SUITE DE L'HYDRAULIQUE - RÉCEPTEURS HYDRAULIQUES ROUE A AXE HORIZONTAL
(170) Un récepteur hydraulique est un appareil au moyen duquel on utilise la force motrice d'une chute d'eau.
Cette chute, comme on Ta dit au chapitre 111, est caractérisée par deux éléments : le volume d'eau Q fourni par seconde, et la hauteur H dont on dispose. Si l'on désigne par p la densité ou le poids de Tunité de volume^ on a dans chaque unité de temps un poids pQ tombant d'une hauteur H, c'est-à-dire un nombre de kilogrammè- Ires égal à pQH'; d'où résulte une force théorique en chevaux
égale à ^.
En général, le volume Q est connu par un jaugeage, la hauteur H par un nivellement. Mais cet aperçu sommaire demande quelques développements, pour bien comprendre comment une telle chute se trouve régulièrement définie et constituée.
(171) Prenant un cours d'eau dans son état naturel, on peut, par une chaussée ou un barrage établi en un point donné, faire gonfler l'eau en amont de cette retenue jusqu'à une hauteur que limitent diverses conditions* S'il existe une usine en amont, son point d^eau d*avalj c'est-à-dire le niveau jusqu'auquel elle a le droit de baisser ses eaux en aval de son récepteur, est une limite supérieure de la retenue, puisqu'il faut encore en déduire la pente de surface
nécessaire pour produire l'écouleraent entre l'usine supérieure et le barrage. S'il n'existe pas d'usine supérieure, la hauteur de laretenue est limitée, accessoirement par la question de la salubrité, et essentiellement par l'obligation de ne pas inonder les terrains appartenant à des tiers, ou même de se tenir à quelques centimètres en contre-bas des parties les plus basses de ces terrains. Ces considérations déterminent ce qu'on appelle le point d-eau d^amont de l'usine. Ce point est réglé administrativement après une enquête, et ce règlement, basé sur des motifs supérieurs d'intérêt général, est souverain, malgré tous titres contraires, et sauf réserve des droits des tiers, droits qui ne peuvent en tous cas se résoudre que par des dommages-intérêts fixés judiciairement.
Ce règlement administratif détermine : 1** la largeur et surtout la hauteur du couronnement d'un déversoir en maçonnerie; 2** la largeur et la hauteur de seuil d'un vannage dit de décharge.
L'objet du déversoir est d'indiquer par un ouvrage permanent et visible la hauteur normale à laquelle l'usine peut ou doit tendre ses eaux.
Celui des vannes de décharge est d'évacuer l'excès de l'eau affluente que les récepteurs de cette usine n'utilisent pas actuellement. Les vannes de décharge doivent donc pouvoir débiter toute l'eau affluant même en cas de crue, Tusine étant supposée arrêtée.
Le point d'eau d'amont une fois fixé, un canal de dérivation, ou bief d^arrivée, conduit l'eau jusqu'au point où les convenances locales déterminent l'emplacement de l'usine et des récepteurs qui doivent la faire mouvoir.
A sa sortie du récepteur, l'eau est reçue dans un autre canal, 6i^/ de fuitey ou canal de fuites qui la rend à son cours naturel en un point qui est déterminé, soit par l'existence d'une usine en aval, soit par les besoins de l'irrigation des terrains. En somme, on prend l'eau en un point déterminé de son cours, et on la rend en un autre point également déterminé, et la chute dont on dispose à l'usine, est la différence de niveau qui existe naturellement entre ces deux points, augmentée de la hauteur produite par la retenue, et diminuée de la pente des deux biefs d'amenée et de fuite, ou, en d'autres termes, c'est la différence entre la pente du cours d'eau à
ROUES HYDRAULIQUES Â AXE HORIZONTAL. i49
l'état naturel, et les pentes des deux biefs, augmentée de la hauteur de la retenue. Comme d'ailleurs on est maître (voy. n** 151), enaugmentant la section des deux biefs, de diminuer indéfiniment leur pente, on peut encore dire que la chute disponible est, à la limite, égale à la diflérence de niveau qui existe entre la surface de Teau en amont du barrage et celle de l'eau au point où elle est rendue à son cours naturel.
(179) Ainsi que nous l'avons dit en parlant du jaugeage, le vo« lume Q d'une chute varie incessammQnt dans le cours d'une année, et en même temps que le volume, la hauteur disponible H varie elle-même, non pas en raison inverse, mais en sens inverse du volume; c'est-à-dire qu'en passant du volume Q à un volume Q' > Q, on passe en même temps généralement d'une hauteur H à une hauteur ir<H, le produit pQ'H' étant habituellement plus grand que le produit pQH. Cette variation de hauteur tient essentiellement à ce que la hauteur de l'eau en amont est peu variable, à cause de la présence du déversoir, tandis qu'à mesure que le volume augmente, la pente de surface dans le canal de fuite doit augmenter pour suffire au débit de ce volume d'eau croissant.
11 faut, pour arriver à établir rationnellement un récepteur, connaître, par une série d'observations directes, ou par des renseignements recueillis sur les lieux et soigneusement discutés, quels sont les volumes Q dont on peut disposer dans les diverses saisons, et quelle est approximativement, pour chacun de ces divers volumes, la valeur correspondante de la chute.
Le récepteur s'établit alors, principalement en vue d'un certain volume et d'une certaine hauteur de chute, en se préoccupant en même temps, dans une certaine mesure^ selon le genre d'industrie à créer, de l'importance et de la durée des variations que ces deux éléments peuvent présenter.
On a donc, en définitive, une certaine valeur du volume Q et de la hauteur H, à prendre pourpoint de départ dans l'étude du récepteur que l'on veut établir pour utiliser une chute donnée.
(178) Ajoutons que la chute à uliliser n'existe pas toujours
i50 COURS DE MAGHINES.
à l'avance, et qu'il peut arriver qu'on la crée artificiellement.
Cela s'est fait souvent, et môme sur une très-importante échelle, dans des districts de mines, en recueillant dans des réservoirsles eaux de la surface ou celles'des travaux, les faisant agir sur des récepteurs, et les laissant ensuite échapper par des galeries d'écoulement. On a pu ainsi créer dans des pays accidentés des chutes d'une très-grande hauteur.
Sur une moindre échelle, on peut concevoir une création analogue, même dans une mine dépourvue de galerie d'écoulement. Si une telle mine est pourvue d'un appareil d'épuisement, on peut s'arranger pour qu'une petite partie de l'eau élevée par cet appareil, soit renvoyée dans les travaux, utilisée à quelque service accessoire et élevée de nouveau au jour. Cela revient en définitive à charger l'appareil non-seulement de l'épuisement normal, mais encore de ce service accessoire.
Allant encore plus loin, on concevra que l'on crée réquivalent d'une chute d'eau, sans qu'il y ait de chute apparente. Tel est le système des flccMmî//fl(^Mr« d'Armstrong, qui emploient un premier moteur à comprimer de l'eau dans un réservoir, sous une haute pression (30, 40, 50 atmosphères et plus). De l'eau qui sort d'un semblable réservoir peut agir sur un récepteur hydraulique, exactement comme si elle tombait d'une hauteur d'environ 300, 400, 500 mètres, et la machine qui Ta comprimée a fait aussi le même travail que si elle eût eu à l'élever à cette même hauteur.
Ce réservoir, oùTeauestseumiseà une grande pression, pourrait être remplacé par un réservoir à air libre placé à celte même hauteur, si le relief du sol en comportait l'établissement.
Il est bien clair qu'une telle combinaison ne crée pas de la force: elle en perd même évidemment, puisque le rendement définitif n'est que le produit des rendements du moteur princi[)al et du récepteur hydraulique établi sur la chute ainsi créée. Mais il peut arriver, et il arrive elfectivement, que la facilité d'emploi compense pratiquement le moindre rendement théorique obtenu.
On reviendra plus loin sur cet objet.
(174) Quoi qu'il en soit, qu'il s'agisse d'une chute existant na-
turellement, ou obtenue par une galerie d'écoulement, ou encore créée artifidellement par l'emploi préalable d'un moteur à élever ou à comprimer de Teau, on arrive toujours à une certaine dépense Q, et à une certaine hauteur H, ou à une pression correspondante, en vue desquelles un récepteur doit, sinon exclusivement, du moins principalement être établi.
Pour préciser, nous désignons par H la différence de niveau qui s'établit entre la surface de l'eau dans le bief d'amenée et dans le canal de fuite, en deux sections w et o)' de ces biefs, où le mouvement des différents filets fluides tCest pas encore ou n'est plus influencé par la présence du récepteur, et où par conséquent ces filets ont des vitesses égales et parallèles, comme en deçà de la section ta et au delà de la section co' (fig. 61).
Nous désignons encore par :
V la vitesse moyenne dans la première de ces sections ;
V la vitesse moyenne dans la seconde ;
Z et Z' les distances du centre de gravité de ces sections à la surface du liquide.
Le travail de la gravité dans le temps dt a pour expression pfc)Vdl(H-f-Z' — Z).
