OC

Il )0x

O^y Ou'-

ô- X OU (Jv

i ri ( dx

\ \i\ dx \ 2 \ô^'

0\y Ou Ov

O'-z OuOv '

\ 22 ) àx 1 i \ Ou 1

i 22 ) Ox 2 { Ov ''

Ov-

ôi~ — • • • •

Oc Ou

F o' — G 0 Ox F 0 — Ko' dx EG— F2 Ou ' KG— F2 Ov '

Oc' Ou

Oc" Ou

F 0 " — G ô' Ox F ô' — E 0" Ox

de dv

Oc"

\H\ F2 Ou ' EG — F2 Ov '

Dans ces formules on permute x, >', s et c, c', c" sans toucher aux coefficients. Si donc on donne en fonction de u et r, les six fonctions E, F, G, 0, â', ô", et si, de plus, nous choisissons arbitrairement Xo, Jo? ^0 pour Ji = ?/o5 <' = ''g5 puis si nous déterminons un

ystème(-^) A'^) '(;^) '^"^l W^l '(^) > satisfaisant aux

.Ov J ^ \du J ^) \0v

relations

nous en déduirons r^, c|,, c,', et les formules (3) nous donneront ( -T — ^ I ) \- — t) >•••■) (-r-7) \ des différentiations successives

\ Ou- / 0 \0u Ov / 0 \ Ot-- I 0

des formules (3), en tenant compte de (4), nous donnent de proche en proche les dérivées d'ordre quelconque de x,y^ z pour u =^ Uq, ç = i'„ ; les développements en série de Tajlor de x, j', z ne peuvent donc contenir que les six paramètres arbitraires qui correspondent au déplacement le plus général de la surface [position de Mo donnée par .r,), jKo? ^0 I orientation du système plan formé par les tangentes en JM,) aux courbes n = Uo et v = Vq fixée par les équations (5)|. C'est la conclusion donnée au paragraphe précédent.

La théorie des équations aux dérivées partielles nous fait écrire les conditions d'intégrabilité

(fi)

tv \ Ou- I Ou \ Ou Ov I Ov \ Ou Jv I du \ Ov-

l8 BEUTRAND UAMUIEK.

c, c , c étant remplacées par 77 -^^ , ••• , et leurs dérivées étant

données par (4)- I-iCs équations (0) doivent être répétées avec y,

puis z et cela revient, dans (6) à éealer les ternies en c, — -> -r- aux

r • \ / o ^ du dv

doux membres, toujours d'après l'interprétation vectorielle. Tl osl clair que le nombre de conditions distinctes (6 au plus) ainsi obtenu est indépendant du choix des variables indépendantes ; si l'on suppose la surface rapportée à ses lignes de longueur nulle, on a E = G = o et au lieu de (3) et (4).

d'x d logF dx

du- du du '

j d-x j du dv

1 d-^x \ dv'-

d locfF dx ^„

= — ^ -. hoc;

dv dv

( ^c \ du

i / ^, dx ^ dx\

j de

( dv ~

1 i\„dx ^,àx\ -VV écc^' dv )

On obtient trois conditions d'intégrabilité

^, d lt)gF do' do

au ~ du ~ àv I JîlngF 00"— S'2

^'•' ^ „^HogF d6' do" "F~ du dv ~ — F'- '

dv àv au

L'équation, en termes finis, du système (7) exprime le theorema egregiuui de Gauss, les deux membres étant égaux à 77—5- • En revenant à un système curviligne quelconque, on obtient aisément les équations dites de Gauss-Codazzi [3] :

\ àv au I I i 1 ' 1 ) \ -x )\ \ -i \

]'K'^^\ ■'■>■ \ 5 -JV' I- PMI 8'- î '"j 8" = o. \ du dv ] i \ L / I ( I 1 i J (M

Il su Kit en elï'et d'écriic

^('^)] = ^P^(^.)] ^hx.(<7!7^-)]-ri«('Â^0j

Quant à celle qui concerne ôo' — ô'- on ti'ouve aisément, par un produit de délerniinanls,

O'-F I d'-E I d'-G OF I ()G I dG

du ôv X f)v- 2 au- ()r 2 Ou 2 l'Jp I <^E

2 du

oiF 2 ^ Ou I Je

£ <>K i^ OG

•i Ov 2 i^w

11 est quelquefois utile d'introduire les quantités

ïi ~ ÏÏ2

et les équations (8j, (g) prennent la forme <^A (^A' \ 22 / . \ 12 /

dv dv I 2 ) / 2 \

ày à^^ ^ (22 / ) 12I

(>« dp " / I ( ^ ) I