CHAPITRE III

HYDRAULIQUE- GENERALITES SUR LES MOTEURS HYDRAULIQUES ÉCOULEMENT DE L'EAU PAR LES ORIFICES

(52) L'objet principal que nous avons ici en vue est Tétude des récepteurs hydrauliques, c'est-à-dire des récepteurs qui ulilisent la puissance des moteurs hydrauliques.

Ces moteurs sont, en général, des chutes d'eau. 11 faut se représenter qu'on a à sa disposition une certaine masse d'eau qui se renouvelle incessamment ; qu'on peut la retenir à un niveau supérieur, la faire descendre, par l'action de la gravité, en passant par un récepteur approprié, et, cnûn, la rendre, à un niveau inférieur, à son cours naturel.

Le travail de la gravité, c'est-à-dire le poids de Teau en kilogrammes, multiplié par la hauteur en mètres dont cette eau descend, est le travail moteur disponible de la chute d'eau. >

Si ce travail est rapporté à la quantité de liquide qui afflue dans une seconde, on aura, en le divisant par 75, la puissance de la chule en chevaux.

C'est sous cette forme qu'on indique en général la puissance d'une chute donnée :

Soit p la densité de l'eau ou le poids du mètre cube, environ 1,000 kilogrammes;

Q le volume d'eau , en mètres cubes , fourni dans chaque seconde, ou ce qu'on appelle le débit ou quelquefois le volume de la chule;

U la hauteur de la chute en mètres, soit la différence de niveau de la surface de Teau entre le point où elle est prise du côté d'amont et le point où elle est rendue du côté d'aval à son cours naturel;

Le produit pQH est le travail théorique de la chute dont il s'agit,

et le quotient - — est la force ou la puissance Ihéonque de la chute en chevaux.

(53) Le récepteur utilise une partie de ce travail théorique, el un objet essentiel de l'élude des récepteurs est de rechercher les conditions sous lesquelles cette utilisation sera le plus grande possible.

Le rapport entre le travail théorique de la chute et le travail effectivement transmis au récepteur et disponible par conséquent pour surmonter les résislances principales et secondaires de la machine, est ce qu'on appelle l'effet tilile ou le rendement de ce récepteur.

C'est un nombre compris entre des limites peu étendues pour un récepteur d'une espèce donnée , dont il faut connaître la valeur moyenne et qui caractérise ce récepteur. Un rendement au-dessous de 50 pour iOO est faible; au-dessus de 80 pour 100, il e^t considéré comme exceptionnellement satisfaisante.

U importe, quand on indique la force en chevaux d'une chute

d'eau, de préciser s'il s'agit de la force théorique ^^, ou bien s'il

s'agit de la force réellement disponible sur le récepteur et obtenue par une mesure directe au. frein de Prony, ou bien estimée dans l'hypothèse d'un rendement déterminé de ce récepteur.

Il existe des récepteurs hydrauliques qui fonctionnent sans qu'il y ait une hauteur de chute définie. Ce sont ceux qui sont placés sur les, grands cours d'eau dont ils ulilisentla vitesse. Mais cette vitesse n'existe elle-même que parce que le cours d'eau a une certaine pente qui a permis à l'eau d'acquérir cette vitesse. C'est donc encore la gravité qui est, au fond, la force motrice dans ce cas comme dans le précédent.

46 COURS DE HACUliNES.

(54) En nous tenant au cas ordinaire d'un moteur hydraulique formé d'une chute d'eau, Timportance, au point de vue mécanique, de celle chute, est mesurée, comme on vient de le voir, par le produit pQII.

La hauteur H s'obtient par un nivellement.

Le débit Q par un jaugeage, ou plutôt par une série de jaugeages répétés en diverses saisons, de manière à arriver à une connaissance aussi complète que possible du régime du cours d'eau.

Il est très-rare que ce jaugeage puisse s'obtenir par la mesure dirocle et effeclive de l'eau reçue dans des vases tarés. On doil habituellement se borner à observer l'écoulement, dans des conditions déterminées auxquelles s'appliquent des formules connues.

