CHAPITRE X
PNEUMATIQUE - PARTIE THÉORiaUE
§ 1 . — Notions préliminaires sur les gaz.
(318) On désigne en général sous le nom de fluides, ou de corps puUleSy toutes les substances qui se présentent avec ce caractère que leurs molécules n'éprouvent pas, ou n'éprouvent presque pas de résistance, pour se déplacer les unes par rapport aux autres.
La fluidité est parfaite, lorsque la résistance est nulle, et c'est dans l'hypothèse d'une fluidité parfaite que l'on considère habituellement ces corps en mécanique rationnelle.
Les fluides se subdivisent en fluides incompressibles, ou liquides, cai*actèrisés par cette circonstance que les changements de forme d'une masse donnée, dus à la fluidité, ont lieu sans changement appréciable de volume.
C'est dans la double hypothèse d'une fluidité parfaite et d'une incompressibilité absolue qu'ont été traitées les différentes questions des chapitres III et suivants.
L'eau peut être regardée comme le type des corps liquides.
Nous nous occuperons actuellement d'une autre classe de fluides, les fluides élastiques, ou compressibles, qu'on nomme aussi gaz ou fluides aériformeSé
(819) A la fluidité, défmie comme il vient d'être dit, ils joignent Vélasticité^ c'est-à-dire la propriété, lorsqu'ils sont maintenus dans
une capacité fermée, d'exercer sur tous les éléments de la paroi de cette capacité une certaine pression.
La compressihité est la propriété qu'ils possèdent de se prêter à tout changement de volume qu'on veut leur faire subir. Soit qu'on augmente, soit qu'on diminue la capacité qui les renferme, ces corps l'occupent toujours en entier.
On aurait une image sensible de la différence qui caractérise un liquide et un gaz, en se représentant un espace limité par une enveloppe flexible, rempli par un de ces corps.
Lun et Vautre se prêteront à tout changement de forme de cette enveloppe qui se produirait sans changement de volume.
Le corps liquide résistera aux changements de forme qui tendraient à diminuer le. volume ; si le volume augmente, le corps n'en occupera plus qu'une partie, et le reste sera vide.
Le fluide élastique^ ou ga%^ au contraire, se prêtera à tous les changements de forme de l'enveloppe, qu'ils aient pour effet de laisser le volume constant, ou de l'augmenter, ou de le diminuer, et dans tous ces cas, il occupera toujours tout l'espace qui lui sera offert.
(8I^O) Nous supposerons d'abord, conformément aux théories ordinaires, qu'un fluide étant contenu dans un réservoir, les molécules soient en repos relatif, et qu'elles soient sollicitées par des forces répulsives mutuelles qui tendent à les éloigner les unes des autres, et produisent ainsi la pression que le fluide exerce contre les parois de son enveloppe.
Cette pression, qui sert de mesure à la force élastique du fluide, varie avec le volume qu'il occupe.
L'expérience a fait reconnaître que pour un gaz dit permanent, (c'est-à-dire considéré dans des conditions de pression et de température assez éloignées de celles où il se condenserait pour revenir à Tétat liquide ou solide), il y a entre le volume occupé par une certaine masse de ce gaz et sa force élastique une relation très-simple, qui s'énonce en disant que pour une masse de gaz considérée successivement sous des volumes divers, mais à la même température Jes volumes sont en raison inverse des pressions.
Celte propriété constilue la loi de Mariolte, ainsi nommée du nom du physicien qui Ta découverte et énoncée le premier.
Elle est d'autant plus exacte que le gaz considéré est plus éloigné de son point de condensation.
(321) La restriction d'une température constante est nécessaire; carie volume varie aussi avec la température.
Si l'on suppose que la variation de température s'effectue à pression constante, on a la loi de Gay-Lussac^ dont l'énoncé est le suivant :
Le volume d'une masse de gaz quelconque, pour une variation de température d'un degré de thermomètre centigrade, varie des 367 cent-millièmes^ ou de ~j du volume qu'elle occupe sous la môme pression et à la température marquée par le zéro du Ihcimomètre centigrade.
M. Gay-Lussac avait donné le chiffre de 375, au lieu de 367, trouvé ultérieurement par M. Regnault dans des expériences plus étendues et plus précises.