■ Le travail de la pression d'amont sur la tranche supérieure est pwZ X \dtj et il est positif.
Le travail de la pression d'aval est pw'Z'V'df, et il est négatif.
Comme d'ailleurs (i)'V'=(i)V, la somme algébrique de ces trois quantités de travail se réduit à p(i)YxHdans l'unité de temps. Cette somme doit être numériquement égale :
D'abord à la demi-variation de force vive éprouvée par le li-
quidei^(V-V«),
Ensuite, à cause de l'égalité entre l'action et la réaction, au travail moteur T„, transmis au récepteur hydraulique par la pression normale de l'eau sur les parois mobiles du récepteur, travail égal et directement opposé au travail résistant que l'eau reçoit de ce récepteur ;
Troisièmement, au travail résistant absorbé par les résistances passives telles que les frottements ;
Quatrièmement enfin, aux forces vives qui ont été perdues par des changements brusques de vitesse que leau a pu éprouver, soit eu dehors du récepteur, soit sur le récepteur lui-même.
On a donc l'équation
d'où
T« = PQH - 1^ (V ~ V«) - T^- I l^\]K
(175) Si Ton néglige les vitesses V et V, qui doivent être petites, puisque de grandes vitesses supposeraient des biefs ayant une grande pente et par conséquent une grande hauteur de chute perdue en frottement dans ces deux biefs ; si l'on néglige les frottements ; si Ton suppose enfin qu'il n'y ait pas de changements brusques de vitesse, soit à l'entrée de l'eau sur la roue, soit pendant qu'elle agit sur cette roue, soit après sa sortie, en un mot dans le passage de la première à la deuxième des sections ci-dessus considérées, on aura à la limite T«=:pQH, c'est-à-dire que le travail transmis à la roue hydraulique sera le travail que produit la gravité, en supposant que l'eau tombe d'une hauteur égale à la différence de niveau de ces deux sections.
Cette conclusion est tout à fait générale et indépendante de la nature du récepteur, pourvu qu'il satisfasse aux conditions qui viennent d'être indiquées.
L'étude théorique des récepteurs a essentiellement pour objet de rechercher par quels moyens et dans quelle mesure ils peuvent y satisfaire en effet.
C'est de cette étude que nous allons nous occuper, en considérant successivement les différents récepteurs que l'industrie utilise, recherchant d'abord, pour chacun d'eux, les conditions de leur meilleur établissement, et les comparant ensuite pour arriver à préciser leurs avantages et leurs.inconvénients respectifs, dans les diversesci^ constances de chute et d'emploi industriel qui peuvent se présenter.
(176) Les récepteurs les plus habituellement employés sont les roues hydrauliques, c'est-à dire des appareils prenant un mouve-
ment de rotation continu autour d'un axe qui peut être horizontal ou vertical, sous l'action de l'eau agissant sur certaines surfaces fixées invariablement à la circonférence de la roue.
On doit distinguer les roues dans lesquelles l'eau agit principalement par son poids, celles où elle agit par son choc, et enfin les roues à réaction dans lesquelles Veau agit en prenant un mouvement déterminé sur les surfaces dont nous venons de parler. Elles peuvent être à axe horizontal ou vertical. Nous parlerons d'abord des premières.
(177) Le type des roues mues par le poids de l'eau est la roue à augets en dessus^ dont les figures 62 et 63 représentent les dispositions ordinaires.
La première est supposée appliquée à une haute chute et à un petit volume d'eau, la seconde à des conditions opposées. La première est construite principalement en bois, la seconde en métal.
Cette roue porte à la circonférence deux couronnes et une fonçure qui forment comme une sorte de grande gorge.
La capacité de cette gorge est divisée, par une série de palettes planes ou courbes, en bois ou en tôle, en capacités distinctes qui prennent le nom d'augets.
L'eau du bief supérieur est donnée par une vanne de fond vers la partie supérieure de la roue. Cette eau remplissant les augets détermine le mouvement de rotation dans le sens de la flèche. A mesure que les augets arrivent vers le bas de la roue, l'eau se déverse dans le bief inférieur.
Le mouvement de rotation se continue tant que l'eau du bief supérieur est admise dans les augets. Ce mouvement de rotation est communiqué, soit par un engrenage calé sur l'arbre de la roue, ou fixé aux bras ou à la couix)nne, soit par des manivelles calées sur les tourillons de cet arbre prolongés au delà des coussinets, à des organes de transmission qui le répartissent, en le transformant convenablement, entre les divers opérateurs.
Désignons par V la vitesse avec laquelle le filet moyen de la lame d'eau débitée par la vanne vient rencontrer la circonférence extérieure de la roue»
Par a l'angle que fait ccHe vitesse V avec la vitesse t* de celle môme circonférence extérieure,
Par h la distance verticale entre le point de rencontre et le niveau de l'eau dans le bief supérieur,
Par H la différence de niveau entre les deux biefs.
Supposons que le bief inférieur soit tangent à la circonférence extérieure de la roue, el d'abord que les augets ne se vident que lorsqu'ils sont arrivés au bas de la roue.
L'eau arrivant avec la vitesse V sur les augets prend la vitesse même de ces augets. Elle perd la vitesse U donnée {fig. 64) par la relntion U* = V* H- w' — 2 u V cos a.
Elle arrive dans le bief inférieur en conservant cette vitesse m.
On a donc la relation
ou en remplaçant II' par sa valeur
Tm = pQH - ^ «* - ê (V' -f «• - 2«Vcos a)
D'ailleurs on a très-approximativement \*= 2sf/i, d'où
T» = pO (H — /i) -h - (V cos a — tt)î».
(178) Cette formule peut encore être établie par une autre considération, en remarquant que la vitesse V de l'eau, à son entrée sur la roue, peut être décomposée en une vitesse V cos a suivant la tangente et une autre V si7ix suivant le rayon ; quand l'eau est entrée dans les augets et en a pris le mouvement, elle garde la vitesse u suivant la tangente, et la vitesse suivant le rayon est nulle.
L'eau perd donc à son entrée la vitesse \cosa — n suivant la tangente, el la vitesse y sina suivant le rayon. Cela nécessite, de la part de la roue des efforts F et F' dont les impulsions élémentaires
ROUES HÏDBAULIQUBS A AXE HORIZOI^TAL. IM»
ont pour expression
¥dt=r^^dt (Vcosa-tt)...F = ??(Vcos«-t*),
f^dt = ^ m sin et . .F= ^ Vsin a, 9 9
et ces efforts sont en même temps ceux que l'eau exerce sur la roue en sens contraire.
Il en résulte pour le premier un travail transmis à la roue égal à
Fm= ^— (V cos a — ti) u, et pour le second un travail nul, puisqu'il
n'y a pas d'espace parcouru dans le sens de la force F'.
Ce premier effet produit, Teau descend sur la roue de la hauteur U — fc en conservant la vitesse u ; tout le travail de la gravité est donc transmis à la roue hydraulique pendant cette descente.
Par suite on a
T,= pQ (H - *) + ^ (Vcosa-tt)ii,
c'est-à-dire Téquation déjà trouvée.
On voit que le premier terme est relatif au travail de la gravité pendant que l'eau est dans les augets, et le second est relatif au travail résultant du choc de l'eau à son entrée sur la roue.
(179) Pour obtenir le meilleur effet possible, il faut faire d'abord eo.ça= 1, c'est-à-dire que l'eau doit arriver autant que possible langcntiellement à la roue; cette condition est évidente, car il n'y a alors aucun choc dans le sens du rayon, choc qui serait sans effet pour faire tourner la roue.
La formule devient alors
T„=pQ(n-/i)4-^^(V-îi)ti.
Si h et si, par conséquent V, sonl des quantités données, le maxi-
mum deT„ correspond à w = ^, qui donne
T„=fO (H - /») +1 J = pQ (H - /i) +r>rO 1^
On en conclut que Ton perd, dans les meilleures conditions d'emploi, la moitié de la hauteur h dont Teau est déjà tombée, lorsqu'elle est reçue sur la roue.
Ainsi il faut prendre l'eau le plus haut possible, et, celte hauteur étant donnée, il faut que la roue ait la moitié de la vitesse due à cette hauteur, c'est-à-dire que la roue doit marcher très-lentement.
On arrive à la même conclusion sous une autre forme, en prenant Téquation
T„=fQ(H-/i)+^(V-tt)tt
et en remplaçant h par sa valeur ^.
L'équation devient
Tm=eQH-|tV*-2(V-fi)fi]
On reconnaît sous cette forme que si u est donné, le maximum d'effet utile aura lieu pour V=m, et ce maximum sera
en posant ^ = fc'.
Celte formule montre que ft' doit être aussi petit que possible. En résumé, partant d'une hauteur génératrice de la vitesse \Ma
y meilleure valeur de u sera^; mais cette valeur de u admise, on
trouvera avantage à réduire la vitesse V à une valeur V'=-^ ; celle-ci,
à son tour, demandera une valeur tt'=-^^-^=:^, et ainsi de suite.
