»K0'30^ on a eu la direction de TO
M en prenais TB s 1^,78, on a obtenu lé iotnmet B de 1
courbe. Ce sommet pouvai d*ailleUri s'obtenir on joi gnant le point T aU milieu dé la corde AP.
Ce sommet S doit d'ailleur iê trouver sur le milieu di Tarôde cercle AP.
Dans le cas oft le point d< concours T des tangentes eûi été inaccessible, il est bor d'indiquer ce que Ton aurait pu foire pour tracer l'arc A8F sur le terrain.
A cet cfTot, supposons Ir tangente T,flT, menée ai point 8 (flg. 00).
îjr^fl quatre tongcntcs PT,
1\H, HT, et AT, sont (évidemment ('•galo» r^JUro oilos. Or s
l'on ronnidftn» le triangle roeUuiKle OAT,, In vAU* AO ùh
connu, et Tungle
riff. 00.
.— iàiotk'Afif
Ou on (iïnlnit:
AT, = i1»,9i, OT^stH»",:;!, ciT,S,= 1»7:j.
KOL'ILLM AOYîTieRRAlNKH. Il((
OonnalMant êiml \t^ qimtre tanpi^ntofl
Whï flioil» de tracer nur le terrain la courbe ASP.
Oh o^mmetieepar protidro mr le prolongement de ralignement BA la distance AT,«aii»,9i, et sur le prolongement de GP la distance PT.ss i !",91 , ce qui donne la position des points T, et 1\. Quant au sommet H do la courbe, on le détermine en prenant le milieu do T/r,.
On opère ensuite sur les ({uatro tangentes au moyen d'abscisses et d'ordonnées, on prenant successivemont les points A,8 et P pour origine. Les opérations Kont les mAmes que celles que nous avons indiquées plus haut pour les deux tangentes AT et PT.
Nous ajouterons ((ue^pourtraccrsurle terrain la courbe ASP, on aurait pu aussi prendre la corde AP pour ligne des abscisses et le point I pour origines Une ordonnée quelconque ycsmn correspondant h une ahsciHse xsm]n aurait été déterminée par réquation :
=s y/ft^Jn* —01.
mn
Pour â^Bio,
2/=/r«— Olr^r — 01 = 18.
Pour âroBAI,
i/= J/7»— Âi' - 01=01—01=0.
11 est facile de déduire la valeur do 01 et du triangle AGI.
Tracé intérieur de la courbe. — L(^ souterrain de UhaïnousHOt a été attaciué par ses doux extrémités (»l ixTcé sans puits intermédiaires.
— L'exploitation du rocher a été fhîte h, la poudre.
— Doux galeries d'axe ont été ouvertes, l'une en amont du «nuterraln et l'autre en aval.
— La galerie d'amont étant en ligne droite, il a suffi, pour
la percer, de se placer dans Talignement des jalons extérieurs indiquant la direction de Taxe. Cette galerie a 82",90 de longueur.
L'axe delà galerie d'aval est une courbe en arc de cercle de 40 mètres de rayon et correspondant à un angle au centre de 66*19'. Le développement de l'arc est donc de 46",24 . L'origine A de la courbe se trouve placée sur l'alignement AGindi-
: A. L.: ti i^ — ±^.J^ ^
Fig. 61.
quant la direction de Taxe du canal. Telles ont été les données de la question .
Cela posé, pour arriver à tracer l'arc de cercle dans l'intérieur de la galerie souterraine au fur et à mesure du perce-
FOUILLES SOUTERHAINES. 117
ment, nous avons divisé Tangle ÂOP en huit parties égales (fig. 61). Après avoir prolongé la tangente AG jusqu'en B, nous avons tiré les cordes AaC, aa'D, a'a'^E^ flt"SF, etc.; puis nous avons mené aB perpendiculaire sur la tangente AB, a'G perpendiculaire sur le prolongement de la corde Aa, dfd perpendiculaire sur le prolongement de aa\ etc.; puis nous avons calculé les éléments nécessaires pour le tracé de la courbe.