M. Regnault a en outre reconnu que ce chiffre 0,00367, qu'on nomme le coefficient de dilatation des gaz, n'était pas absolument le môme pour tous les gaz.
Mais les variations sont très-petites, et paraissent tenir à ce que les gaz observés sont plus ou moins voisins du point où ils commenceraient â se comporter comme des vapeurs saturées.
Il est permis de considérer les lois de Mariottc et de Gay-Lussac, malgré les petits écarts qu'elles peuvent présenter, comme des lois limites applicables aux gaz parfaits^ c'est-à-dire à des gaz dont les molécules sont parfaitement indépendantes l'une de l'autre, en ce qui concerne les forces intérieures attractives qui entrent en jeu dans le phénomène de la condensation d'une vapeur. I
Ces lois peuvent être appliquées avec une approximation très- |
suffisante en général pour la pratique.
(S2Z) Les lois de Mariottc et de Gay-Lussac peuvent être énoncées sous d'autres formes.
Désignant par V et V deux volumes d'une môme masse do gaz |
aux pressions p et p' et à la même température, la loi de Mariolte, j
telle qu'on Ta énoncée plus haut, donne l'égalité ^ = — , qui peut
s'écrire Vp = V'p'.
Mais si Ton désigne par p etp' les densités, ou les poids de runité de volume, le poids de la masse considérée est indifféremment pV on p'V; on a donc aussi p V= p'V.
D'où Ton déduit
On pout donc dire, ou bien :
Pour une même masse de gaz à température comtante, le produit de a pression par le volume est une quantité constante.
Ou bien :
Pour un gaz d'une nature donnée^ les densités sont proportionnelles aux pressions.
L'un ou l'autre de ces énoncés est l'équivalent de l'énoncé ordinaire de la loi de Mariotte.
(3^3) Pour la loi de Gay-Lussac, en désignant parV^ et V| les volumes à 0" et à 1° d'une niasse donné de gaz, par a le coefficient de dilatation des gaz. Sa traduction analytique est donnée par la relation
OU bien
si Ton remplace a par- , (a étant égal au nombre entier275).
On aura de même pour une autre température t',.. le volume
On en déduit
PNEUVATIQUE. — PARTIE THÉORIQUE. S79
Ce qui peut s'énoncer :
Les volumes d'une masse de gaz sont^ à pression constante^ proportionnels aux températures (étant entendu que ces températures sont comptées, non à partir du zéro ordinaire, mais à partir d'un zéro (iclif qui serait à 273° plus bas, à supposer que Ton pût réaliser une température aussi basse).
Comme pour une masse donnée les volumes sont en raison inverse des densités, puisque le poids, ou le produit du volume par la densité est constant, on peut encore dire :
Pour un gaz d^une nature donnée^ les densités sont en raison inverse des températures (celles-ci étant comptées comme il vient d'être dit).
Les températures, ainsi comptées à partir d'un zéro fictif, à 273* au-dessous du zéro ordinaire déterminé par la fusion de la. glace, se nomment souvent les températures ahsobies.
(81^4) En introduisant la notion de ces températures absolues, on reconnaît que les deux lois de Mariotte et de Gay-Lussac donnent lieu à des énoncés semblables.
On dira donc, si Ton veut les réunir dans un seul énoncé, ou bien:
Potir une masse donnée de gaz, les volumes sont^ à température égale j en raison inverse des pressions, et^ à pression égale, en raison directe des températures absolues;
Ou bien :
Pour un gaz d'une nature donnée, les densités sont, à température égale, en raison directe des pressions, et^ à pression égale, en raison inverse des températures absolues.
(31^5) Les lors de Mariotle et de Gay-Lussac sont d'une application continuelle dans les calculs que l'on a à faire sur les gaz.
Comme on l'a dit plus haut, elles suffisent et au delà, dans les limites où on les emploie.
Cependant on ne doit pas se regarder comme autorisé à en étendre indéfiniment l'emploi en dehors des limites où elles ont été expérimentalement constatées, nia accepter toutes les conséquences mathématiques qu'on peut tirer de leur traduction annlytique.
