A^IF

En outre, comme on sait, d'après les expériences de Venturi (n" 79), que la pression est réduite autour de la section contractée, il en doit résulter, avec les gaz, une tendance à l'épanouissement

des filets fluides ; de sorte qu'il est probable que la contraction réelle est moindre dans le cas de l'ajutage cylindrique que dans le cas de l'écoulement en mince paroi.

La valeur ijl = 0,90 supposerait environ ?n = 0,68, au lieu de m = 0,65, différence qui n'a rien d'invraisemblable.

(846) ÉeovIemcDt par im ajateg« eonlqae convergent. — En

raisonnant comme au n"* 80, on verra que le coefficient de correction de la dépense doit porter à la fois sur la vitesse, à cause de la contraction intérieure, et sur la section^ à cause de la contraction extérieure.

On doit donc avoir

V r^ Pi

avec la condition

m' > 0.65 et ï*' > 0.90.

On admet en pratique mV = 0,95, sans qu'on ait de résultats d'expériences suffisamment multipliées pour connaître rinflucnce d'une convergence un peu plus grande ou un peu plus faible. Le coefficient 0,95 s'applique à une assez légère conicité, analogue à celle des buses dés hauts-fourneaux.

(34*7) Inflaenee des eoades et des étran^Iemeiits. — Les formules des n*"* 85 à 88, sont directement applicables aux gaz dans les diverses circonstances indiquées par ces formules.

On a en effet les mômes raisonnements à faire avec les deux genres de fluides.

On emploiera dans les calculs les coefficients ci-dessus indiqués, m = 0,65 et [JL =: 0,90, au lieu de ceux qui conviennent aux liquides.

(848) Aeonlenent dan» des toyaox de eondnlte. — En raisonnant comme aux numéros 90 et suivants, on reconnaîtra que lorsqu'un fluide se meut dans une longue conduite, les filets en contact avec la paroi sont retardés par le frottement de cette paroi ; qu'ils retardent à leur toiir, les filets qui leur sont contigus, et

PNEUMATIQUE. - PAPTIB THÉORIQUE. 297

ainsi de suite, de proche en proche, jusqu au filet central, qui a le maximum de vitesse.

D résulte de ces déplacements relatifs des divers filets fluides, des frottements, et par conséquent une perte de force vive d'autant plus grande que la vitesse moyenne est plus considérable; par suite, une perte correspondante de la pression motrice qui produit Técoulement.

En appelant V la vitesse moyenne du fluide, on a trouvé pour les liquides que sur une longueur L, l'expression de la hauteur de charge perdue était donnée par la formule

H = ?^L(AV-hBV«)

les quantité X, w, A, B et V, étant celles définies au n* 91. Cette

formule se réduit au monôme - LBY* dans le cas de vitesses un

peu grandes.

Ce cas est généralement celui qu'on doit considérer quand il s'agit de gaz, et par conséquent la formule monôme doit être préférée. On posera pour un élément dl de la longueur du tuyau, la relation :

dh = ^ BV*rf/ (I)

(849) Lorsque la conduite est à diamètre constant, et qu'il s'agit d'un fluide incompressible, l'égalité de section entraîne l'égalilé de vitesse, et par suite l'intégrale de la quantité ci-dessus est

ÏBVM/ = ^ LBV«

D n'en est plus de même lorsqu'on a à considérer un fluide élastique, car ce n'est plus la quantité wV qui est constante, mais bien la quantité pwV, d'après la loi de Mariette, c'est-à-dire que la vitesse varie en sens contraire de la pression.

Pour traiter complètement la question du mouvement d'un gaz dans une conduite, il faudra tenir compte : 1*" du travail de dilatation ou de compression qui se produit à mesure que la pres-

208 coins DE MACHINES

sion varie ; 2"* de la variation de force vive due à la variation de la pression ; 3" du travail des frottements, variables pour un élément de longueur de la conduite, avec la vitesse, et 4* enfin, dans le cas d'une conduite inclinée, de Faction de la gravité.

Appelant :

p, et p^ les pressions initiale et finale, m, et u^ les vitesses, et p, et p^ les densités correspondantes.

p, u et p les valeurs courantes de ces mômes quantités pour un point quelconque de la conduite, / la longueur de la conduite supposée rectiligne, dl sa différentielle, et i son inclinaison, supposée montante.