L'angle BAa, formé par une tangente et une corde, a pour mesure la moitié de Tare Aa sous-tendu par la corde Aez. Or l'angle au centre AOa a pour mesure la moitié de Tare Aa; donc Tangle BAa est la moitié de Tangle AOa, et Ton aura
angle BAa= — = ^=4^8'41^25.
L'angle Caa\ formé par une corde aa' et le prolongement aC d'une autre corde Aa, a pour mesure la moitié de l'arc total Aaa^ sous-tendu par les deux cordes. Cet angle est donc égal à la moitié de l'angle AOa' qui a pour mesure l'arc Aaa'. Donc
angle Caa'=—^ = AOa=:8M7'22%50.
Les autres angles Da'a", Ea"S, FSa'", etc., sont évidemment tous égaux à l'angle Caa', c'est-à-dire à 847'22%80.
Dans le triangle isocèle AOa, on connaît les deux côtés AO etOa, ainsi que l'angle AOa; on en déduit les autres éléments, et l'on trouve
angle OA/z = ArtO= 8505 1'18%75; corde Aa=:5«,782.
Dans le triangle rectangle BAa, on connaît donc l'angle BAa et l'hypoténuse Aa ; on en déduit
AB=s Aa C09 BAa = Aa cos 4«8'41",23 = 5,782 X 0,9974 = 5m767 ; RarsAB lang DAa=5,7G7 x lang 4o8'4l",25 =5,767 x 0,07248= 0-,4l 8.
Dans le triangle rectangle Caa', on connaît riiypoténusc
ii8 TiaHASSSMBMTa.
£ia' = S,782, ainsi que l'angle ÙM!^SHT%r,2}i. On m
déduit
aC^aa' cos Gaa'ep 5,782 X coi 8«17'2S",25Br 5,782 ^ 0,98909 t9i5ff, 7»; Ga'caaGtangGaa'-? 5,729 X lag 8*1 7'22",25 ^ 6,7ft9 X 0,14558 «a Ov»«HI.
Les cordes aa\ alci\ o^S, S«''' sont toutes égales entre eUfts etàlacordeAa=8",782.
Les lignci^ a'D, a"E, SF, etc.^ sont égales eptre elles et àflC = S",722.
Enfin les perpendiculaires \ià\ ES, Fa'", etc., sont égalei entre elles et à la deuxième perpendiculaire Ga' =: Qo'iSSd*
L'épure étant ainsi préparée et les éléments calculés, il nous a été facile de tracer la courbe ASP dans l'intérieur do la galerie souterraine au fur et à mesure du percement. A cet effet, nous avons pris sur le prolongement de la tangente GÀ une longueur AB=5"y767, et nous avons élevé sur AQ un» perpendiculaire BaïsOo'yilS, ce qui nous a donné le point « de la courbe. Gomme vériflcation^ on a mené au point A, et avee le graphomètre, une ligne \a faisant avec AB un angle BAa = 4°8'41",25 et l'on a pris Aa=S",782 ; on est alors retombé sur le point a.
Nous avons prolongé ensuite la corde ka d'une quantité aG=l$,722 et nous avonsprislaperpen(iiculaireGa'=0",833, ce qui a donné le point a' de la courbe. Gomme vérification, on a mené au point a une ligne aa' f()isant avec Ga un angle C^a' = 8''17'22^ 2f), et en prenant aa'^ S", 782, on est retombé sur le point a\
On a continué ainsi l'opération jusqu'au point P, limite de la courbe, en menant les cordes aa'D^ ad'l^^ «"SF, etc., et en élevant les perpendiculaires Da", ES, IV, etc. On a obtenu les points de la courbe a", S, rf". M, N et P.
Arrivé à l'extrémité P de la courbe, il s'est agi de se placer exactement dans le prolongcuiont de ralignoment droit PO, afin de continuer le percement de la galerie. A cet effet, considérons de nouveau l'épure (fîg. 61 ) et supposons
U tangente QP prolongée jusqu'en H de manière que PH = Afi=48-,767. On aura NH=Ba=?0-,41S, et angle NPH=QAa ou V8'4r,2B.