280 COURS DE MAGHIÎIES.
Ainsi, par exemple, de l'égalité V< = VJ Von déduit Yr=0
si ^ = — a, ce qui veut dire qu'une masse de gaz quelconque ayant uû volume Vo quelconque à 0**, aurait un volume nul, si on la refroidissait sous pression à la température de 275** au-dessous de zéro, et aurait même un volume négatif, si on la refroidissait encore davantage.
Ce résultat paradoxal tient à ce qu'en général un phénomène phjsique, dont la loi est représentée par une certaine formule, n'a point la généralité, l'étendue, la continuité de cette formule.
En fait, dans l'espèce, il est probable que le gaz se condenserait avant d'arriver à cette température de — 273** ; il cesserait d'ôtreun gaz soumis à la loi de Gay-Lussac, et il deviendrait un liquide, c'està-dire un corps caractérisé par une propriété d'imcompressibililé, inverse, en quelque sorte, de la propriété énoncée par la loi de Gay- Lussac.
Le phénomène de la réduction de volume par le refroidissement serait donc essentiellement discontinu, et la formule
Vf = Vfl ( ] cesserait entièrement d'être applicable en arrivant
h la liquéfaction.
(3ZB) En combinant les lois de Mariotle et de Gay4iussac, on peut établir une relation générale entre le poids d'une masse de gaz et son volume dans des conditions données de pression et de température.
Désignons par p^ la densité de cette masse à 0*, et sous la pression Po (qui sera par exemple la pression atmosphérique), par p la densité à la pression p et à la température t.
Considérons cette masse à la température de 0** et à la pression p, et désignons par p' sa densité dans cet état intermédiaire.
La loi de Mariette donne - = ^ .
Po Po
La loi de Gay-Lussac donne -,= .
^ p' a-ht
En multipliant membre à membre ces deux égalités, on fait dis-
parailre l'inconnue auxiliaire p^ et il vient :
Si Ton désigne par V le volume d*un poids Q du gaz dont il s'agit, à la température et à la pression considérée, on a pV= Q...
P=^, et par suite.
Cette formule établit pour un gaz donné, défini par la quantité ^>
la relation qui existe entre le poids et le volume d'une certaine masse de ce gaz, à une pression et à une température données.
(M7) Si dans cette formule on fait V=l mètre cube, on re trouve pour Q le poids de Vunité de volumey ou ce qu'on a appelé la densité, ou le poids spécifique du gaz.
Si Ton fait Q=l kil., le volume correspondant est le volume de rvmté de poidsj qu'on peut appeler le volume spécifique du gaz considéré.
Le poids spécifique et le volume spécifique sont deux valeurs nu-
menqueSjN et ^s, inverses Tune de l'autre, ces quantités étant respectivement données par les formules
^ a -4- t po
(9ZS) Pour appliquer la formule pV= -2i (a -+- ï) Q, à an gaz
donné, il faut connaître p^, etp^, c'est-à-dire quelle est à 0"* la densité qui correspond à une pression donnée. Si l'on prend de Tair atmosphérique, on connaît sa densité sous la
pression atmosphérique normale, correspondant à la hauteur barométrique de 76 centimètres.
Les expériences les plus précises donnent pour la valeur de cette pression, exprimée en kilogrammes par mètre carré, Po=10332'',96, et pour la valeur correspondante dep^,, p<^=l'', 29318. On a donc
pour — le nombre . ç^qJ.^ = 7991 . Ce nombre représente des
mètres. C'est la hauteur en mètres d'une colonne de fluide qui, avec la densité constante po, produirait la pression p,, sur le mètre carré; car désignant par H cette hauteur, le poids de la colonne ayant l'unité de surface pour base, sera p^H, et Ton devra avoir poH = Poi
d'où H = P-\
Po
On peut voir directement que le nombre ci-dessus est exprimé en mètres; car, en désignant par M et M' deux poids quelconques,
n' une surface, et n" un volume, la quantité p^ «st de la forme -„
M' et la quantité p^ de la forme -,:.
Par suite ^"est de la forme '^, x — . : vmi est une valeur numé- Po M fr m
rique indépendante de Tunitéde poids adoptée, et -^ est une quantité linéaire.