Nous devons, avant de passer à l'étude des récepteurs hydrauliques, établir ces formules; ce qui nous amènera en même temps à traiter incidemment quelques questions qui, sans se rattacher entièrement à l'objet essentiel que nous avons ici en vue, intéressent néanmoins la plupart des ingénieurs.

Nous le ferons sommairement sous la forme la plus simple et la plus directe.

§ 1. — De 1 écoulement de l^eau par des orifices eti mince paroi.

(55) Premier Exemple. — Écoulement de Veau par un petit orifice en mince paroi sous une charge constante.

Nous résoudrons cette première question en indiquant explicitement, pour n'avoir pas à y revenir dans les exemples suivants, comment nous posons la question et quelles hypothèses nous faisons pour la soumettre au calcul.

Nous considérons l*eau comme un fluide parfait ^ c'est-à-dire comme un corps formé de molécules n'éprouvant aucune résistance p'our se déplacer les unes par rapport aux autres ; et nous considérons ce fluide comme incompressible^ c'est-à-dire que, quelle que soit la pression à laquelle une certaine masse est actuellement soumise, les changements de forme qui résultent de la fluidité n'amè-

UYDRAILIQUE. 47

nent aucun changement de volume, du moins tanl que la masse reste continue.

Cette fluidité et cette compressibilité complètes caraclér isent rélat liquide parfait.

Un liquide naturel tel que Teau ne présente ces deux propriétés que d'une manière incomplète. Mais nous négligeons la différence.

L'orifice venant à être ouvert, le liquide tend à s'écouler par cet orifice en cédant à l'action de la gravité.

Nous supposons qu'il se soit établi un état de régime.

Le niveau du réservoir est maintenu constant par un moyen quelconque.

La vitesse est invariable pour un point donné du réservoir, mais variable pour un point matériel qui se déplace.

De tous les points du réservoir des filets fluides convergent vers rorifice. Tant qu'ils sont éloignés de cet orifice , la vitesse des points matériels est très-faible; car la section de l'ensemble des filets fluides est très-grande relativement à la section de l'orifice de rôcoulement. C'est seulement en se rappro'hant de l'orilice que Faccélération devient sensible.

Dans l'intérieur du vase on peut regarder, à cause de la faiblesse de la vitesse et de l'accélération, que les pressions sont les mômes qu'à l'état hydrostatique.

Si nous considérons en un point donné du vase une très-petite masse, nous regarderons les divers points matériels qui la composent comme ayant tous actuellement la même vitesse.

^'ous supposons que dans la suite du mouvement cette petite masse, tout en changeant de forme et de vitesse, reste formée des mêmes points matériels jusqu'à leur sortie par un élément déterminé de l'orifice* L'enveloppe des positions successives de cette petite masse forme (voy. ^jf. 21) un canal que Ton peut isoler par la pensée du reste du liquide.

Dans l'hypothèse d'une fluidité parfaite, c'est-à-dire de l'absence de toute viscosité, de toute résistance au déplacement relatif des molécules , on peut supposer solidifié tout le reste du liquide, et considérer spécialement la masse en mouvement dans ce canal. Son mouvement restera exactement le môme;

(56) Désignons par

S la section de ce canal à l'entrée,

s la section à la sortie, dans le plan de Torifice,

P la pression sur la surface libre du liquide rapportée à Tunilé de surface,

P' la pression devant l'orifice rapportée également à l'unité de surface,

p la densité du liquide,

u la vitesse dans la section S,

V la vitesse à la sortie.

La question est de déterminer cette vitesse.

En se reportant à la figure 22, qui représente sur une plus grande échelle le petit canal indiqué à la figure 21, on a évidemment les résultats suivants :

La prisence sur la section en AB est (P -h pz), et son travail élémentaire (P-h pz) Sudt, C'est un travail moleur.

La pression P' en ab donne un travail résislanl Fs x Ydt.