On aura Téquation différentielle :

l^-^ = PidlP-*-dlsmi^^-Bu-dl ^ 9 9i Pi ^

iidu Ptdp j, . . X n «J» :r= — C* '' — d/ sm 1 — il Btt*d/

A cette équation doit sejoindre la relation pu=:;)jMj=pj»«j=consl. que donne la loi de Mariotte. On en tire

d'où

pdu H- udp = 0 . . . rftt = —,

[ = -. -PjIlV??

udu = ^^-^~^'-, ettt»

On en déduit :

g p* p, /? « Pi

et on sépare les variables en tirant la valeur de dï,

di--M—P PlII.

p' sin I + l tàp\u\

Intégrant cette équation entre les limites 0 et s, ou entre p=/', et/?=p,, la question sera résolue.

(350) Cette intégration donne lieu à des calculs qui ne présentent aucune difficulté théorique; mais ces calculs introduisent des fonctions logarithmiques qui ne permettent pas d'exprimer algébriquement pj en fonction de p,. Pour y arriver, il faut remplacer les logarithmes par le premier terme de leur développement en série, comme on Ta Tait au n** 336.

En effectuant cette substitution, et en traitant les variations de pression, dans le calcul, comme des quantités infiniment petites, on arrive, toutes réductions et simplifications faites, à Téquation

Pi Pi \ ^ )

On remarquera que cette équation serait celle que Ton trouverait directement, si Ton considérait le gaz comme un liquide, c'est-à-dire en négligeant les petites variations de vitesse dues aux variations de pression.

On pourra donc, en pratique, opérer en suivant la marche indiquée au chapitre III (n~91 et suivants), pour les liquides.

Pour ces applications on prendra, d'après les expériences de Daubuisson, B = 0,00031 , valeur inférieure à celle trouvée pour les liquides (0,000356 à 0.000385, ainsi qu'on l'a vu au n" 140).

Ces divers nombres, malgré un certain écart, dû peut-être aux incertitudes des expériences, ne sont pas trés-éloignés, et il est permis peut-être de croire que des expériences plus multipliées indiqueraient finalement la même valeur pour tous les fluides.

(351) Une remarque importante doit être faite ici : en se reportant aux résultats des n^* 344 et suivants, on voit que les équations obtenues sont de la môme forme que pour les liquides; par conséquent les diverses pertes de charge dont il peut être nécessaire de tenir compte, soit à cause de la vitesse acquise, soit à cause des changements brusques de section, des coudes, des frottements, etc., sont des termes contenant en facteur le carré delà vitesse, et affec-

tés de coefficients numériques qui ne sont pas fort différents pour les liquides et pour les gaz, comme on Ta vu dans ce qui précède, par les valeurs indiquées pour m, p. et B. On en conclut que si, dans le même système de réservoir et de tuyaux, on fait circuler successivement un liquide, tel que l'eau, et un gaz tel que Vair, et si la charge motrice dont on dispose à V origine corresponde la même hauteur d'aune colonne ayant la densité du fluide en mouvement, récoulement aura lieu de la même manière avec les deux fluides.

Ainsi, Pj étant la pression devant Torifice de sortie, et P, la pres-

P — P sion à l'intérieur du réservoir, c'est la quantité qui détermine essentiellement la dépense, laquelle est proportionnelle à la vitesse.

Si donc on considère deux fluides quelconques de densités p^ et p\

prenant des vitesses de sortie u et u\ les quantités — — ^ et ^ ^ /^ '

seront proportionnelles aux carrés des vitesses u et u', c'est-à-dire que l'on aura

Pi Pi

(BB9t) On tire de là les conclusions suivantes :

V Si Ton a l'égalité }\ — Pi=p\—p\, c'est-à-dire si pour les deux fluides l'écoulement se fait sous la même charge manométrique, on doit avoir pji* = p\u'", d'où on tire

^ Vpi

c'est-à-dire que les vitesses, ou bien que les volumes débités sont en raison inverse de la racine carrée des densités ;

2** Si l'on veut avoir u = u\ ou si l'on veut débiter h même volume, les charges manométriques doivent être en raison directe des densités ;

3** Si Ton veut débiter le même poids des deux fluides, ou si Ton

veut avoir p^u = p\u', on en tire —, = / , et par suite ^ ^ =: ^

^^ Pi Pi'* Pi>

PiNEUMATIQUE. — PARTIE THÉORIQUE. 301

et Ton voit que les charges manométriques doivent être en raison inverse des densités.

(858) En considérant, par exemple, de Teau et de Tair, dont le rapport des densités est Tlny^^ ^"' ^^ nombre rond, 770, nombre

qui a sa racine carrée comprise entre 27 et 28, on verra: 1** que sous la même charge manométrique, le volume d'air débite sera 27 à 28 fois plus grand que le volume d'eau ; 2** que pour avoir la même vitesse, la pression manomélrique pour Tair devra être 770 fois moindre que pour l'eau; et 5° enfin que pour débiter le jnême poids, la charge manomélrique devra être au contraire 770 fois plus grande.