(329) La quantité 7991 mètres étant divisée par le nombre
a = 273 donne ^ = 29,271. En désignant cette dernière quantité
Po«
Po»
par II, on aura, pour Tair atmosphérique, l'égalité
Dans cette égalité, on devra se rappeler que p représente la pression en kilogrammes par mètre carré à laquelle la masse d'air considérée est actuellement soumise;
V le volume en mètres cubes, et Q le poids en kilogrammes de cette masse d'air;
PNEUMATIQUE. - PART» THïORIQUE. 285
/ la température au-dessus du zéro ordinaire exprimée en degrés du thermomètre centigrade.
R le nombre 29,271 ; a le nombre 275 ; a-\-t= 273 + 1 la température absolue.
(330) Pour un gaz quelconque autre que l'air atmosphérique, la formule variera seulement par la valeur de la quantité R. Désignons par 5 la densité tabulaire d'un gaz, telle qu'on la trouve dans tous les ouvrages de physique, ce nombre exprime le rapport du poids spécifique du gaz au poids spécifique de l'air, l'air et le gaz étant supposés à la même pression et à la môme température.
Une densité tabulaire $ indique donc un poids spécifique 5p^, c'est-à-dire que pour passer de l'air atmosphérique à un gaz caractérisé par la densité tabulaire §, il suffit de remplacer R par la quantité
fi. Po ^ ^ Po R ^Pofl 5 Pua **
On a donc définitivement pour un gaz la formule :
(831) Une dernière remarque doit être faite sur cette formule, applicable, soit à un gaz d'une densité tabulaire §, soit à l'air atmosphérique, ou à tout mélange de gaz ayant la môme densité que l'air atmosphérique, si l'on fait S = l . Cette remarque est que la formule ne convient qu'aux gaz permanents , et que particulièrement, s'il s'agit d'air atmosphérique, l'air doit être supposé parfaitement sec.
On ne le rencontre pas habituellement ainsi dans la nature : il renferme toujours une certaine quantité de vapeur d'eau, et généralement une quantité d'autant plus grande qu'il est pris à une température plus élevée.
On a approximativement égard à cette circonstance, qui tend à rendre l'air plus léger, en augmentant un peu le coefficient de dila-
284 COrnS DE MACHINES.
talion du gaz. On pose a= 0.004 au lieu de a = 0.00367, ou bien a=250 au lieu de a=275.
Le nombre R = 29.271 devient 51.964, et Ton trouve alors un volume V plus grand pour un poids Q donné, ou un poids Q plus petit pour un volume V. Le changement du coefficient de dilatation augmente ainsi le volume spécifique, ou diminue le poids spécifique. II agit donc dans le sens convenable pour rapprocher de la réalité le résultat du calcul. C'est donc la formule
pV=:51.964(250-h0Q
qu'il conviendrait d'appliquer, si Ton voulait trouver la relation entre le poids et le volume d'une cerlaine masse d'air prise dans Tatmosphère et plus ou moins saturée de vapeur d'eau.
§ '2. — De l'écoulement des gaz à température constante.
(332) Les notions préliminaires ci-dessus étant établies, ou plutôt rappelées, nous pouvons aborder, pour les gaz, diverses questions du môme genre que celles qui ont été traitées au chapitre III, pour les liquides. Les phénomènes d'écoulement sont dus ici, non pas à des hauteurs de chute, comme pour les liquides, mais à des différences de pn^ssion dans les diverses capacités entre lesquelles on- établit des communications. I La première question à résoudre est donc de déterminer quel est
l le travail à faire pour établir ces différences de pression.
I On y parvient très-simplement de la manière suivante :
I (883) Considérons (fig. 151) une enveloppe de forme quel-
i conque, dans laquelle se trouve un gaz occupant le volume V, et
I soumis actuellement à une pression P.
Supposons que cette enveloppe vienne à se contracter d'une quantité infiniment petite, de manière que le volume V diminue de la quantité dV. Cette réduction de volume dV résultera de ce que
j les diflerenis éléments de la surface de l'enveloppe se seront dé-
placés, chacun d'une quantité infiniment petite. Appelant dw un de
ces éléments, ds son déplacement dans le sens de la normale, le volume engendré par ce déplacement sera tùdsy et Ton aura
Çtùdszzzdy.