Les réactions qu'exercent les parois du canal ne donnent pas de travail ; car ce sont des réactions normales à ces parois, et, par conséquent, normales aux déplacement suivants ces parois.

Pour estimer le travail de la gravité, nous recourrons encore i la figure 22.

Dans le temps dt la section AB se transporte en A'B' et la section uben a'b'. Le volume primitif est

\Ua — AA'B'B -+- yWba.

et le volume final

X'Wb'a' = k'h'ba -f aba'b\

Ces deux volumes sont égaux et ils ont une | artie commune A'B'frrr .

Le travail de la gravité s'estimera donc exactement en considérant le volume AA'B'B comme passé en ad'b'b.

Ce volume est ^mlt ou sSdt^ son poids piVrff et le travail psVrfr (11 — 5).

Le travail total des forces est donc

'.s \dl [\{ ~ 5) 4- (P -j- zz) Sii(// - Vs \(U,

HYDnAULIQUE. 48

Ce travail doit être égal à la demi-variation de force vive survenue dans le système passé de la position ABba à la position àfh'l/af.

On verra, en raisonnant comme tout à l'heure, qu'on peut faire abstraction de la partie commune k'B'baj et l'on en conclura que la demi*variation de force vive cherchée est égale à

On a donc l'équation

Supprimant le facteur commun «Ydi = Sud^ divisant par p et sim* plifiant, le terme en z disparait, et il re^

Négligeant u devant V, ce qui est permis, il vient enfin

(67) Cette équation montre que dans les hypothèses où l'on s'est placé, la vitesse de sortie ne dépend nullement de la forme supposée au canal, qu'elle est la même pour tous les éléments de 1 orifice pour lesquels la quantité H est la même, la même par con* séquent pour l'orifice tout entier, si l'orifice est en paroi horizontale, ou s'il n'a qu'une dimension verticale très-petite.

Celte vitesse est due à la charge H h . En d'autres termes,

P il faut à la charge apparente H du liquide ajouter la hauteur de liquide qui produirait la différence des pressions qui ont lieu sur la surface libre du liquide et devant l'orifice.

Le liquide êortant a la vitesse qu'acquief^t au corps pesant tombant tibrement d^une hauteur égale à la charge totale évaluée comme U vient iare dit.

Ce résultat, fondamental en hydraulique, constitue ce qu'on appelle le théorème de TorricellL

L'expérience le vérifie à peu près complètement ; ce qui justifie les hypothèses qui ont été faites.

Néanmoins, et cette remarque s'applique à bien d'autres cas, on doit regarder cette vérification expérimentale comme nécessaire, les hypothèses failes n'étant que des approximations.

(68) Connaissant la vitesse, on aura la dépense ou le débit, c'est-à-dire le volume écoulé dans l'unité de temps, en multipliant cette vitesse par la section de la veine liquide.

Cette veine ne peut pas avoir la section même de Torifice, puisque les filets fluides ont, en traversant cet orifice, une certaine convergence qui ne disparaît pas immédiatement. 11 en résulte que, lorsque le jet est devenu cylindrique (ce qui est géométriquement nécessaire pour que la dépense puisse être calculée comme il vient d'être dit), il a une section moindre que l'orifice.

Cette diminution de section est ce qu'on appelle la contraction de la veine fluide.

Si l'on suppose, hypothèse qui a absolument besoin d'être vérifiée par l'expérience, qu'il y ait un rapport à peu près constant entre la section de la veine devenue cylindrique et la section même de l'orifice, nous aurons, en désignant par Q la dépense, o) la section totale de l'orifice, ou la somme des éléments Sj (ù' la section

contractée, m le rapport — .

Q== »' V ==m» V = m«iA^H +

Dans le cas d'un orifice circulaire, on trouve qu'en prenant pour unité le diamètre de cet orifice , le diamètre de la section conti*actée est 0,79 à 0,80, et que cette section est à une distance de 0,40 à 0,50 en avant du plan de l'orifice.