On voit par le second de ces résultats, et cela est important à noter, que si on ne donne à Tair que des vitesses faibles, comparables à celles que Ton donne à Teau, on peut n'avoir que des charges manométriques très-faibles, relativement à celles que l'eau nécessiterait.

(3S4) Cette observation explique, par exemple, le résultat qu'on a obtenu, en employant au travail de percement du montCenis, l'air comprimé à 7 atmosphères, et porté jusqu'à des distances croissantes, qui ont atteint et même dépassé 6 kilomètres à la fin du travail. D'après divers documents qui ont été publiés, les machines perforalrices fonctionnant à l'avancement, employaient par seconde environ 30 litres d'air fourni par une conduite de 0'",20. Quand on ne prenait pas d'air pour la ventilation, la vitesse dans la conduite était d'environ 1 mètre. Cette vitesse, dans le cas de l'eau, aurait occasionné une perte de charge par mètre d'environ 7 millimètres, soit42mèlres pour la conduite de 6 kilom.; à quoi il faut ajouter, pour le travail exécuté par la bouche nord du tunnel, la différence de niveau due à la rampe de 22 millimètres, soit 152 mclres.ll aurait donc fallu, sur l'entrée de la conduite, une charge d'eau totale de 42 4-132 = 174 mètres. Pour de l'air ù 7 atmo-

sphères, dont la densité, d'après la loi de Mariette, esl ^ = jjn

de celle de l'eau, il ne fallait que tjj^=1 "",60, soit inoins d'un septième d'atmosphère, et encore sur cette perte minime de 1°*,60, le quart à peine (ou plus rigoureusement la fraction p^J, soit moins

de 0",40, était dû à la longueur de la conduite, et le reste à la pente. La charge de 7 atmosphères, produite par les compresseurs se transmettait donc aux machines perforatrices sans perte appréciable du chef des frottements. Ce résultat, qui a étonné beaucoup d'ingénieurs, aurait pu être prévu d'après ce qui précède.

Ce même résultat explique aussi comment l'on n'a pas rencontré dans ce grand travail les difficultés de ventilation que beaucoup d'ingénieurs avaient prévues.

En réalité, ces difficultés n'étaient rien^ en comparaison de celles que rencontre le mineur dans une grande mine de houille sujette au grisou.

Au mont Cenis le trajet complet de l'air, était, vers la fin du travail, d'environ 12 kilomètres. Le trajet est souvent plus long dans une grande mine; les galeries y offrent une section beaucoup plus faible, et la quantité d'air doit souvent y être plus grande, pour peu que le dégagement du grisou soit abondant.

11 est permis de dire qu'une fois les perforateurs imaginés, on ne devait prévoir aucune dificulté sérieuse, soit pour les faire mouvoir avec l'air comprimé, soit pour aérer le chantier où elles fonctionnaient.

On ne doit pas en attendre davantage même pour un percement plus long, tel que celui du Saint-Gothard, qui aura plus de 15 kilomètres.

11 faut retenir, comme une conséquence intéressante des résultats énoncés au n** 353, conséquence vérifiée sur une grande échelle par le travail du mont Cenis, que moyennant l'emploi dé tuyaux de grosseur suffisante, l'air comprimé est un moyen très-commode pour transmettre à de très-grandes distances, et avec un très-faible déchet, une force motrice donnée. Nous reviendrons plus loin sur ce sujet intéi essant«

§ 3. — De récoulement des gaz à chaleur constante.

(355) Lorsque la compression ou la détente d'un gaz ont lieu sur une échelle étendue, ou bien lorsque son écoulement par un orifice se fait très-rapidemenl, ou, en général, lorsqu'on est dans des conditions telles que la chaleur développée par la compression ou absorbée par la détente n'a pas le temps d'être enlevée ou restituée par les corps environnants, les formules

^' ' Pi

^ H Pi

établies dans Thypothèse de p,V,=:pj V^, ou d'une température constante^ ne peuvent plus être appliquées.

11 convient de substituer à cette hypothèse celle d'une quantité de chaleur constante. On arrive par cette substitution à des formules essentiellement différentes.

En réalité, dans la pratique, on peut penser que les résultats obtenus seront intermédiaires entre ceux que donneraient les deux genres de formules, et plus ou moins rapprochés des uns ou des autres, selon les circonstances.