Ce qui revient à dire qu'on trouve avantage à faire aller la roiie de plus en plus lenteme^it, en prenant Veau de plus en plus haut.
Mais il y a à cela une limite pratique; car à mesure que la roue diminuerait indéfiniment de vitesse, la condition d'admettre dans
les augets toute l'eau que débite la vanne forcerait à augmenter indéfiniment sa largeur et son poids.
Pratiquement la vitesse u ne descend guère au-dessous de l°par seconde, ce qui donne fc'=0".051 .
La vitesse V doit être notablement plus grande, afin d'assurer l'introduction effective de l'eau dans les augets et d'empêcher que ceux-ci ne soient frappés par derrière dans le cas d'un ralentissement accidentel de la roue.
Si l'on suppose V = S*", on a ft = 0.2038, et la hauteur perdue
C'est une perte insignifiante pour les chutes de plusieurs mètres auxquelles s'appliquent les roues que nous décrivons.
(180) Telle est, sommairement et dans un premier aperçu, la théorie des roues à augets. Elle doit être complétée par quelques détails.
D'abord, en ce qui concerne le tracé des augets, il faut s'attacher à ce que l'eau entre facilement dans la capacité que ces augets présentent, sans être gênée par Vair et sans rejaillir sur la tranche des palettes.
Pour satisfaire à la première de ces deux conditions, on aura soin de donner à la roue un léger excès de largeur, relativement à la lame d'eau fournie par la vanne.
On aura soin ensuite qu'entre les palettes de deux augets consécutifs il y ait partout un intervalle supérieur à l'épaisseur de la lame d'eau que reçoivent ces augets.
Pour satisfaire à la deuxième, au lieu d'introduire l'eau tangentiellementà la roue, comme l'indique la théorie, on fera faire à la vitesse V un angle sensible, de 12 à IS"* par exemple, avec la vitesse u. Décomposant cette vitesse V en deux, dont une des composantes soit la vitesse u en grandeur et en direction, l'autre composante U sera la vitesse de l'eau relativement à la roue supposée immobile.
Achevant le parallélogramme ABCD (fig. 65), la ligne AD', extérieure au parallélogramme et faisant avec Ir ligne Al) un petit angle
comparable au précédent, sera la direction de la face interne de Tauget, et la ligne AD elle-même pourra être prise pour la direction suivant laquelle les palettes de Tauget seront taillées en biseau à leur extrémité.
De cette manière, il n'y aura aucun rejaillissement sur la tranche même de l'auget, et la lame d'eau venant frapper la palette sous un petit angle, en vertu de sa vitesse relative, sera déviée sans rejaillir au dehors et s'introduira facilement jusqu'au fond de l'auget.
(181) Nous avons supposé jusqu'ici que Teau entrée dans un auget s'y maintenait jusqu'au bas de la roue.
C'est à cette condition seulement que le travail de la gravité peutêtre regardé comme égal k pQ (H — h).
Ce premier aperçu a besoin d'être rectifié.
D'abord on peut toujours facilement trouver quelle est, pendant la marche de la roue, la quantité d'eau que reçoit chaque auget.
Désignant par E Técartement de deux augets à la circonférence
E extérieure de la roue, - est le nombre des augets qui passent dans
l'unité de temps, etQ : ---y^est le volume d'eau que reçoit chacun
d'eux. Ce volume doit être comparé à la capacité effective que présente chaque auget, capacité qui varie d'une position à l'autre pendant le mouvement et qui dépend d'ailleurs, pour une position donnée, de la surface qu'affecte le liquide dans l'auget pendant le mouvement de la roue.
Cette surface est facile à trouver approximativement, par des considérations élémentaires, en supposant d!abord que Ton néglige les petits mouvements relatifs que doit prendre la masse d'eau contenue dans un auget qui se déplace, pour se prêter aux variations de forme de la capacité qu'il lui présente, et ensuite que cette masse ait à* chaque instant la disposition qui conviendrait à son équilibre.
Une molécule m de cette masse (l%g. 66) est soumise, d'une part, à l'action delà gravité, et d'autre part à l'action delà force cenl/ifuge qui résulte du mouvement de rotation de la roue auquel elle participe.
• Soit (!) la vitesse angulaire de la roue, r la distance à l'axe de la molécule considérée. Cette molécule est soumise à la fois aux accélérations getiù^r. Si m A et mB représentant en grandeur et en direction ces deux accélérations, mD, diagonale du parallélogramme tnADB, en représentera la résultante. Les deux triangles semblables COM m AD donnent
0M~" MB~<û*r*' co*'
valeur indépendante de r.
Considérant donc une section quelconqueperpendiculaire à l'axe, toutes les molécules qui sont dans cette section sont soumises à des forces constantes qui viennent se couper en un même point C, situé
à une hauteur -^au-dessus de l'axe de la roue, hauteur qui est la
même pour toutes les sections.
On en déduit facilement, d'après les notions générales do Thydrostatique, que les surfaces de niveau doivent être à chaque instant des surfaces cylindriques droites à base circulaire ayant leur axe parallèle à celui de la roue et passant par le point C.
Prenant donc un auget dans une position quelconque, du point G comme centre (fig. 67) avec CE pour rayon décrivant un arc de cercle, on déterminera la capacité effective de l'auget, dans la position delà figure, en multipliant l'aire ABB' par la largeur intérieure de la roue entre les deux couronnes.
La distance CO=-^peul, dans la pratique, varier entre des limites
Irès-étendues.
Soit R le rayon de la roue, u la vitesse à la circonférence, ou
onaRw==M...CO = 9.8l",.
SiR = 2-, tt = 4- C0 = ^ = 2-45
Si R = 7.50, «=i.50 CO = 9,81 x 25 = 245^
Ainsi, avec des roues à grande vitesse et à petit diamètre la cour-
bure BmW peut être très-prononcée et la corde BB' très-inclinée ; au contraire avec des roues lentes et à grand diamètre la ligne de niveau différera très-peu d'une ligne droite horizontale.
La capacité utile des augets sera, dans les deux cas, extrêmement différente.
D'ailleurs le versement sera terminé, ou l'auget entièrement vide, dans la position pour laquelle Tare décrit du point C sera tangent en U à la palette.
(182) D'après ce qui précède, on connaîtra la quantité d'eau reçue dans chaque augel. On devra s'assurer que la capacité effective de l'auget, au point d'introduction de l'eau est telle, qu'il n'est rempli qu'aux deux cinquièmes, à la moitié, ou au plus aux deux tiers. Sinon, on y pourvoira en augmentant convenablement la largeur de la couronne, ou la largeur de la roue, ou sa vitesse.
La condition remplie, on fera à une grande échelle l'épure de la roue; on tracera les augets dans diverses positions, et on trouvera ainsi par le tâtonnement quelle est la position pour laquelle Tauget est entièrement plein et commence à se déverser, et celle pour laquelle ce déversement est achevé.
Supposons que ces deux positions se trouvent à des hauteui^ hj et ft, au-dessus du bas de la roue,
On partagera cette hauteur h^ — h, en un nombre 2n de parties égales; parles points de divisions, on tracera les positions correspondantes des augets, et on déterminera graphiquement les sections qu'ils présenteront dans ces positions, et par suite les rapports a^, a,, a,... a^-i.o, de CCS sections successives à la première prise pour unité.
Le travail de la gravité pendant la période du déversement sera approximativement, d'après la formule d'interpolation de Simpson :
Le travail de la gravité, avant le déversement, sera seulement pQ[H-h-fcJ.
Et par suite l'expression générale du travail transmis à la roue
hydraulique sera
T«=pQ[H-fe— A^ + i ^ i — j---L__î(l4-4a^4.2a, + ....4a^^J]
Dne telle formule, qui tient compte de toutes les circonstances spéciales à la marche et à la construction de la roue, donnera avec une très-grande exactitude le travail transmis à cette roue.
On n'a négligé que quelques circonstances très-accessoires, telles qu'une certaine perte possible sur la hauteur génératrice de la vitesse V, quelques rejaillissements anormaux en dehors de la roue, un dèraut d'étanchéité des augets, éventuellement la résistance de Peau du bief inférieur, si la roue est noyée d'une certaine quantité, etc. , etc.
Toutes ces perles réunies ont peu d'importance, et Ton peut être assuré que le rendement effeclif sera au moins les 90 centièmes du travail théorique donné par la dernière formule. On poserait donc
TV=0.90T, = 0.90,0 [H..A-A,.^(ÎÎ5£^^
Mais si Ton veut comparer le travail effectif T'. à ce qu'on appelle le travail théorique de la chute pQU, on voit que le rapport ne peut être un nombre constant pour le genre de roue qui nous occupe, puisque T» dépend de circonstances propres à la construction et à la marche d'une roue donnée. Tout ce qu'on peut dire, c'est que si le vannage est bien disposé, si la capacité des augets et la vitesse de la roue sont telles que le versement de l'eau n'ait pas lieu trop tôt, si la roue est en bon état d'entretien, le rendement devra être au moins de 70 pour d 00, souvent de 75, 80 et même 85 pour 100, le coefficient de rendement augmentant à mesure que la vitesse de la roue diminuera, et que sa capacité augmentera, ces deux éléments étant d'ailleurs limités par des considérations d'emplacement, de poids et de dépense.