D'un autre côté la pression P s'exerçant sur la surface de l'enveloppe, donne, sur l'élément de surface, la pression élémentaire Pdw , dont le travail, pour un déplacement d«, est Vdtùds.
Le travail élémentaire total est donc
f9dt^ds=i9x Cdfùds = PdV.
Le travail fini, correspondant à une contraction finie de l'enveloppe, aura pour expression générale l'intégrale indéfinie / PrfV, qu'on aura à prendre entre des limites données.
(334) Si la pression du gaz était constante, l'intégrale / P(/V
se prendrait immédiatement en posant I PdV=P i rfV= PV.
Mais il n'en est pas ainsi. En général, un changement de volume change à la fois la pression et la température. Une réduction de volume augmente ces deux éléments ; une augmentation de volume les diminue. Nous négligerons d'abord le changement de température sur lequel nous reviendrons plus loin. Cela revient à dire que nous supposons la compression assez faible et assez graduelle pour que la chaleur dégagée soit négligeable, ou pour qu'elle soit, au fur et à mesure, enlevée par Tenserable des corps environnants.
Il s'agit, dans cette hypothèse, de prendre l'intégrale / PdV, les
quantités P et V étant fonction Tune de l'aufre. Dans l'hypothèse posée d'une température constante, la fonction est PV = const. (Voir n**' 520 et 322.)
On a, en différentiant, PdV -h VdP = 0..., PrfV = — V(/P,on peut donc écrire indifféremment :
/prfv=-/v</P=Pv/Ç = -i.v/f
= PV log. hyp. V + C = - PV log. hyp. P + C = PV/V -h C = — PV/P 4- C.
Si l'on désigne par Vj et V,, P^ et P, , les valeurs initiales et finales du volume et de la pression, on a, d'après la loi de Maiiotte,
PV = P,v, = p,v.
et par suite l'intégrale définie deviendra, en remarquant que s'il s'agit d'une compression, dV est négatif, et — dP positif :
T« = P.V,/ Xi := p j,/ Pf = p^v./ ^ = P.V.i ??.
Tel est le travail moteur qu'il faudra exercer sur un gaz, pour le comprimer du volume V^ à un volume moindre V,, ou d'une pression Pj à une pression plus grande P^.
C'est en même temps, en vertu de l'égalité entre l'aclion et la réaction, le travail moteur que produira la dilatation du gaz en revenant du volume V, au volume V^, ou en se détendant depuis la pression P, jusqu'à la pression P^.
Si Ton veut introduire dans la formule le poids du gaz, au lieu de son volume, on remplacera la constante PV par sa valeur générale 11' (a ■+- 1) Q, et l'on aura
p (885) La formule P^ Y^ / t^^ donne le travail que doit développer
une machine soufflante, pour prendre dans l'air un volume Yj à la pression atmosphérique P^, le comprimera la pression P,, et ensuite le refouler dans un réservoir entretenu à cette pression P,.
En effet, considérons le piston d'une telle machine. Pendant qu'il exécute une excursion, il se produit sur une de ses faces un travoil résistant correspondant d'abord à la compression de l'air jusqu'à ce que s'ouvrent les soupapes des communications avec le réservoir, puis au refoulement de l'air comprimé dans le réservoir; en même temps, sur l'autre face et pendant toute la course, il se produit «» travail moteur dû à l'air o^ptr^ qui suit le piston et exerce sa pression dans le sens du mouvement.
Le trarail de la compression es> Pi Yj/ V comme on vient de le
voir.
Le travail du refoulement est P,V, et par suite le travail résistant total qui est la somme des deux quantités précédentes, a pour expression
D'autre part le travail moteur est P^V^. Le travail total est donc
P.V, -f- PtV,/ ?? - P.V,
p qui se réduit à Pj^j/p^, puisque la loi de Mariotte nous donne la
relation PJ,==P,V,.
Ainsi on peut dire que le travail résistant du refonlemetit est compensé par le travail moteur de Vaspiratiotij et qu'il ne reste que le travail résistant de la compression.
C'est bien là en efîet le seul résultat produit sur l'a masse d*air, puisque la température en est restée invariable.