On déduirait de là que le rapport des sections serait de (0,79)« = 0,6241 à (0,8)' = 0,64. Mais comme, en outre, il y a en réalité une très-petite réduction à faire sur la vitesse, on admet

comme résultat suffisamment conforme à la pratique, que la vitesse est exactement la vitesse théorique, et que le coefficient de contraction à employer est m = 0,62,

(59) Il est entendu d'ailleurs que ce coefficient est établi dans le cas d'une contraction complète , c'est-à-dire pour un orifice pratique dans une paroi mince et plane, en un point suffisamment éloigné des autres parois.

On peut se représenter qu'on prenne le centre de l'orifice comme centre d'une sphère ayant un rayon égal à trois ou quatre fois le rayon de l'orifice. Le coefficient de contraction sera m = 0,62, si la moitié de la surface de cette sphère est dans l'intérieur du vase. Il sera plus grand ou plus petit , selon que la portion de la sphère qui se trouvera à l'intérieur du vase sera plus petite ou plus grande que la portion extérieure au vase.

Poursuivant cet ordre d'idées , il est facile de reconnaître que ce coeflicient peut croître jusqu'à l'unité. 11 suffirait pour cela que Torifice, au lieu d'être en paroi plane, fût sur une paroi convenablement évasée, pour correspondre à la courbure que prennent les filels fluides en approchant de la section contractée d'un orifice en paroi plane. Les filets seraient alors parallèles en traversant le plan de l'orifice, et la section de la veine serait exactement la section même de cet orifice.

(60) On peut encore voir que ce même coefficient peut descendre au-dessous de 0,62, et, chose assez remarquable, la théorie peut en déterminer la valeur minimum.

Voici comment :

En revenant à la petite sphère dont il était question tout à Theure, on reconnaît qu'on aura le maximum de convergence des filets liquides, et, par conséquent, la plus petite valeur possible du coefficient, lorsque cette sphère pourra être considérée comme étant tout entière à l'intérieur du vase. On réalisera cette concepfion au moyen d'un ajutage résultant suffisamment prolongé à Tintérieur du vase (voy. jig. 27)).

Il est facile de voir que, dans ce cas extrême, on aura m = {.

Supposons en effet rorifice en paroi verticale, fermé d'abord, et l'écoulement n'ayant pas lieu. Toutes les pressions du liquide sur les parois s'équilibrent dans le sens horizontal.

En débouchant rorifice, on fait disparaître la pression sur ce point et on ne les change sur aucun autre point de la paroi, si l'ajutage pénètre assez profondément à l'intérieur du vase pour que les vitesses soient partout négligeables le long de cette paroi. Les pressions qui subsistent donnent donc dans le sens horizontal une résultante égale et directement opposée à la pression qui a disparu, et la réaction des parois est égale à l'action qu'elles supportent.

Cette réaction est, pour la masse du liquide, une force extérieure dont l'impulsion doit mesurer la quantité de mouvement acquise par cette masse dans le sens de la force.

Désignant celle-ci par F, on a donc l'équation

fdt=m^ X \=:mo(ù-'dt

yt Y*

F = m pw — = 2m p«k» ^ = 2mptt) II.

D'ailleurs, cette force est, d'après les théories connues de la statique, F := p(i)H, donc 2m = 1 , ou m = |.

Cette démonstration est due à Borda.

11 serait facile de l'étendre au cas où Torifice ne serait pas en paroi verticale,

(61) Ce qui précède renferme, à proprement parler, pour le cas de l'écoulement de l'eau par un petit orifice en mince paroi, toute la théorie utile dans les applications.

Cette théorie se réduit à ceci :

La vitesse est définie par le théorème de Torricelli ; le calcul de la dépense comporte l'emploi d'un coefficient de contraction, dont la valeur moyenne est 0,62, et qui varie d'ailleurs, selon que la contraction est plus ou moins complète, et aussi, dans une certaine mesure, selon les dimensions de l'orifice et la hauteur de la charge. D'une manière générale, on peut dire que toute circonstance qui tend à diminuer la contraction augmente la dépense et inverse-

HYDRAUUQUE. S3

ment; de sorte que le coefficient de contraction tend à devenir pitw petUj soit à mesure que la sphère considérée précédemment a une plus grande partie de sa surface à l'intérieur du vase, soit à mesure que la grandeur de Torifice augmente, ou à mesure que la charge est plus forte.