(356) Désignons par q la quantité de chaleur contenue dans une certaine masse de gaz pesant l*", à une pression, un volume et une température donnés; q est fonction des trois éléments p, v et tj et comme p^v eit sont liés ensemble par la relation p V = R' (a -f- î). (Voirn« 530), on peut dire que q est une fonction des deux variables indépendantes p et v, ce qui se notera ç =/* (p, v). On aura

par suite dq= -^-dp -^ ^dv.

La condition d'une chaleur constante donne d'ailleurs dq = 0. Appelant c et c^ les chaleurs spécifiques du gaz à pression con-

304 COURS DE MACUIISES.

stante et à volume constant, on a, par définition :

cdt= ~ dv -^ — c j-

dv dv dv

j. df j df dt

'^^'=d/P d^^'-'^Tp

Substituant dans dq = Oy il vient

dt , dt . ^

Cl , dp -f- c 7- </» = 0 .

* dp ' dv

D'ailleurs la relation /> V = R (a 4- 1) donne

rf^ V dj^p dp~W "'dv^B!'

Par suite l'équation devient :

jp (CiVdp 4- cpdv)=zO.

ce qui donne c^vdp-\- cpdv=0.

Celte dernière égalité devient, en divisant par le facteur fw :

dp , dv ^

Si Ion suppose les quantités c^ et c constantes (ce querexpérience semble vérifier sensiblement, et ce qui sera d'ailleurs établi dans la théorie mécanique de la chaleur), l'équation s'intègre immédiatement, en donnant cjp 4- dv = const. , ou bien p^^ x v* = const., ou

encore, en désigant par k le rapport - des deux chaleurs spécifiai ques à pression constante et à volume constant, pt;*= const, c'est-à-dire p^ V^* = p, V,*.

Ainsi la loi de Mariette, pv = const., ou la relation P^Vj==P,V,, qui s'appliquent à une température invariable^ doivent être remplacées par ce qu'on appelle lu loi de Laplace pV*=: const., ou la relation p^ y^^=p^ V,*, qui s'appliquent à une quantité de chaleur invariable- Lé nombre k est évidemment plus grand que l'unité. Les expériences les plus récentes lui assignent, pour l'air, la valeur fc= 1,408.

PREUMATIQUE - PARTIE THÉORIQUE. 3b5

(357) La formule ci-dessus établie, on verra, comme au n"" 310, que le travail élémentaire de la compression est toujours Peii;,ct que pour avoir le travail total de cette compression, il faut prendre entre

deux limites données Tintëgrale indéfinie I ?dv.

Or on a

Entre les limites V^ et V, l'intégrale devient

ou, à cause de la relation P^V* = P, V/,

T,=j^(PJ.-P,VO

quantité qui peut s'écrire, d'après l'équation du n® 350, en appelant ti et t^ les températures initiale et finale :

T«= g^ [W(a + gO-R' (a -t U)Q]

Ces expressions donnent le travail moteur qu'il faut appliquer au gaz pour le comprimer, ou celui qu'il faut produire sur son enveloppe en se dilatant, entre les limites définies l'une par les éléments Vj, Pp t^y l'autre par les éléments P„ V„ f,.

(858) En raisonnant comme au n"" 335, on trouvera le travail que doit produire une machine soufflante pour prendre un volume Vj d*air à la pression et à la température atmosphérique, le compri- I so

mer à la pression P. sans perte de chaleur, et ensuite le refouler dans un réservoir où existe cette dernière pression P,.

On aura pour le travail de la compression „ (P, V, — Pj V^),

ainsi qu'on vient de le voir.

Le travail de refoulement est évidemment P,V, et le travail de l'aspiration est P^ V^.

Le travail total demandé à la machine soufflante est donc

On ne peut plus dire ici, comme au n*" 335, que le travail moteur de Taspiration compense le travail résistant du refoulement; car c'est de Fair froid qu'on aspire et de l'air chaud qu'on refoule, et ronaP,V,>P,V,.

L'équation ci-dessus peut s'écrire sous une autre forme en remarquant que

P.V.==PiV,i±is

a -h t| On aura en substituant

T - JL pv /'«■^'•-dW JL.PV ^«-^i ou bien

OU bien encore, à cause de la relation générale du n^ 530i PV=R'(a-f-0» qui donne

T« = K-^ïR'Q('.-*i).

(360) La relation

T« = g:^(P,V,-P,VJ

qui donne le travail de compression d'un gaz, combinée avec les relations

F,v -p,v,, e^p^v^-rri;'

résoudra les diverses questions qu'on pourra se proposer sur la compression et la dilatation des gaz et sur les phénomènes thermométriques qui les accompagnent.