(836) La formule établie ci-dessus est exacte, en tant que les hypothèses faites sur l'invariabilité de la température sont admis-
sibles. Elle n'est donc applicable que si le rapport ^-- y qui sur-
passe l'unité, en diffère peu, parce que c'est dans ce cas seulement qu'il peut être permis de regarder comme négligeable réchauffement résultant de la compression, ou le refroidissement résultant delà dilatation.
Cette remarque permet de simplifier l'équation du travail, en la remplaçant par une formule approchée qui ne contient plus de logarithme, et que, par ie motif, on peut regarder comme plus commodément applicable dans la pratique courante ordinaire.
288 œURS DE NACillNES.
On a d'une part les identités :
-? == 1 -f -2— — 1 = 1 + a:, en posant -ï-r — i = a;
et
1^« + Pi
les quantités x et x' étant comme on vient de le dire, assez petites. D'autre part, on a généralement.
et par suite,
I II \ X* x^
On sait que ces développements peuvent se réduire à leur premier terme, si x est petit.
On pose donc :
et cette valeur est un peu trop grande;
et cette valeur est un peu trop petite. Par suite la formule du travail peut s'écrire appproximativeraent
T„» = P,V,({!^)=V,(P.-.PO (oc)
ou bien
T, = -2PtV, j;^^ = V, (P, - PO .^ ^ ,, . (p)
P. + Pi
La première donne un résultat un peut trop grand, et la seconde un résultat un peu trop faible.
PNEIIMATIQUE. — PARTIE THÉORIQUE. 289
(887) Ces formules peuvent être mises sous une autre forme. La première (a) peut s'écrire, en multipliant et divisant par la densité p^.
Pi P P
Pi Vj est le poids du gaz, -2 est la hauteur génératrice de la
Pi pression P, — P^ pour un fluide de densité p^.
La quantité T„ est donc de la forme Q H, c'est-à-dire que le travail de la compressim revient approximativement à prendre le poids du gaz et à relever à une hauteur capable de produire l'excès de pression P — P .
Un peut remarquer que la densité p^ qui figure à la fois au numérateur et au dénominaleur, est, en définitive, arbitraire ; on peut mettre dans la formule un nombre quelconque sans changer le résultat.
Supposons qu'on fasse p^ = 1,000 kil., c'est-à-dire supposons qu'au lieu de gaz on ait de l'eau, p^Y^ sera le poids en kilo-
grammes ou le volume en litres, et la quantité -^ -^sera la hau-
Pi tour d'eau mesurant la différence des pressions.
Ainsi, on aura le travail que l'on devra dépenser pour introduire un volume d'air atmosphérique pris à la pression ordinaire P^ dans un réservoir où il doit être aune certaine pression P„ en exprimant ce volume en litres^ et en le multipliant par la hauteur manométrique mesurant en eau la différence des deux pressions.
Cet énoncé est d'une application pratique commode.
Connaissant, par exemple, en litres, le volume aspiré par une machine soufflante, et la hauteur du manomètre à eau mesurant la pression dans le réservoir d'air, on aura immédiatement les deux facteurs du produit donnant le travail de la machine.
(338) La deuxième formule du n"* 356 peut s'écrire, en remplaçant le rapport des pressions par le rapport égal des densités :
T„ = V, (1>. - PO y-^ = V, X T-TTT (^« - ^'^)
/ Pa -H pi \ /Pi -*- Pi \
Sous cette forme, on voit, que la formule (6) du n* 336 ne diffère de la formule (a) qu'en ce que, au lieu d'y faire figurer le volume primitif V^, on y fait figurer ce volume ramené ace qu'il serait sous
la densité -^-^^ un peu plus grande que la densité p^.
Ayant donc fait la correction sur le facteur V^, en le remplaçant par une valeur y\ satislaisant à la relation
on peut poser la formule
et raisonner sur cette formule comme on vient de le faire au numéro précédent.