(62) On a étudié l'écoulement de la veine fluide au point de vue de sa constitution intime , et à celui des changements de forme qu'elle affecte au delà de la section contractée, phénomène qu on désigne sous le nom général d'inversion de la veine.

Les résultats curieux auxquels on est arrivé s'expliquent, soit par la fluidité imparfaite du liquide, soit, dans le cas d'un orifice non circulaire, par l'inégalité de la convergence des filets dans les différentes sections menées par des plans passant par l'axe de la veine, soit enfin par la résistance de l'air et par la simple application des lois ordinaires de la chute des corps au mouvement d'une série de points matériels qui se succèdent dans le même lieu avec la même vitesse.

Mais ces résultats n'intéressent pas la pratique au point dp vue des machines et nous ne nous y arrêterons pas.

(•8) Deuxième Exebtplb. — Écoulement de [eau par un orifice en mnce paroi sous une charge constante^ mais par un orifice dont les dimensions verticales ne sont pas très-petites relativement à la charge.

Le théorème de Torricelli (n** 57) s'applique non-seulement aux orifices de petite section, mais encore aux orifices de grandeur quelconque, pourvu que tous les éléments de ces orifices puissent êlre considérés comme soumis à la même charge. Cette circonstance se présentera dans les trois cas suivants :

Avec un orifice en paroi horizontal ;

Avec un orifice ayant une hauteur verticale faible relativement à la charge ;

Et enfin avec un orifice noyé, c'est-à-dire faisant écouler l'eau d'un réservoir supérieur dans un réservoir inférieur, dont le niveau est supérieur à l'orifice.

S4 COURS DE MÂGHIRES.

Dans ce dernier cas, la quantité H de la formule de Torricelli est exactement la même pour tous les éléments de Torifice et égale à la différence de niveau dans les deux biefs.

En dehors des trois cas ci-dessus, il arrive en général que les divers points de l'orifice ne peuvent pas être considérés comme soumis à la même charge.

Aux hypothèses faites au n** 55, nous ajoutons Thypothèse suivante, que chaque élément de V orifice fonctionne exactement dam les mêmes conditions que s il était isolé.

Appelant d(ù un de ces éléments, % sa charge, dQ sa dépense, on aura

dQ = mdtù y = md<ù sl^g z

=: m sl'ig rfco slz,

d'où

Q=:m rd»V=mv/% Ç dv^ sjz.

l'intégrale 1 dtù\l% étant prise entre les limites convenables.

La question est ainsi résolue d'une manière générale, c'est-àdire ramenée, dans chaque cas particulier, à un simple exercice de calcul.

Examinons quelques-uns de ces cas particuliers.

(64) Soit d'abord un orifice circulaire de rayon R, en paroi verticale, avec une charge H sur le centre et égalité de pression sur la surface libre du liquide et devant l'orifice.

On peut poser (voy. /îjf. 24)

do = rdrdv.

« = H +■ rcosa;

substituer dans la formule

dQ = mdm v/2^,

et intégrer par rapport à a de o à 2ic et par rapport à r de o à R.

HYDRAUUQUE. 55

On aura ainsi

cosa

dQ = mrdrda. s/'Ig (U-hrcosa.) = m v/%H rdrdoL i/n-g Q=:m)/2fâj\<xf rdri/i +gCOsa.

Développant par la formule du binôme la quantité

H 4-gCOSttj*, il vient

(i -*-gCOSaV = 4 -fg^cos*— g gjCOS*a + ....,

formule très-convergente, qui permet de ne pas aller au delà dn troisième terme.

Il vient d'abord

et ensuite