(183) On pourra, pour l'établissement d'une roue de l'espèce, admettre les données pratiques suivantes :
Largeur de la couronne 0"",^^ à 0",40.
Espacement des augets sur la circonférence extérieure 0"',25 . ir,30.
j il
Arrivée de Teau vers le troisième ou quatrième augct au delà du diamètre vertical de la roue.
Hauteur h de la formule 0",25 à 0'°,50 et plus.
Vitesse u de la roue, 1 mètre à 1",50 el plus.
Épaisseur de la lame d eau 0"*,06 à O'^.IS.
Débit environ 75 à 250 litres par mètre de largeur de la lame d'eau.
Excès de largeur delà roue sur la largeur delà lame d'eau 0°, 20.
Augels remplis du quart au tiers, et très-exceptionnellement à moitié après leur passage sous la lame d'eau.
Hauteur de chute, comprise entre 3 ou 4 mètres au moins, jusqu'au plus grand diamètre qu'on puisse donner utilement à ces roues 15, 16, 17 mètres et plus.
Les nombres ci-dessus suffiront pour établir un projet de roue de ce genre. Ils ont, comme on le voit, une certaine élasticité, qui permet à ringénieur de se mouvoir entre d'assez larges limites pour obéir à des convenances déterminées. Ainsi, par exemple, quand on a beaucoup d'eau à dépenser, on trouvera souvent opportunité à augmenter l'épaisseur de la lame d'eau, la vitesse de la roue el la largeur de la couronne pour diminuer la largeur de la roue, qui ne peut guère dépasser 5 à 6 mètres sans de grandes difficultés de construction.
(184) Les roues décrites dans les n~ 177 à 183, qui reçoivent l'eau à l'extrémité et un peu en avant du diamètre vertical, se nomment roues à augets en dessus.
Elles constituent un type bien déterminé qui cependant comporte quelques variantes.
Lorsque la quantité d'eau à débiter oblige à remplir beaucoup les augets, ou lorsque la capacité de ceux-ci tend à être réduite, ainsi qu'on l'a vu, par l'action de la force centrifuge, on prévient quelquefois leur versement prématuré en enveloppant l'arc de versement par une construction qui emboîte exactement la roue, et que l'on nomme un coursier ou un manteau (fig. 68).
L'effet nuisible du versement est alors annulé. Ou n'a plus d'autres pertes que celles qui résultent des fuiles entre la roue et son enveloppe, et du frottement de l'eau sur la face interne de celle-cL
ROUES HYDRATJUQUES A AIE HORIZONTAL. ifiS
(185) Lorsque la chute n'est pas Irès-haule, et que le niveau d'aval est sujet à des variations notables et de longue durée, la roue placée de manière à utiliser toute la chute dans les basses eaux est exposée à être noyée par le bas dans les autres saisons. Il en résulte une perte de force évidemment d'autant plus grande que la roue est plus immergée et d'un plus petit diamètre.
Dans ce cas on peut donner à la roue un diamètre supérieur à la hauteur de chute, Talimenter sur le côté» et faire tourner la roue, de manière que la partie inférieure se meuve dans le même sens que l'eau du bief inférieur.
Une semblable roue se nomme roue à augets de côté (fig. 69).
Comme l'influence du versement augmente, pour un tracé donné, avec le diamètre de la roue, celui ci ne devra pas être inutilement augmenté, à moins, ce qui se fait souvent, que la roue ne soit emboitéedans un coursier commençant à la hauteur où le déversement devrait commencer lui-même. D'un autre côté, il ne faut pas non plus un diamètre trop petit, aûn de faciliter le tracé des directrices par lesquelles Teau arrive sur la roue. Ce point d'arrivée peut être convenablement à 1 mètre, ou 1"*,50 au moins, au-dessus du centre de la roue.
Cette dernière dimension doit même, rationnellement, être en rapport avec le diamètre de la roue, si Ion veut que l'eau arrive sur un point de la circonférence de la roue, ayant toujours la même inclinaison. Si l'on appelle a l'angle que fait avec la verticale le rayon aboutissant à ce point, sa hauteur au-dessus du centre de la roue est évidemment Z = R sin a.
Si l'on fait a =60% on aura Z = ^ R; on peut donner en effet
à a une valeur de 60 à 70.
L'eau est souvent donnée à ces roues par une vanne en déversoir.
Mais il est préférable d'avoir ce qu'on appelle un vannage àperrienne, formé de deux vannes qui s'ouvrent, celle du bas en s'abaissanl comme une vanne en déversoir, celle du haut en s'élevant comme une vanne de fond. En les manœuvrant simullanément dans un sens convenable, on règle leur ouverture selon la dépense
i64 COURS DE MACHINES.
d'eau qu'on veut faire, et la position de cette ouverture, selon le niveau actuel de Teau dans le bief.
La figure 147 représente une roue du système indiqué.
(186) Enfin il peut se faire que le niveau du bief supérieur soit variable entre d'assez larges limites. Ce cas ne se présentera pas avec des usines marchant avec les eaux tendues à la hauteur de leurs déversoirs Mais il peut arriver avec des usines marchant par éclusées, et utilisant les eaux retenues en amont d'une haute chaussée.
On a pour ce cas deux dispositions possibles.
On pourra d'abord (fig, 70) employer la roue à augets en dessus, en lui donnant le diamètre et la position qui conviennent pour la chute la plus réduite. On lui donnera l'eau par une vanne de fond qui fonctionnera sous une charge variable avec le niveau du bief supérieur. On donnera à la roue une vitesse en rapport avec celle de l'eau, et souvent pour parer aux effets nuisibles de déversement produits par cette vitesse, on entourera la roue d'un manteau.
Beaucoup de marteaux de forge et de martinets sont actionnés par des roues de ce genre qu'on pourrait appeler roues à augeis en dessus^ à grande vitesse.
Il est entendu qu'à un moment donné, on perd au minimum la moitié de la hauteur comprise entre le niveau de l'eau dans le bief supérieur, et le point d'arrivée sur la roue.
Ces appareils peuvent avoir ainsi un rendement médiocre^ mais une grande force absolue, parce que leur grande vitesse leur permet avec des dimensions restreintes de dépenser beaucoup d'eau.
La seconde disposition consistera à prendre une roue à augets de côté (n"* 185), en y établissant un vannage à directrices occupant toute la hauteur comprise entre les niveaux extrêmes de l'eau dans le bief supérieur.
De cette manière, la roue pourra marcher lentement et recevoir toujours l'eau par une vanne, sôit en déversoir, soit avec une petite tète d'eau donnée, mais en un point dont la position changera avec le niveau de Teau dans le bief supérieur.
Il est entendu qu'en même temps les directrices s'iuûèchiront de
manière à couper toujours sous le même angle la circonférence de la roue, afin de satisfaire, quelle que soit la hauteur actuelle de l'eau, aux conditions de tracé du n" 180.
(187) Lorsque la hauteur de la chute se réduit notablement audessous de 5°,50, lorsqu'elle est par exemple aux environs de 3 mètres, les convenances de la construction et les inconvénients des roues d'un diamètre trop petit excluent les roues à augets en dessus; elles excluent même les roues à augets de côté, recevant l'eau audessus 'du centre de la roue. On doit prendre l'eau en dessous du centre, c'est-à-dire que le rayon de la roue est supérieur à la hauteur de la chute.
On modifie en même temps le système de la roue. Elle devient ce qu'on appelle une roue de côté à aubes ou à palettes, qui diffère de la roue de côté à augets, par la situation du point d'arrivée de l'eau sur la roue (au-dessous du centre dans le premier cas, au-dessus dans le second).
Elle en diffère aussi par le mode de construction. Les couronnes sont remplacées par deux ou plusieurs jantes réunies à l'arbre de la roue par autant d'embrassures, et à la circonférence desquelles sont implantés des coyaux qui reçoivent les palettes on aubes, mobiles dans un coursier qui les embrasse exactement. Une fonçure formée d'une série de contre-aubes fixées sur les jantes, empêche l'eau de pénétrer dans l'intérieur delà roue, et la maintient contre le coursier.
L'eau est donnée par une vanne convenablement inclinée pour que l'eau arrive ù peu près tangentiellement à la roue ; elle s'échappe du bas de la roue dans un canal dont lo fond et les deux côtés prolongentla partie circulaire et les deux bajoyers du coursier (fig.ll). Quelquefois, surtout lorsqu'on a de très-grandes épaisseurs de lames d'eau à débiter, la fonçure et la contre-aube n'existent pas, et les aubes sont suffisamment prolongées vers le centre, pour que l'eau ne puisse dans aucune position se déverser par-dessus le bord supérieur d'une palette. C'est la disposition des roues qu'établit M. Sagebien.
Ces dernières roues sont très- satisfaisantes comme rendement,
et fort bien appropriées pour, utiliser de grands volumes d'eau.