Eo Elisant au point P avec la corde PN un an-> gleNPH=i*6'ir,as,DDa euladîrectiondePH;puis, en prenant ?!!=={(■ ,767 etHN=0-,i(8, on devait relember sur le point N, ce qui a servi de vérification.
En outre, si on tire la double corda IIP, on aura
La direction de la tangente PH B'est donc trouvée parbitement déterminée.
Considérons maintenant l'épure de la figure 62. Il est évident que les cordes Aflc et 8a'e se rencontrent en un point m situé sur le rayon oa' prolongé.
1 De même, le point » se trouve à la rencontre des «irdes fld'D et a''sf; et ainsi de suite. Il en résulte que les quatre points m, a", S et F se trouvent s^iruneméme ligne droite.
Il en est de même des quatre points n, S, al'\ 6 et de ji a!\ M, etc.
Par la même raison, les points Q, a, a', D, sont sur uni même ligne droite. Enfin, il est évident que les perpendicu laires Ai, ad^ a'c^ a'e^ rf'D, cff^ SE, Sy, etc., sont toutes égales entre elles.
On a donc pu s'assurer do la direction d'une corde quelconque aa'^ en menant sur le prolongemeiit de cette corde la perpendiculaire Aô=a^D et en vérifiant si les quatre points ô, «, a' et D étaient bien en ligne droite.
Enfin, en menant une double corde ka' (fig. 61 et 62), on a pu calculer la longueur de cette corde au moyen du triangle kOa' dans lequel on connaît les deux côtés OA et Oa' ainsi que l'angle au centre kOa' et Ton a trouvé
corde Aa'=ll»,52.
Connaissant la corde ka\ on en a déduit la flèche az par 1; formule
dans laquelle y représente la flèche az, r le rayon de 1 courbe et c la demi-corde ka\ de sorte que Ton a trouvé
az — r—X/r''^ /^j' = 40 — ^/iÔ* — 5776"=0»,42.
En élevant sur le milieu de la corde ka' une perpendicu laire au moyen d'une équerre et en prenant az=0", 42, o est tombé sur le point a de la courbe.
Si la galerie d'axe n'avait eu que 2 mètres de largeur, le opérations que nous venons d'indiquer eussent suffi pour 1 tracé de la courbe. Mais la galerie d'axe a été ouverte su 4 mètres de largeur, et il a été possible de mener les corde AS et SP, ce qui nous a permis de faire les nouvelles vérifica tions suivantes :
V L'angle BAS=^ (fig. 61).
Donc
angle BAS = = 1 6»34'45" ;
2" Dans le triangle isocèle ÂOS» les deux côtés ÂO et OS sont connus, ainsi que Tangle au centre ÂOS ; on en déduit les valeurs de chacun des angles OAS, OSA, et par suite la longueur de la corde AS =22", 82.
En faisant sur le terrain et au moyen du grapbomètre BAS = 16*34 '45", et en prenant sur la direction AS une longueur de 22"", 82, on est retombé sur le point S;
3* Connaissant la corde AS et le rayon OS = A, on a calculé la longueur de la flèche la' par la formule
la =r— J/'r»— Âi*= 40 — [/W=\T^{^ = l-,66.
De sorte qu'en élevant sur le terrain et sur le milieu de la dislance AS une perpendiculaire I«'=l",66, on est retombé encore une fois sur le point a' de la courbe.
4* On a vérifié la position du point P en menant la corde SP faisant avec la corde AS un angle ASP = 4 46*50'30'' et en prenant SP=AS=22",82.
8* On a pu prolonger la tangente PL jusqu'en L et déduire du triangle rectangle PLM les éléments suivants :
angle LPM=—=PON=:8»17'22",oO;
corde MP=11",52
— PL=ll-,40
