CHAPITRE PREMIER

De Gabriel Cramer, professeur de mathématiques, à son ami et collègue Jean-Louis Calandrini, « professeur en mathématiques » à Genève, de Bâle, 24 mai 1727.

« Monsieur mon très-cher amy,

Je n’aurois pas tant tardé à vous écrire si j’avois eu quelque chose de plus intéressant que des protestations sincères d’une amitié sur laquelle vous pouvez compter assurément.

Je vous félicite de tout mon cœur des applaudissements avec lesquels mon frère me marque que votre discours a été reçu. Je n’en ai jamais douté ; mais c’est avec un plaisir sensible que j’ai vu l’estime que j’en faisois confirmée par celle du public.

Ecrivez-moi, je vous prie, le plus souvent que vous le pourrez sans vous incommoder; marquez-moi quelles sont vos occupations, vos pensées même ; en un mot faites en sorte, je vous en conjure, absens ut prœæsens sim.

Pour moi je vous dirai mes occupations : Je vais régulierement tous les jours chez M. Jean Bernoulli, et presque aussi souvent chez son neveu Nicolas Bernoulli. Ils sont tous les deux d’une conversation fort agréable et extrêmement ouverts et communicatifs. Je raisonne principalement avec le premier sur les calculs différentiel et intégral. Il m’a communiqué ses leçons manuscrites, qu'il avoit données au marquis de l’ Hospital. I y a bien des choses vieilles et connues à présent, mais il y a aussi de fort bons morceaux qui me sont entièrement neufs. Il m'a aussi communiqué plusieurs des lettres qu’il a reçues du marquis de l’Hospital et qu'il lui a écrites ; en un mot je suis extrêmement content de lui, et il rendra, je pense, mon séjour ici plus long que je n’avois compté.

Son neveu n’est pas moins agréable. Nos conversations

ont roulé sur les jeux de hazard; vous savez qu'il possède

cette partie des mathématiques. Il m’a fait voir les lettres qu'il échangeoïit avec M. de Montmort sur ces matières, où j'ai vu bien des choses curieuses et nouvelles. Il a aussi entretenu avec M. de Moivre un commerce sur cette matière, et il n’est pas fort content du dit Sieur. Entr’autres griefs qu'il m'a cités, en voici un : Dans le problème 43 de cet auteur, il est fait mention d’une solution de M. Bernoulli ; mais il en a omis une autre qui est beaucoup plus élégante. Il me l’a communiquée, tout le calcul ne demande que deux lignes ; elle est purement analytique, et la comparaison ne feroit pas honneur à celle de M. de Moivre. M. Bernoulli m'a dit aussi que le commerce qu'il avoit avec lui a cessé sur un problême qu’il envoya à M. de Moivre et dont il n’a eu aucune réponse. Le voici : Tütius et Caius ont devant eux un certain nombre de jettons et jouent avec un dez à 4 faces marquées 0, 1, 2, 8 ; chacun tire autant de jettons qu’il amène de points ; mais il y a cette différence entre eux, c’est que Caius amenant Ô, met un jetton au jeu, et s’il amène plus de points qu’il n’y a de jettons, il met au jeu le surplus, ce que Titius ne fait pas. On demande combien chacun doit mettre de jettons pour rendre la partie égale. L’occasion de ce problème étoit que M. de Moivre soutenoit que tous ces problêmes de jeux de hazard se pouvoient résoudre par les deux méthodes des combinaisons ou des suites sans analyze, ce que nioit M. Bernoulli ; et pour essay il a proposé à M. de Moivre le problême que vous venez de lire et dont il n’a jamais recu de solution. Sur une légère indication de M. Bernoulli, je l’ai résolu.

Il m'a aussi proposé le problême suivant sur les suites de M. de Moivre : Trouver un terme quelconque de ces suites, par ex. si les deux premiers termes sont « et b et l’exposant m + n.

Si vous avez une démonstration du 1* Lemme de M. de Moivre, pour le nombre des hazards pour faire un certain