Mais elles demandent une assez grande constance dans ce volume; car, à la différence des autres roues de côté, la roue Sagebien, qu'on nomme aussi roue vanne^ ne peut à la même vitesse, recevoir des volumes différents, parce qu'elle agit en quelque sorte comm^ un compteur, débitant une quantité d'eau qui est absolument déterminée par la hauteur de Teau dans le bief, et par le nombre des palettes passant devant la vanne.
De là une certaine difficulté pour la mise en train, parce que la roue ne se remplit que lentement et seulement à cause du jeu existant entre les aubes et le coursier. De là aussi une certaine cause d'irrégularité dans la marche, parce que si les résistances venant à augmenter, la roue se ralentit, elle perd par cela même de sa force en débitant moins d'eau, au moment où il serait au contraire opportun que la force augmentât-
Ainsi ces roues conviennent surtout à des cours d'eaux réguliers, et pour actionner des opérateurs n'offrant pas trop d'irrégularité dans leur travail.
La figure 72 représente une roue du système Sagebien. On remarquera que les aubes de cette roue sont inclinées sur le rayon, pour faciliter leur entrée dans Teau et le remplissage des intervalles entre les palettes. Cela augmente, il est vrai, leur résistance à la sortie de l'eau dans le bief inférieur, mais l'inconvénient est moindre que l'avantage. En outre, pour éviter les broutements qui pourraient accidentellement se produire, si les palettes venaient rencontrer, sous un angle aigu, quelque résistance le long du coursier, les palettes reprennent à leur extrémité, sur 12 à 15 centimètres, la direction du rayon.
(188) Les roues de côté à aubes ne comportent pas rétablissement d'une théorie nouvelle. Ce sont exactement des roues dans lesquelles leau agit par son choc en entrant, et par son poids une fois qu'elle est entrée. L'équation du n"* 477 leur est immédiatement applicable, et conduit aux mômes conclusions, c'est-à-dire que ce sont des roues qui doivent marcher lentement et prendre l'eau aussi haut que possible, et qui, dans les meilleures conditions, perdront
au minimum la moitié de la hauteur dont on a laissé descendre l'eau au point où elle est reçue sur la roue.
Il est d'ailleurs entendu que la quantité d'eau qu'elles peuvent débiter est en rapport avec l'espace libre qui existe entre deux aubes consécutives et avec le nombre de ces aubes qui passent par unité de temps devant la lame d'eau.
Le débit augmentera donc avec la largeur de la roue, avec la profondeur de l'aubage suivant le rayon, et avec la vitesse de la roue.
Ce dernier élément pourra augmenter à mesure que l'eau ellemême arrivera plus vite, c'est-à-dire après être descendue de plus haut; il sera au maximum quand l'eau arrivera au bas de la roue, c'est-à-dire quand la hauteur h sera égale à la hauteur H delà chute.
L'eau n'agira plus, alors que par son chocetnon plus par son poids.
On aura non plus une roue de côté, mais une roue en dessous j et au premier aperçu le propre d'une telle roue sera de n'avoir qu'un rendement théorique de 50 p. 400, puisqu'en principe la moitié de la hauteur fc, qui se confond ici avec la hauteur II, est perdue pour l'effet utile.
On passe ainsi de la roue de côte à aubes à la roue en dessous^ à mesure que la quantité d'eau à dépenser sur une largeur donnée de roue conduit à faire marcher la roue plus vite, et par conséquent à remplacer la vanne en déversoir par une vanne de fond ayant une charge de plus en plus forte.
Les roues en-dessous seront donc caractérisées, relativement aux roues de côté lentes, par le débit d'une plus grande quantité d'eau et parla faiblesse du rendement.
(189) Ce rendement, dans un premier aperçu, est, comme on vient de le dire, de 50 p. 100. Mais ce résultat comporte une observation, qui d'ailleurs peut être généralisée et s'appliquer à toutes les roues d'où l'eau s'échappe avec une vitesse absolue sensible.
Le propre de toutes les roues que nous venons de considérer, c'est que l'eau n'y prend pas de mouvement relatif, qu'elle passe par conséquent dans le bief inférieur sans avoir d'autre vitesse absolue que celle même de la roue.
Si ces roues marchent lentement, comme le veut la théorie, on peut négliger cette vitesse.
Mais il n'en est plus de même si les roues vont vite, et spécialement si elles vont très-vite, comme les roues de côté.
On peut, dans ce cas, laisser échapper Teau en contre-bas de la chute, profiter de la vitesse conservée 5 la sortie pour la faire remonter jusqu'au niveau du bief inférieur, et obtenir ainsi l'équivalent d'une augmentation de chute. 11 faut pour cela que la lame d'eau, à sa sortie de la roue, rencontre un canal convenablement disposé dans laquelle sa vitesse se ralentisse progressivement, en môme temps que son niveau s'élèvera jusqu'à la hauteur de Teau dans le bief. A partir du bas de la roue on donne donc une petite inclinaison au canal en même temps qu'on l'élargit graduellement pour ménager la transition entre le mouvement rapide de la lame d'eau à sa sortie de la roue et le mouvement lent de l'eau dans le bief inférieur.
Désignons {fig. 73) par H la chute réellement disponible, ou la différence de niveau entre les deux biefs, par H4>H la charge sur la lame d'eau que débite la vanne.
Par h l'épaisseur de cette lame avant son arrivée sur la roue,
Par h' son épaisseur après son arrivée sur la roue, lorsqu'elle a perdu son excès de vitesse.
Par h" la différence de niveau de l'eau dans la roue et dans le bief inférieur.
On a sur la figure H^ -h fc = H -h fc^-h h'.
En outre, puisque la vanne fonctionne comme un orifice noyé,
onaV*=2sfH,.
Et puisque m=-^, on a Ji'=2fc.
La relation u = ^ donne
D'ailleurs on a aussi, ou du moins on peut avoir, si le bief est con-
venablement établi, u*=2gh!'y d'où h" = - H..
Remplaçant h' et h parleur valeur, il vient
H<-h* = H-f 1h, -h2* |H.=H + A....H,=^j(H-hA).
La roue fonctionne sous la chute
Son rendement théorique rapportée cette chute est de 50 p. 100.
n correspond à ^ H -f- ^ fc.
Ainsi, par la disposition ci-dessus, on utilise théoriquement, non
pas la moitié, mais un peu plus des ? de la chute d'eau.
Cette théorie suppose deux conditions remplies : d'abord que la lame d'eau agit complètement sur la roue, c'est-à-dire que toutes ses molécules passent de la vitesse Y à la vitesses; il faut et il suffit pour cela que le coursier soit assez développé en longueur pour embrasser trois aubes successives, et qu'il soit entaillé circulairement pour les emboîter exactement.
Elle suppose, en outre, une très- bonne disposition du prolongement du coursier en aval de la roue, et un niveau convenable de l'eau dans le bief. Un niveau inférieur à celui que suppose la théorie n'aurait pas d'inconvénient à un moment donné ; mais un niveau trop élevé pourrait faire refluer l'eau du bief sur la roue et devant l'ouverture de la vanne. Le théorème ci-dessus ne s'appliquerait plus; l'eau sortirait avec la vitesse V = v^23H, une partie de cette vitesse s'amortirait contre la masse d'eau du bief, et la roue fonctionnerait dans de très-mauvaises conditions.
(f 90) En résumé, les roues de côté, à aiibes^ où l'eau agit par son choc et par son poids, et les roues en dessous^ qui en dérivent, et où l'eau agit exclusivement par son choc, peuvent avoir un rendement théorique compris entre 100 pour 100 pour les premières,
lorsqu'elles sont extrêmement lentes, et OZpour 100 pour les secondes, lorsqu'elles sont établies dans les meilleures conditions qu'elles comportent.
Le rendement pratique est nécessairement inférieur au rendement théorique : la composante suivant le rayon de la vitesse de Teau à son entrée sur la roue est perdue (n° 178); il n'y a pas, il est vrai, de versement prématuré comme dans les roues à augets ; mais par contre, il y a le frottement sur le coursier et les fuites inévitables entre le coursier et les palettes, fuites d'autant plus imporlantes relativement que la roue va plus lentement, et que la quantité d'eau contenue entre deux aubes est plus petite. En outre, ces roues généralement établies sur des chutes basses et à grand volume, comme on les rencontre dans les pays de plaines, sont soumises aux conditions de régime de ces chutes, c'est-à-dire à de grandes eaux prolongées, pendant lesquelles, si on les a établies au niveau qui convient aux basses eaux, elles marchent plus ou moins noyées, leurs palettes éprouvant de la part de l'eau du bief inférieur une résistance d'autant plus grande qu'elles ont un plus petit rayon et plus de vitesse. Quelquefois on cherche à diminuer cette résistance en inclinant les aubes de manière qu'elles soient à peu près verticales à leur sortie, disposition en sens inverse dç celle signalée au n° 187, pour la roue de M. Sagebien.
Suivant les circonstances, on peut admettre que leur effet pratique est compris entre les } et les 85 centimètres de l'effet théorique.