Se donnant par exemple Y^ et V, et une des températures t^ on en déduira Tautre par la relation

a-r<i""P.V,-"V,»^V,-VvJ •

Si l'on veut une relation entre les températures et les pressions on posera encore l'égalité

et Ton éliminera les vitesses au lieu d'éliminer les pressions, comme dans le cas précédent.

On aura ainsi

et ainsi des autres questions.

(360) Cette même relation

T«=j^(P.V.-P,VO

qui donne le travail de la compression, du volume V^ au volume V,, donne aussi le travail de détente qui se produit, quand on revient du volume V, au volume V^. Ce travail augmente avec la détente, puisque PV diminue de plus en plus à mesure que la masse se dilate.

n a cependant une limite qui correspond à P^V^=iO.

D'ailleurs» à cause de la relation P4V4 = R' (a -h 0» ^i ^t ^st nul lorsque Ton a cH- i^ = 0 . ♦. ^^ = — a*

508 COURS DE MÀCUINES.

Le travail correspondant est

ou bien

T«=irrTP«^«

Tel est le résultat auquel on arrive en poussant la détente aussi loin que possible, et en supposant qu'il n'y ait point de contrepression.

Sans faire aucune hypothèse sur la quantité totale de chaleur perdue par le gaz pendant cette détente, on remarque que si sans changer le volume du gaz on augmente sa température d'une quantité dt, avant de commencer la détente, on dépensera une quantité de chaleur marquée par dq=jD^dt^ et l'on augmentera le travail d'une quantité •

K'dt

En prenant le rapport

rfT,=

dq (

ai»-

OU le rapport inverse

on a dans le premier cas, le travail correspondant à une calorie^ et dans le second, la fraction de calorie correspondant à un kitogram' mètre.

La première quantité est ce qu'on peut appeler, dans le cas particulier, l'équivalent mécanique de la chaleur ^ la seconde est réquivalent calorifique du travail.

(361) Cherchons, pour l'air, la valeur numérique de l'équivalent mécanique de la chaleur.

D'un côté, on a trouvé R = 29,271. (Voir n« 329-)

PîfBUMATIQCB. — PARTIE THÉORIQUE. SeO

De Tautre, les expériences des physiciens ont donné :

c ^Ci =0.0689

on en déduit

c — Ci 0.0689

On remarquera que le nombre obtenu pour l'air avec la valeur R = 29,271, s'appliquera à un autre fluide élastique pour lequel

on auraR'= -- , la quantité c — c^ étant, pour les divers gaz, en raison inverse de leurs densités.

On verra plus loin que le môme nombre (425 kilogrammètres par calorie) est également applicable à tous les corps, quel que soit leur état.

(362) Si Ton suppose un réservoir entretenu à la pression P, muni d un orifice donnant écoulement au gaz dans un milieu à la pression pp et qu'on demande la vitesse d'écoulement, on devra raisonner comme au n® 341 , et poser, en conservant les mêmes notations, la même équation

On pourra, comme dans ce numéro, négliger u' devant u; mais on ne pourra plus dire que les deux premiers termes de l'équation se détruisent.

En divisant par dt et posant Su' = V,, etsu= V^, on aura

ou bien, en remarquant que le poids du gaz écoulé dans l'unité de temps, peut s'exprimer indifféremment par p^V^ ou p, V,.

La dernière quantité peut s'écrire

A la limite, ou en poussant la détente jusqu'à ce que letermep^V^ devienne nul, on trouvera

soit pour l'air supposé pris à t degrés

ii" = 2x 9.81 X 790i X ÎL±i X i4SI

ou pour le cas où Ton fera t = 0

ttt == 2 X 9.81 X 7991 x J^ = 547805

d'où tt = 740 métrés.

Telle est la valeur finie vers laquelle convergerait la vitesse, à mesure que prenant la pression intérieure d'un réservoir égale à la pression atmosphérique, la pression extérieure irait en diminuant.

C'est ce qu'on pourrait appeler la vitesse théorique d'écoulement de Pair dans le vide.

Toutefois, comme en même temps la densité est nulle, puisqae le volume devient infini en même temps que la pression devient nulle, on en conclut que la masse écoulée par un orifice d'unesection donnée serait nulle.

(363) Ce résultat paradoxal, analogue à ceux du n"" 342, veut dire simplement qu'à mesure que la détente ayant été déjà poussée fort loin, on la pousse encore plus loin, la vitesse augmente moins vite par l'accroissement du travail que la densité ne diminue par la réduction de la pression ; de sorte que le volume écoulé par un orifice donné augmente, mais que le poids ^cou/^ diminue, ou bien que pour écouler un poids donné il faut augmenter la section de l'orifice.