(889) La formule exacte et rationnelle T„=P4Vj/^ peut, comme
les formules approchées, être transformée de manière à metlie en évidence les deux facteurs ordinaires du travail, un poids et une hauteur. Il suffit encore de multiplier et diviser par p^. 11 vient
Tf. = ^x PiVt X / ~* = ^^ X pJt/ j^«
Pi ^i Pl M
Vj p^ est le poids du gaz; -^ la hauteur d'un fluide ayant la don-
site de ce gaz capable de produire la pression P^; I ^ ^^t un nombre,
et par suite la quantité -^ 2 ^est une hauteur fictive à laquelle U faut
Pi ^1 supposer que le poids a été élevé y pour qu'en la multipliafit par ce poids on ait un produit égal au travail.
On pourra dire encore, par analogie avec ce qui a été dit à la fin du n** 337, qu'on pourra exprimer le volume V^ en litres^ le multiplier par la hauteur d'eau mesurant la pression P^ sous laquelle le volume
est considéréyet multiplier ensuite ce produit par le nombre /r,^*
PNEUMATIQUE. — PARTIE TilÊORIQUB. 291
(840) Connaissant, par ce qui \ient d'être dit dans les n*"* 353 et suivants, la quantité de travail qu'il faudra développer peur prendre un certain volume de gaz à une certaine pression P^ et le comprimer Jusqu'à une certaine pression P„ on sait, par cela mêmCy quelle vitesse ce gaz prendra, lorsqu'ayant été ainsi comprimé dans un réservoir, on le mettra en communication par un orifice avec un milieu maintenu à la pression primitive.
Revenu, en sortant de l'orifice, à cette dernière pression, il aura une vitesse telle que la demi- force vive correspondante soit numériquement égale au travail de compression auquel il a été d'abord soumis.
Or, lorsqu'il s'est écoulé du réservoir une quantité de gaz égale à
celle qu'on y a refoulée, la masse sortie est égale à ^^-^. Si Ton désigne par u la vitesse d'écoulement on doit avoir
et par suite
lPiV^„,__ P.
Cette expression est de la forme u* =: 2y II x / ^^ , H étant la hau-
leur génératrice de la charge P^.
On remarquera tout d'abord l'analogie de cette formule avec celle de Torricelli. (Voir n° 57.)
p La quantité II l^ est précisément la hauteur fictive dont il a été
parlé au numéro précédent.
La hauteur qui multipliée par le poids donne le travail, est donc aussi la hauteur génératrice de la vitesse.
Il en doit être ainsi dans tous les cas, et on le vérifierait pour les formules approchées, aussi bien que pour la formule théorique,
p après avoir remplacé dans la valeur de u* la quantité / p^ par sesva-
leurs approchées -^-p — ^ ou i m . p > *
Cette vérification ne présente aucune difficulté.
(841) Une autre vérification plus intéressante peut se faire, en recherchant directement la vitesse u par un raisonnement analogue à celui du n° 56.
Nous considérons en ABB'A' {fig, 152) une très-petite masse dont tous les points matériels sont animés de vitesses sensiblement égales en grandeur et en direction, et fort petites relativement à la vitesse de sortie.
La pression en AB différera très-peu de la pression ;;, qui aurait lieu si Técoulement ne se faisait pas.
Nous supposerons que ces points matériels cheminent ensemble, en continuant de former une petite masse distincte ; nous considérons l'enveloppe des positions que cette petite masse occupe successivement, comme un petit canal que nous isolons par la pensée du reste de l'espace.
Nous désignons par S la section de ce canal à l'entrée et par s la section à la sortie.
La pression est P, au premier point et P^ à la sortie.
La première produit un travail moteur p, Su'dt, et la seconde un travail résistant P^ sudt^ en appelant u' et u les deux vitesses en AB et en ab.
Le travail élémentaire total de la détente, pendant le temps df, s'obtiendra en considérant les deux parties ABB' A' et atft'a', et remarquant que la partie intermédiaire A'B'to est dans le même état avant et après le temps dt.
Le travail total se calculera simplement par le travail de délente de Vêlement unique ABB'A', passé en abb'a'.
La formule générale P^V^ / t^ deviendra, en remarquant que
p \, = sudt,....l?,8udtl-\
11 n'y a pas d'autre travail à considérer, si l'on néglige la gravite et les frottements.