A la condition de tourner très-lentement, d'avoir un coursier construit avec précision, et d'être bien placée par rapport au niveau du bief inférieur, c'est-à-dire de manière que la quantité désignée par k' dans le numéro précédent, soit nulle ou très-petite, une roue de côté pourra donner jusqu'à 80 et même 85 pour 100 du travail théorique de la chute, c'est-à dire autant que les meilleures roues à augel.
Une roue en dessous bien établie pourra donner les , ou les J de son effet utile théorique soit environ 44 à 50 pour 100 du travail tliéorique de la chute. On rencontre parfois ces roues mal établies qui ne donnent pas plus de 55 pour 100.
(IM) Les données pratiques suivantes pourront servir à établir un projet de roue de cette espèce •
Longueur des aubes suivant le rayon : 0",35 à 0'",50 pour les roues avec contre-aubes, 1 mètre et même 1",80 pour les aubes du système Sagebien ;
Épaisseur de la lame d'eau : 0"',20 à 0"*,50, et morne 0'",55 dans le premier cas, 0",70à O'",80 et plus dans le second cas (en réalité la condition à remplir pour ces dernières roues, c'est qu'au moment où une aube cesse d'être en relation avec le bief d'amont, sa partie supérieure soit encore au-dessus du niveau de l'eau dans ce bieQ ;
Distance entre les aubes à la circonférence extérieure de la roue : O^oOàO^SS;
Vitesse de la roue (pour les roues lentes) : 1 mètre au plus, et parfois seulement 0"*,50 à 0'",C0, quand il ne résulte pas de cette faible vitesse une largeur et un poids excessifs pour la roue, ou que l'on n'a pas besoin de compter sur la force vive de la roue pour régulariser le mouvement;
Rayon de la roue, supérieur à la hauteur de la chute, d'une quantité telle, que le centre de la roue soit au moins à 50 centimètres ou i melre au-dessus de l'eau du bief supérieur (en général plus le rayon sera grand, plus les aubes seront dans une position rapprochée de la verticale, soit à leur entrée, soit a leur sortie, condition que l'on doit rechercher);
Débit par niètre courant de largeur : 200 à 500 litres pour les roues lentes ordinaires, 680, 800, 1000 litres et au delà pour les roues lentes à longues aubes, ou pour les mues très-rapides ;
Hauteur de chute comprise entre l'",50 au moins, et 3"*,50 à 4 mètres au plus ;
Intervalle entre les embrassures dans les roues larges : 1"\50 1",50 au maximum, pour les roues en bois de construction ordinaire, jusqu'à 5 mètres pour les roues métalliques.
(lOiB) M. Poncelet a cherché à réunir dans un système de roue qui porte son nom, l'avantage des roues en dessous, c'est-àdire la possibilité de dépenser beaucoup d'eau sur une largeur donnée, ou, ce qui est la môme chose, d'être étroites et légères pour
172 COURS DE MACHEES.
un volume d'eau donné, à Tavantage du rendement qui caractérise les roues lentes.
La roue à la Poncelet, ou roue o aubes courbes, se compose de deux couronnes sans fonçure, entre lesquelles sont fixées des aubes courbes, qui se succèdent devant la vanne établie, comme pour les roues en dessous, à la partie inférieure de la chute (fig. 74).
Considérons une petite masse d'eau reçue sur une de ces aubes. Elle a la vitesse V due à la charge sur l'ouverture de la vanne. Cette vitesse se décompose en deux, dont Tune égale à la vitesse de la roue ; l'autre est la vitesse relative avec laquelle l'eau se présente sur la palette. C'est en même temps la vitesse initiale avec laquelle elle glisse sur celte palette, si elle lui est tangente, et si par conséquent tout choc est évité à l'entrée. En vertu de cette vitesse relative initiale, l'eau monte sur l'aube courbe. Il y a pression de l'eau sur l'aube, en même temps espace parcouru dans le sens de cette pression, et par conséquent travail moteur transmis à la roue.
En vertu de cette vitesse initiale, l'eau monte sur la palette, considérée, pour plus de simplicité, comme n'ayant qu'un mouvement rectiligne et uniforme de translation, à une hauteurcorrespondanle. Cette hauteur ne peut qu'être réduite dans une certaine mesure, par suile du mouvement de rotation dont la force centrifuge agit comme force retardatrice pendant que l'eau monte sur la palette; mais elle agit ensuite comme force motrice lorsque.l'eau redescend: ces deux effets se compensent comme ceux de la gravité, et Teau redescendue sur le premier élément de l'aube, y aura la même vitesse qu'en y entrant, mais en sens contraire.
Si cette vitesse est égale et directement opposée à la vitesse de la roue en ce point, la vitesse absolue de l'eau, résultant de sa vitesse relative et de la vitesse de la roue, sera nulle.
Si le point de sortie est au niveau du bief inférieur, on voit qu'on aura pris l'eau dans le bief supérieur; qu'il n'y aura pas eu de perte de force vive, et qu'on rendra l'eau sans vitesse dans le bief inférieur; on sera donc dans les conditions indiquées au n** 175, pour utiliser complètement le travail théorique de la chute.
On remarquera que la condition d'avoir à la sortie une vitesse directement opposée à la vitesse de la roue, exige que le dernier élé-
ment de la palette soit tangent à la roue. Celte dernière condition entraîne celle d'une vitesse absolue initiale V, tangente également à la roue, pour qu'il n y ait point de choc.
Dès lors la vitesse relative initiale est V — u, et la vitesse absolue finale u — V — tt = 2u — V.La condition que cette vitesse soit nulle,
donne tt= ^ , par suite V — tt= ^, et la hauteur h à laquelle Teau
s'élèvera est
II étant la charge qui produit l'écoulement.
Les conditions théoriques à remplir seraient donc, en résumé, de faire les aubes courbes tangentes à la circonférence de la roue, de donner à la roue une vitesse égale à la moitié de celle de Teau à son arrivée sur la roue, et de donner à la couronne une largeur au moins égale au quart de la charge qui produit la vitesse de Teau. Ces conditions théoriques remplies, la roue supposée d'ailleurs placée au niveau convenable pour rendre Teau au bas de la chute, utiliserait tout le travail théorique de cette chute.
(193) On remarquera que ces conditions théoriques ne peuvent pas être exactement satisfaites, lorsqu'au lieu d'une petite masse d'eau considérée isolément, on admet sur la roue une nappe d'eau d'une certaine épaisseur finie. Il faut que l'aube, pour que Teau y entre tangentiellement, fasse un certain angle avec la circonférence de la roue, dès lor3 à la sortie de l'eau, sa vitesse relative et la vitesse de la roue ne peuvent être directement opposées, et leur résultante ne peut être nulle. Elle restera seulement très-petite, si ces deux vitesses, qui sont à peu près de sens contraires, sont sensiblement égales.
Sur une paletle, c'est non pas une molécule isolée, mais le centre de gravité de la masse reçue, qui tend à s'élever à la hauteur
On donnera donc à la palette une hauteur suivant le rayon qui sera supérieure au quart de la chute, afin qu'aucune molécule ne la dépasse.
Pratiquement, on termine la palette sous un angle de 25 à 50 degrés, au lieu de la faire tangente à la circonférence, et on donne à la couronne le tiers et non le quart de la hauteur H.
On faittt=0,50àO,55V.
La lame d'eau varie de 0,20 à 0,30 et 0,35.
Le rendement de ces roues est habituellement de 55 à 65 p. 100; il peut descendre au-dessous, rarement monter au-dessus.
Ce résultat, médiocre relativement à ce qu'on a dit pour les autres récepteurs, tient à ce que l'action de l'eau n'a pas sur cette roue la régularité que suppose la théorie. L'eau afflue sur une palette pendant un certain temps, le mouvement des filets entrants est influencé parles filets déjà entrés; ceux qui redescendent tendent à arrêter ceux qui montent encore, et il se produit ainsi des mouvements irréguliers nuisibles à l'effet utile.
Ces roues s'appliquent à dés chutes à grand volume, mais n'ayant pas plus de 1 à 2 mètres de hauteur. La condition que l'eau exécute son mouvement ascendant et descendant dans un temps suffisamment court, limite cette hauteur et conduit à donner aux aubes une courbure assez prononcée.
(194) Lorsqu'on s'est donné l'angle du dernier élément des aubes, que l'on connaît la vitesse V et qu'on s'est donné la vitesse u à peu près égale à la moitié de la vitesse V, un tracé graphique détermine la direction de la vitesse V à l'entrée. Cette direction doit être telle, que décomposant cette vitesse en deux dont l'une soit u, l'autre soit dirigée suivant la palette.
Prenant donc (/îj. 75) AB=:a ; par le point B menant une parallèle à la direction de la palette et du point A comme centre avec un rayon AC = V décrivant un arc de cercle, le point C, où elle coupera la parallèle, déterminera la direction AC de la vitesse V.
U importe ensuite que tous les filets de la lame d'eau assez épaisse que reçoit la roue rencontrent la circonférence de la roue sous le même angle CAB.