On a donc à la limite comme résultat du cakulj une vitesse Unie, une densité nulle et nne grandeur infime d^ orifice.

En résumé, on voit que la dépense d'un orifice donné, évidemment nulle si p^ = p,, redevient nulle si p^ V^ = 0.

Il existe donc ici, comme dans le cas considéré au n*" 342, une certaine valeur de p^ et une température correspondante, pour lesquelles on trouverait une dépense maximum en poids. On l'obtiendrait en cherchant le maximum de la quantité p^u.

On remarquerait que la quantité

du numéro précédent, peut s'écrire

"^-^[h P.V.xfîJK-l

D'autre, part, on a d'après la loi de Gay-Lussac et par suite

Cette expression, en désignant a + t^ par x, est de la forme

Elle sera nulle, soit pour j; = 0, soit pour j; = o + t, résultat qui s'accorde avec ce qui a été dit plus haut.

Hle sera un maximum pour la valeur de x annulant la dérivée 2x(a + t^—x)—ai'.

Soit donc pour « = 0, ou pour 2 (a H- f,— ar) = x.

Cetledernièrevaleurnous donne 5 a: = 2 (a -f- ^,), oua:= | (a-hQ.

313 COURS DE*MÂGHI!fES.

On en conclut que la quantité pu étant nulle soit pour â?=0,$oit pour x= a H- ^,, son maximum correspond à a; = J (a H- f,).

Ainsi, pour un orifice donné, la dépense sera un maximum, lorsque la détente sera poussée à un point tel que la température absolue finale soit les f de la température absolue initiale, ou ce quiesj la même chose lorsque la quantité finale p^ t;^ sera les | de la quantité initiale p, v,.

On en déduira d'après le n® 559

et

a -j- ti 2

Y* — {i±jïy~' = f^Y^^ h =

Y* — f±±jty~' f^Y^^ v.""Va-h«J - [y V,-

Ces résultats sont à rapprocher de ceux du n** 342.

§ 4. — De récoulement des gaz chauffés artificiellement.

(364) Lorsqu'on échauffe un gaz sous pression constante et qu il se dilate en suivant la loi de Gay-Lussac, le travail résultant de cette dilatation s'obtient par la formule générale du n* 333,

T« = JPJV,

qui, d'après la remarque du n** 354, devient

T« = P fd\ = V\.

L'intégrale définie, entre deux volumes V et V, devient

D'ailleurs, comme on a d'après la loi de Gay-Lussac y ~ "^Zl' ^"

PriEUMATIQUE. — PARTIE THÉOniQUE. 513

désignant par t et t' les températures qui correspondent aux volumes V et V, on pourra poser indifféremment

T.= PV'(l-;) = PV'(l-i^,)=PV'?l

r ou bien

selon que Ton voudra exprimer le résultat en fonction du volume initial ou du volume final.

(365) D'ailleurs à cause de la relation générale PV=R'(a-hf)Q,

chacune des quantités ci-dessus peut s'écrire, en remplaçant

PV T par la quantité R'Q, T» = R'Q (f — f), formule qui donnera

le travail d'un poids Q de gaz, pour une variation donnée de température.

On reconnaît que ce résultat ne dépend que du poids et de l'écart des températures, et nullement de la pression ni des températures absolues auxquelles s'opère la dilatation.

(366) Si Ton compare le travail T„ = R'Q (If — t) à la chaleur dépensée qui est égale à Q x c x (f — ^), on trouvera le rapport

— pour le travail correspondant à une calorie. Ce résultat ne s'accorde pas avec celui du n^ 360, et il est moindre. C'est qu'en effet, dans le cas actuel, la chaleur n'a pas été entièrement employée à produire du travail. Elle a été, en outre, employée à élever la température de Voir.

On doit concevoir que la quantité de chaleur développée Q X c X (f — ^), s'est partagée en deux parties l'une

î^*xR'Q(r-<) = Q(c-cO(r-o,

qui, à raison de-^*caloriespar kilogrammèlre, aproduit le travail R'Q {i' — t). Voir n" 300;

Tauti^ qui est la diffôrence

Qc (V-t) - Q(c-cO (f - <) = Qci (f t)

a servi à élever la température deTair.

Ce résultat sera développé et expliqué ultérieurement dans la théorie mécanique de la chaleur.