On aura donc en faisant, pourestimer la variation de la force vive, la môme simplification que pour estimer le travail élémentaire total
de la délente
PsSmV/^ - Visudt + V^sudtl ?? = Pj ?^^ («« — tt's)
Négligeant u' devant m, remarquant que d'après la loi de Mariolte, Pj Sm' = p^suj et supprimant le facteur commun sudt = &u'dt il \iendra
d'où
ce qui est précisément la formule précédemment trouvée.
P P (34») L'égalité tt'=2(/ -^ / ^,? montre que la vitesse, et par con-
Pi M sôquent la force vive augmentent indéfiniment, à mesure que P^ di-
minue, la quantité -^ étant constante.
Pi Ainsi pourP4 = 0, c'est-à-dire ipourV écoulement dans levide^ on
trouverait une vitesse infinie.
Ce résultat singulier peut se concevoir, en remarquant que la dilatation progressive poussée sans refroidissement jusqu'à l'infini, supposerait en môme temps une quantité de chaleur infinie empruntée aux corps environnants, et que cette hypothèse n'est pas admissible.
Il est bon de remarquer que si la vitesse déduite de la formule croit ainsi indéfiniment, il n'en est pas de même du poids du fluide que dépense un orifice donné.
Ce poids est en effet proportionnel à p^ u c'est-à-diro à
2i;Pi?,' ^1
Comme d'ailleurs on a
294 COURS DE MACUINCS.
cette quantité peut s'écrire
Sous cette forme, on ne voit pas clairement comment la quantité
varie avec P^.
On voit cependant qu'elle est nulle, soit si P^ = P„ soit si Pj = 0.
Elle a donc un maximum, qu'on obtiendra en égalant à zéro la diffé-
rentielle de la quantité P^* / p-* prise par rapport à P^ considéré
comme variable.
Il vient donc :
2\^l- -F^ Xp- — U... M j,^ -^ 1 i^ — 2'
d'où
Tel est le rapport qui doit exister entre la pression d'un réservoir et la pression du milieu extérieur, pour qu'un orifice donné fasse le maximum de dépense en poids.
(343) Les deux formules théoriques ;
T„ = P,v,/ ^* = Li (p,vo/ ^^ = HQ X / |i-«
servent de point de départ pour résoudre toutes les questions qu'on peut se proposer, soit sur le travail de la détente et de la compression des gaz, soit sur leur écoulement dans des circonsrances diverses.
Elles sont en pneumatique ce qu'est le théorème de Torricelli en hydraulique. Elles en diffèrent cependant par une moindre généralité.
Le théorème de Torricelli s'applique en effet à toutes les hauteurs de charge motrice, tandis que les deux formules ci-dessus ne s'appliquent, on le répète, que si les circonstances permettent de regarder la température comme constante.
PNEUMATIQUB. — PARTIE THÉORIQUE. 205
(844) Voici quelques applications.
fcorieieat par un oriflee en minée paroi. — 11 Se produit, par
les mômes causes que dans le cas d'un liquide, un phénomène de contraction de la veine fluide.
Par suite, si Ton désigne par (o la section de l'orifice, la section contractée, dans laquelle la convergence des filets fluides peut être considérée comme terminée, sera w' =mto)» m étant le coefficient de contraction, et on aura pour la dépense
/FF Q = «'tt = mwtt =: m« i/ 2(/ — / -?.
Le coefficient m, qui était 0,62 pour les liquides, est 0,65 pour los gaz.
La différence est due à ce que l'élasticité des gaz, qui ne sont à la pression P^ que dans la section contractée, diminue la convergence des filets. (Voir pour comparaison les n**" 55 et suivants.)
(845) Éeoalemeot par mt ajntaire eyllodriqne. — On verra encore ici, comme pour les liquides (voir n° 77), que la convergence à rentrée de l'ajutage produit une section contractée, au delà de laquelle il y a un épanouissement brusque de la veine, occasionnant une perte de force vive.
On doit donc poser Q = ixwu, le coefficient |a, portant alors non sur la section, mais sur la vitesse.
Pour les liquides on a trouvé jji=: 0,80.
On a pour les gaz |4.=:0,90.
La différence s'explique facilement :
D'abord une plus grande valeur de m donne une plus grande valeur pour fA, à cause de la relation établie au n* 77, entre m et jx, savoir :