On y parvient par une construction appropriée du coursier en amont de la roue. Soit A (fig. 76) le point de ce coursier à partir duquel il embrasse exactement la roue, soit en ce point km la di-
recUon de la vitesse V, déterminée par le tracé graphique ci-dessus.
On mènera la perpendiculaire An, et du point 0 centre de la roue on tracera un cercle tangent à An.
Le profil du coursier suivant AB sera la développante de ce cercle. Le coursier s'étendra jusqu'à un point B tel, que, menant la normale à la développante, ou la tangente au cercle développé, on ait la ligne Bfr égale à l'épaisseur qu'on veut donner à la lame d'eau.
En amont du point B le profil se raccordera avec la ligne légèrement inclinée qui amène Teau depuis Torifice de la vanne. En aval du point A on aura une courte portion de coursier circulaire embrassant un peu plus que l'intervalle de deux aubes, et ensuite un ressaut brusque, pour faciliter l'écoulement de l'eau dans le bief inférieur dont le niveau normal affleurera le bas de la roue.
(195) Cette dernière observation montre que la disposition du coursier en aval de la roue et sa position par rapport au niveau d'aval ne doivent pas être les mêmes pour toutes les roues.
On peut dire, d'une manière générale, que, pour toutes les roues à coursier dans lesquelles l'eau s'échappe avec la vitesse môme de la roue, le coursier doit se prolonger de manière que l'eau en s'échappant de la roue conserve le niveau et la vitesse qu'elle y avait.
Si donc il s'agit d'une roue très-lente, le niveau du bief inférieur doit être le niveau de l'eau entre les palettes au moment où elles vont abandonner la roue.
S'il s'agit d'une roue rapide, la roue peut être un peu plus descendue, de manière que le niveau de l'eau dans la roue soit en contrebas du niveau du bief d'une quantité d'autant plus grande qu'il s'agira d'une roue plus rapide (voy. n** 189).
EnGn, s'il s'agit de la roue à la Poncelet où l'eau sort, ou du moins doit sortir à la circonférence extérieure de la roue sans avoir aucune vitesse, le niveau de l'eau devra être moins élevé que dans les autres cas et tangent à la circonférence de la roue.
(196) Il est utile à la bonne marche de ces roues que les conditions ci-dessus soient satisfaites.
Si le ^veau de Teau du bief est trop bas, il y a de la chute perdue.
Si le niveau est trop élevé, les roues sont trop immergées. Elles sont ce qu'on appelle noyées. Leur effet utile diminue, celui des roues à la Poncelet particulièrement, par suite de la résistance que les roues éprouvent à se mouvoir.
Certaines chules sont sujettes à présenter des variations trèsétendues et très-prolongées du niveau d'aval. Si, par exemple, on utilise la dernière chute d'un cours d'eau secondaire venant se jeter dans un cours d'eau principal sujet à des crues considérables, cette chute pourra, sans même que son volume change, subir des variations de plusieurs mètres, par suite des variations de niveau du cours d*eau principal.
On peut, lorsqu'on le juge nécessaire, parer aux inconvénients de ces changements de niveau.
Supposons qu'il s'agisse d'une roue de côté, par exemple, et considérons cette roue, ainsi que la portion circulaire de coursier qui l'embrasse. Ces deux pièces, au lieu d'être, fixes sont mobiles autour d'un certain point fixe pris vers le haut de ce coursier. En les faisant tourner dans un sens convenable on les dénoyera de la quantité voulue.
Pour que cette rotation puisse s'effectuer sans avoir à toucher aux transmissions de mouvement, il faut et il sufjit que Taxe autour duquel elle s'effectue soit en même temps l'axe de l'arbre portant le premier pignon commandé par l'engrenage calé sur l'arbre de la roue.
La figure 77 représente la combinaison qui vient d'être indiquée.
0 est le centre de la roue.
0' le centre du pignon, et en même temps le point autour duquel tournent la roue et le coursier O'A, lorsque le triangle rigide OO'A est soulevé parla tige OB.
Un autre moyen d'avoir un niveau constant au bas de la roue serait Vhydro-pneumatisation^ dont il sera question plus loin en parlant des turbines.
' (*91^) Si les grandes variations de hauteur de chute peuvent demander parfois, comme on vient de le voir, des dispositions spéciales, il eu est de même des très-grandes variations de voljume.
En général la roue s'établit, sinon pour les volumes d'eau exceptionnellement abondants que présente la chute, au moins pour les volumes assez grands, pour ce qu'on appelle les bonnes eaux.
Sa capacité, sa vitesse, l'épaisseur de la lame d'eau sont réglées en conséquence.
Si le volume d'eau vient à être excessivement réduit, la roue de^ vient trop grande, et l'épaisseur de la lame d'eau doit être fort diminuée.
11 en résulte des inconvénients évidents. Si, par exemple, il s'agit d'une roue emboîtée dans un coursier, le frottement sur ce coursier et le jeu inévitable entre la roue et le coursier prennent une influence prépondérante. On trouverait évidemment avantage à réduire à moitié ou au tiers la largeur de la roue et à doubler ou tripler l'épaisseur de la lame d'eau.
C'est ce qu'on peut faire en séparant la roue par des cloisons intermédiaires, ou couronnes, qui la divisent en un certain nombre de parties formant comme autant de roues distinctes.
Au droit de ces cloisons le vannage présente des poteaux fixes contre lesquels glissent autant de vannes partielles qu'il existe de compartiments.
Si l'on suppose qu'il existe trois cloisons, ou quatre compartiments, et que ceux-ci soient égaux, on pourra, suivant qu'on lèvera mie ou plusieurs de ces vannes, dépenser, avec une même épaisseur de lame d'eau, un volume d'eau variant de 1 à 4.
Lorsque les vannes ne sont ainsi levées qu'en partie et que la roue est encore plus ou moins noyée, les compartiments qui ne reçoivent pas d'eau motrice et qui sont en contact avec l'eau du bief sont une cause notable de résistance.
On a indiqué et même appliqué, pour éviter cet inconvénient, l'idée de faire, non pas une roue unique divisée en compartiments^ mais deux roues entièrement distinctes sur le même arbre, et munies chacune de son coursier.
Quand on ne donne l'eau que sur une roue, le coursier de l'autre est isolé du bief inférieur en baissant une vanne et tenu à sec par le jeu d'une petite pompe.
I la
(198) Ce qui précède (n*** 177 et suivants) renferme la description théorique des roues à axe horizontal habituellement employées, et les données pratiques nécessaires pour projeter l'application d'une telle roue à une chute donnée.
Il reste à considérer, pour compléter les roues à axe horizontal, celles qui sont plongées dans un courant indéfini, ou qu'on appelle roues pendantes ou roues pendantes sur bateau, à cause d'une disposition assez usitée qui consiste à les installer soit en porte-à-faux sur un bateau, soit entre deux bateaux solidement amarrés l'un à l'autre.
Ces roues ne diffèrent que par le mode de construction des roues à palettes en dessous. Comme celles-ci, elles utilisent le choc de Teau; mais la vitesse de l'eau, au lieu d'être due à une chute déterminée en un point donné, est celle que possède un cours d'eau en vertu de la pente de son lit.
Dans l'un comme dans l'autre cas, c'est toujours la gravité qui mtervient pour produire la vitesse.
Une telle roue (fig. 78) est composée d'un certain nombre de palettes planes fixées à deux systèmes de bras, qui viennent se succéder au même lieu de l'espace, et y recevoir l'action du courant indéfini dans lequel elles sont immergées.
Soit A la section d'une de ces palettes en mètres carrés.
V la vitesse de l'eau en mètres par i'\
u celle de la roue.
K un coefficient à déterminer.
Si nous supposons les palettes assez rapprochées et se succédant assez rapidement pour que toute la masse deau qui passe à travei-s la roue agisse soit sur l'une, soit sur l'autre de ces palettes, cette masse d'eau peut être regardée comme proportionnelle à A et à V ou au produit AV ; son impression sur les palettes comme proportionnelle à l'excès de vitesse V — u, et le travail correspondant au pro* duit(V — M)ti.
Par suite le travail transmis à la roue hydraulique sera delà forme
T«, = KAV(Y-.ti)ii.
Ce travail, nul pour u = 0 etu=V (ce qui est évident), est à son
V KAV
maximum pour w =3, et il est alors égal à— j-. En général si
tt=:nV, il est de la forme K (1 — n)nAV', et nul pourn = 0 et pour n=l, et maximum pour n^\.
On voit que le travail dépend du cube de la vitesse de Teau. On ne place doue ces roues que sur des cours d'eau ayant des vitesses notables (au moins 1",50 et au delà).
On donne habituellement à ces roues de 4 à 5 mètres de diamètre, et une hauteur de palettes variant du huitième au dixième de ce diamètre, soit 0",40 à 0°*,60. L'arête supérieure de la palette, dans sa position verticale, doit être immergée environ du tiers de sa hauteur.
D'après les expériences de Poncelet le coefficient K est compris entre 80 et 85.