(367) Considérons actuellement une machine soufllante, envoyant de Tair pris à la température ambiante t et à la pression atmosphérique que nous désignerons ici par p^ dans un réservoir où existe une pression p,, et d'où il passe dans une conduite qui le mène aux buses d'un haut fourneau, en traversant un appareil à chauffer l'air qui le porte à la température T.

L'intervention de cet appareil présente une certaine difficulté; car il faudrait, pour être rigoureux, savoir suivant quelle loi rair,en traversant l'appareil, passe de la température rà la température T.

Pour simplifier, et pour arriver à un résultat pouvant donner lieu à un énoncé précis, nous négligerons toutes les résistances accessoires dues aux vitesses dans le trajet depuis le réservoir jusqu'à la buse, et ces vitesses elles-mêmes.

Tenant compte de la force vive possédée à la sortie de la buse, et raisonnant comme au n"* 341, nous considérerons un canal infiniment petit ayant son origine en un point du réservoir et aboutissant à un élément de la section d'une buse.

Soient S et « les sections extrêmes, u^ et u les vitesses dans ces sections.

Le travail moteur élémentaire de la pression en amont sera p, Sttj dt.

Le travail résistant de la pression en aval sera/)^ sudt.

(Ces deux travaux ne se détruisent plus, comme dans le cas do n"" 54i , à cause de la différence des températures initiale et finale retT.)

Nous supposons que la détente ne commence à s'opérer d'une manière sensible qu'au voisinage des buses, après le passage à travers l'appareil à air chaud.

Le volume soumis à cette détente sera donc Su. , (H ■ ; le tra-

fl -4- t

yail de la détente, supposée efTectuée sans changement de température, sera donné par l'expression

^^ ' a -h t Pi

La dilatation due à l'appareil à chauffer l'air pourra être supposée sous pression constante, en négligeant les vitesses en amont, relativement à la vitesse de sortie à la buse; car une vitesse qu'on peut supposer nulle sur une longueur de conduite donnée, implique une pression égale aux deux bouts. Avec cette hypothèse restrictive, on peut déterminer le travail de la dilatation, qui est alors, d'après le

n<'364,p.Su,dr^J

Par suite on a, en posant l'équation des forces vives, et négligeant u* devant m* :

On a d'ailleurs

Pi9u a-t-T '^•^ * '^^ a-hT

remplaçant p^Su^ par sa valeur p^ s u ?p

il viendra, en supprimant le facteur dt

/a-\-t .\ , ,», , T — < i Pi«tt ,

Le premier et le troisième terme du premier membre se détruisent, c'est-à-dire que le travail de la dilatation est compensé par l'excès du travail résistant à la sortie sur le travail moteur à l'entrée.

Il vient, toutes réductions faites, et en remplaçante* par V,

^ Pi

y^^^,fPilL\

h Pi

316 COURS DE HACHIIfES.

(368) Ces équations sont exactement de la même forme que celles qui ont été trouvées précédemment pour l'air froid (n" 345).

Mais si Ton comparaît cette valeur de T„ au travail qu'a dû faire la machine soufflante pour introduire l'air froid dans le réservoir, on devrait considérer que ce dernier travail a été exécuté sur l'air froid, tandis que le premier correspond à de l'air chauffé préalablement.

Le rapport des quantités de travail est donc égal à celui des volumes ; c'est-à-dire que le travail moteur de la machine soufflante est au travail qui correspond à la force vive de l'air à sa sortie, dans le rapport des quantités a -f- ^ à a -h T.

Si nous supposons quela même machine fonctionne successivement à l'air froid et à l'air chaud, avec la même vitesse et avec la même pression dans le réservoir, la vitesse de l'air chaud sera à la vitesse de l'air froid dans le rapport inverse des racines carrées des densités,

puisque la quantité p^ u* = 2gp^ l ^ est la même dans les deux cas.

Pi Désignant par p^ la densité, par u la vitesse et par S la section de

la buse dans le cas de l'air resté froid, et par p\ u' et S' les mêmes éléments dans le cas de l'air soufflé chaud, on a p^u* = p\ u'*.

D'ailleurs on a aussi p^ Su = p\ S'u' ; on en déduit la suite d'égalités

- = ?i X "- = - X ?^ = - = i/^* = 4 A S' Pi u u'- u tt' V Pi V ^

En résumé, la machine souftlante, marchant exactemeiit dmis to mêmes conditions de vitesse et de compression, par conséquent divelojh pant le même travail, lancera par les buses le même poids d'air froid ou d'air chaud, indifféremment, sous les conditions suivantes : les forces vives de l'air seront, dans les deux cas, proportionnelles aui températures absolues, les vitesses proportionnelles aux racines carrées de ces mêmes températures, et enfin les sections des buses proportionnelles aux vitesses, ou, ce qui revient au même, leurs diamètres proportionnels aux racines quatrièmes des températures.

On voit en définitive, cor?^ratr^m^wt à une opinion assez répandue.

PNEUMATIQUB. — PARTIE THÉORIQUE. 5l7

qu'il ne faut pas plus de force pour marcher à Pair chaud que pour marcher à l'air froid, et qu'on pourra, dans les deux cas, maintenir exactement la même allure à la machine soufflante^ simplement par une légère variation du diamètre des buses. C'est un changement insignifiant à effectuer.

(369) En considérant, dHine manière générale, une machine soufflante, fournissant le môme poids d'air, tantôt à l'air chaud, tantôt à l'air froid, ou, si Ton veut, deux machines égales fournissant Tune de Tair froid, l'autre la même masse d'air chaud, on aura les relations suivantes, dans lesquelles nous conservons les mêmes notations que précédeemment, en marquant d'un accent les quantités qui correspondent à l'air chaud :

1^ Travail moteur de la machine soufflante marchant à l'air froide égal à la demi-force vive de Tair lancé par les buses.

2® Travail moteur dé la machine soufflante marchant à l'air chaud avec une pression p\ dans le réservoir.

T'„z=PJ,/^».

S"* Travail moteur total correspondant à la demi-force vive de Tair lancé par les buses

4' Relation entre les volumes V^ et V\

V, ~ a + «■ 5* Vitesse de l'air lancé froid

6** Vitesse de Tair chaud

S18 CaimS M KiGUINKS.

V Relation entre les densités p^ etp\

Pi «H-T'

Avec Tensemble de ces égalités, on aura tous les éléments nèoesr saircs pour résoudre les différentes questions qu'on pourra se proposer, sur lacomparaison, au point de vue mécanique, entre remploi du vent chaud et l'emploi du vent froid dans les hauts fourneaux.

Supposons, par exemple, qu'on se propose de donner à Tair chaud la même vitesse qu'à l'air froid, et qu'on demande quel changement cette condition apportera au régime de la machine soufflante. Il est clair qu'elle devra garder sa vitesse, puisqu'il s'agit de la même quantité d'air. C'est la pression dans le réservoir qui devra seule changer.

En désignant la valeur nouvelle par ;/,, il faudra poser, puisque l'on veut avoir u' =:u

d'où l'on tire

et par suite

Pi Pt p'i Pi

Pi Pi Pi a-hT p.

T' -îL±Jt

On voit que, dans le cas considéré, la force de la machine soufflante sera réduite, par l'emploi de l'air chaud, dans le rapport

— 7r inverse des températures absolues initiale et finale de l'air.

L'équation ci-dessus permettra de trouver la nouvelle pression p\ qui s'établira dans le réservoir.

Dans ce même cas, le diamètre des buses devra satisfaire à la rela* tion Pi S = p\ S', c'est-à-dire que les sections des buses seront en raison inverse des densités, ou en raison directe des températures absolues ; etque leurs diamètres seront comme les racines carrées de ces mêmes températures*

On remarquera que l'équation

Pi û + T Pi

donne des valeurs de^ qui décroissent à mesure que T augmente,

et donnent p\ = p^ pour T = oo .

C'est-à-dire qu'à mesure que Ton chaufTe l'air davantage, le travail de la dilatation s'approche de plus en plus d'être suffisant, à lui seul, pour donner à l'air la force vive qu'il a eu sortant par les buses, et le travail à demander à la machine soufiDante diminue de plus en plus.

(870) On pourrait traiter la question de réchauffement de l'air, dans le cas général d'un système de conduites dont on porterait les diverses parties à des températures inégales, et en tenant compte des frottements, ainsi que de l'action de la gravité si le système n est pas horizontal.

On est ainsi jeté dans des calculs fort longs et fort compliqués, pour lesquels on pourra consulter les mémoires de M. Combes sur l'aéragedes mines.

Les équations auxquelles on est conduit ne peuvent être résolues que par appix>ximation, et l'équation définitive à laquelle on airive, ne semble pas susceptible d'une application numérique utile.

n suffira, pour se rendre compte des principales conclusions qu'on tire de cette équation définitive, d'assimiler le système à un réseau de conduites dans les branches duquel circuleraient des liquides ayant des densités légèrement différentes d'une branche à l'autre, les rapports des densités étant déterminés par les lois de Mario tte et deGay-Lussac, d'après la température et la pression moyenne dans chacune de ces branches*