L'expérience a montré que le maximum de travail transmis avait lieu pour u= 0.45V, alors que la théorie indique m = 0.50V.
On augmente le travail transmis, pour une section droite A des palettes soit en les munissant de rebords, soit en remplaçant les palettes planes par des palettes courbes ayant leur concavité du côté du courant. On peut ainsi augmenter la force de la roue pour une largeur donnée, ce qui peut ne pas être sans intérêt.
Il n'y a pas lieu d'indiquer le rendement de ces roues, le travail disponible étant indéfini comme le courant lui-même.
(189) M. CoUadon, de Genève, a modifié le système de ces roues, en établissant des roues flottantes qui suivent d'elles-mêmes les fluctuations du niveau, comme le font du reste les roues pendantes sur bateaux, si ces bateaux sont toujours lestés d'un même poids.
Les roues de M. CoUadon (fig. 79) sont formées d'un tambour en tôle mince, étanche, et garni extérieurement d'un certain nombre de palettes également en tôle.
Les deux tourillons du tambour sont montés à l'extrémité de deux longs bras en tôle, articulés à l'autre bout à un bûtis construit sur le cours d'eau.
L'axe commun de ces deux articulations est en même temps Taxe d'un pignon engrenant directement, ou au moyen de roues inter-
180 COURS DE UâCUIKES.
médiaires ayant leurs axes sur les bras, avec une roue dentée fixée sur Taxe du tambour. Cette disposition, analogue à celle décrite n* 196, a la même propriété géométrique, c'est-à-dire qu'elle permet au récepteur de suivre les variations du niveau de l'eau, tout en transmettant le mouvement aux mécanismes fixes placés à terre.
L'avantage des roues flottantes est de pouvoir recevoir une beaucoup plus grande largeur que les roues pendantes. Les axes des roues flottantes peuvent être établis parallèlement au fil de Teau, en remplaçant alors les palettes planes par une surface hélicoïdale continue, qui est à la palette plane, ce qu'est l'hélice substituée aux roues à aubes pour les bateaux à vapeur.
(»00) Cette dernière observation conduit à présenter ici quelques considérations sur le rôle que jouent les propulseurs employés dans la navigation à vapeur.
Les palettes des roues placées sur le flanc des navires, ou les hélices placées à l'arrière, sont établies comme les roues dont il vient d'être parlé.
Mais au lieu de recevoir leur mouvement de l'eau dans laquelle le bateau est flottant, elles sont mises en mouvement par un moteur à vapeur placé à bord du navire. Elles exercent sur l'eau une certaine action et en reçoivent une réaction égale qui surmonte la résistance que le bateau doit vaincre pendant son mouvement.
Considérons le système se mouvant uniformément.
Désignons par  la somme des sections de deux palettes des deux roues à aubes.
A' la section du maître-couple du bateau.
K et K' deux coefficients numériques, le coefficient K ayant la valeur précédemment indiquée au n*' 198.
V la vitesse du cours d'eau que le bateau, pour fixer les idées, est supposé remonter.
U la vitesse du bateau.
{/ la vitesse des palettes dans leur mouvement de rotation sur le bateau.
La résistance du bateau est de la forme
R=:K'A'(VH-U)".
ROUES HYDRAUUQUËS A AXE HORIZONTAL. iSl
L'action sur les palettes, en appliquant la théorie du n* 198, a our expression
R' = KA(V-hl)[tt-(V + U)],
et puisque le bateau se meut uniformément, toutes les forces extérieures appliquées au système se font équilibre. Donc
R==:*R' K'A'(VH-U)« = KA(VH-U)[tt-(V + U)]
K'A'(V-t-U) = KA [tt-(V + U)].
Le travail moteur que la machine placée h bord du bateau doit effectuer a pour expression
T, = Rm = K'A' (V + U)H« = R'tt = KA ( V H- 0) [tt - (V -f u)] u.
Le travail que ferait une machine fixe placée à terre pour remorquer le bateau, ou pour surmonter le travail résistant auquel donne lieu le bateau se mouvant avec une vitesse U, a pour expression
Tr = R'V = KA (V + U) [u - (V -r U)] U;
Le travail perdu par ce qu'on appelle le recul, c'est-à-dire par l'excès de vitesse qu'il faut donner aux paletfes pour qu'elles puissent prendre un point d'appui sur Teau, ou, en d'autres termes, le travail perdu par le défaut de fixité du point d'appui des palettes a pour expression
T„ — Tr = Rtt — R'U = R (ti — U) = R'(t< — r
C'est une perte analogue à celle qui se produit dans les locomotives, lorsque leurs roues patinent, en même temps que le train avance avec une vitesse qui n'est plus égale, mais qui est inférieure à la vitesse des roues motrices à leur circonférence.
De l'expression T«=RM=K'A'(V-f-U)*î(, on déduit que le travail de la machine à bord du bateau est le produit de deux facteurs, qui sont la résistance du bateau, ne dépendant que de sa vitesse relative dans l'eau, et la vitesse u des palettes ne dépendant que de la vitesse de marche de la machine; d'où l'on déduit que la machine
fonctionnant dans des conditions données de force et de vitesse, imprimera toujours au bateau la même vitesse relative, c'est-à-dire que si le bateau prend en eau morte une vitesse donnée, il prendra dans une eau courante la même vitesse augmentée ou diminuée de la vitesse du courant, selon qu'il le remontera ou le descendra.
De l'expression T, = R'D=RU=K'A'(V-|-U«)U, on déduit que le travail de la machine fixe qui remorquerait le bateau dépendrait à la fois de sa vitesse relative et de sa vitesse absolue.
L'égalité
K'A'(V + U)=:KA[i«-(V-|-U)] donne
et par suite, le travail T« devient
Sous cette forme, on reconnaît que le travail dépend du cube de la vitesse relative du bateau; que pour un bateau défini par sa section au maître couple A', il diminue à mesure que K' diminue, c'est-àdire à mesure que le bateau a des formes plus lines, et que K'A' étant donné, ainsi que K, il diminue à mesure que A augmente, de sorte que les palettes sont d'autant plus avantageuses qu'elles sont plus grandes. Cela se comprend, puisque plus elles sont grandes, plus faible est l'excès de vitesse m— (V -+- U) à leur donner pour obtenir une résistance R' suffisante.
(2M) Pour un bateau donné, la force de la machine, et par conséquent la dépense en charbon par unité de temps, croît comme le cube de la vitesse. Mais pour un trajet donné à faire avec ce même bateau, la dépense varie en outre comme le temps du trajet, et le temps est en raison inverse de la vitesse; d'où l'on déduit que la dépense en charbon ne croît que comme le carré et non comme le cube de la vitesse, ou bien qu'elle est en raison inverse du carré du
temps employé à la traversée. Ainsi, par exemple, si dans une traversée de dix jours, on veut en gagner un, on dépensera nécessairement plus de charbon dans le rapport de 100 à 81, c'est-à-dire que la dépense en charbon augmentera de plus de 25 pour 100.
Si Ton veut considérer le prix rapporté à l'unité de tonnage, on remarquera que le nombre des tonnes transportées est proportionnel à A'v^', tandis que la dépense en charbon est à peu près proportionnelle à A'. On en déduit que la dépense en charbon par tonne est
a peu près proportionnelle à = = -z=, soit, pour des bateaux
semblables, en raison inverse des dimensions linéaires homologues. Telle serait l'expression de l'avantage des grands navires sur les petits pour un voyage donné. Un navire ayant un tonnage huit fois plus grand qu'un autre, transporterait à moitié prix. Toutefois il y a des considérations d'un autre ordre, qui limitent les tonnages ; c'est qu'un petit navire pourra desservir des ports inaccessibles aux grands navires ; c'est encore qu'il pourra, dans le laps d'une année, faire plus de voyages qu'un grand, parce qu'il mettra moins de temps pour compléter sa cargaison avant le départ, et pour la décharger à l'arrivée. On voit que cet avantage sera d'autant plus important qu'il s'agira de traversées plus courtes, permettant de faire annuellement un plus grand nombre de voyages.
(»0») En définitive, dans la pratique, ce sont les considérations commerciales qui fixent la dimension des navires destinés à un service donné. On voit seulement que les grandes dimensions sont préférables au point de vue des frais de transport de la tonne, et que ces dimensions doivent augmenter, et avec la longueur des traversées, et à mesure que l'importance des marchés donne plus de facilité pour réunir rapidement un plein chargement.
Telles sont les diverses considérations qu'on devra avoir en vue lorsqu'il s'agira d'établir entre deux points donnés un service de bateaux à vapeur, et d'en déterminer au mieux le tonnage et la vitesse de marche.
fU COURS DE MACHINES.
On se rappellera (n* 201 ) que la vitesse est très-^hère à obtenir; mais on sait aussi qu elle est volontiers payée très-cher par les expéditeurs de certaines marchandises, et plus encore par les voyageurs, et qu'elle peut être un élément indispensable de succès pour soutenir la concurrence des autres entreprises de navigation dessenaot les mêmes lignes.
