I -ô^ logF I ^2 logFi F du dv Fj du\ di

et l'objection qu'une telle réduction suppose les ds- analytiques se lève comme pour les problèmes géométriques élémentaires relatifs à divers cas de figure rendant certains éléments géométriques tantôt réels tantôt imaginaires. Ce point établi, les équations (4) se complètent par (5) et par

Le système (4), (6) comprend alors cinq équations linéaires aux

du du dv dv ^ , .

quatre inconnues -r — , -r—, -, — j -;— > de sorte que doivent apparaître ^ du\ di'i dUi âvi ^ ^ ^

d'autres conditions nécessaiies. La méthode de Clirisloflel n'a pour

but que de présenter élégamment les résultats des calculs; nous

allons les retrouver très simplement en nous servant des paramètres

introduits au précédent Chapitre.

J'indique, pour mémoire, que dans le cas de formes quadratiques

à n variables, c'est-à-dire de surfaces à n dimensions plongées dans

l'espace k n -\- \ dimensions, en suivant une marche analogue on

, . n-(n- — i) , ni n -+- \) . . , n i- • ■ 1

obtient H —^ ? équations entre les 11^ dérivées du premier ordre; le premier nombre surpasse le second du nombre

qui n'est pas nul si /? > 3 ; c'est donc un fait très remuKjuable que pour ;i = 2 les dérivées du premier ordre s'éliminent toutes les quatre, et ceci justifie l'imporlance de ce théorème sur la courbure totale, que les géomètres allemands appellent tkeorejiia egregiiim^ en souvenir de l'illustre géomètre Gauss [()] qui l'a signalé le premier et jeté le fondement de cette belle théorie. En tout cas l'essentiel est de remarquer que le nombre d^ arbitraires dans les forînales de transformation de deux formes qaadratiqaet à n variables ne peut

avoir que V une des valeurs o, i, ..., — — ^ ; la valeur maxi-

DEFORMATION DES SURFACES ETUDIEE DU POINT DE VUE INFINITESIMAL. If

muni — -est e[fectivenient atteinte pour deux jotmes quadratiques à 71 variables ayant la même courbure rieniannienne constante.

En nous bornant à l'espace euclidien à trois dimensions, je rappelle que la relation Acp ==y(o), quand elle a lieu, signifie que les courbes 9 = const. sont parallèles. Ici nous avons les courbes définies intrinsèquement par K = const., que nous dirons courbes de courbure totale constante sur la surface; si deux surfaces sont isométriques, K et aussi tous ses invariants ont nécessairement la même valeur numérique aux points homologues, chacune de ces fonctions étant calculée séparément sur chaque ds- . Trois cas se séparent : A, où S ni S, ne sont applicables sur une surface de révolution; nous verrons que ce cas se partage lui-même en deux : A, et A2; B, où S et S, sont applicables sur une même surface de révolution à courbure totale non constante, C où S et Si ont la même courbure totale constante.

3. Hypothèse A, : K(«, v) et L^AR(^^, v) sont des fonctions indépendantes. — Nous prenons K et L pour variables nouvelles et l'on a alors [Ghap. 1, formules (9) du paragraphe 1].

^^) ^'^ = LAL-AnK,L)

11 est donc nécessaire et suffisant que les quatre équations

j K(m, t') = Ki(a,, i-, ). A(K, AK)^ Ai(K', A'KM,

( AK(«, r) = AiK>(«,, t'i), AAK = A»AiKS

entre m, c, «,, v^. admettent un système de solutions communes (ou |)lusieurs); il ne peut j avoir de solution dépendant d'un paramètre arbitraire, puisque les deux premières équations sont distinctes par hypothèse; dans le cas de compatibilité, il y a, en général, un nombre fini de solutions, donc un nombre yZ/Ji de points de S, homologues d'un même point de S. De simples calculs de diffèrentiation et élimination font reconnaître si les deux surfaces sont ou non applicables et donnent Vapplication quand elle existe.

-4. Hypothèse K-, : AK est fonction de K, mais non A^K. — Il

est clair que A'K' doit être la même fonction de K' que AK de K. Les courbes de courbure totale constante sont parallèles sur S ou sur S,. Nous prenons K et M^AjK comme nouvelles variables indépendantes, d'où

,, AM.û?K2— 2 A(K, M).c;K.rfM + AK.e/M2 ' AK.AM — [A(K, I\l)]2

11 est nécessaire et suffisant que les quatre équations

(A2K = AiKi, A(K, AaK) = Ai(Ki, A^Ki)

se réduisent encore à deux; montrons que l'on peut négliger l'équation A(K, A,Kj = Ai(KS AU\'),

en remarquant que les couibes K = const. sont parallèles; a étant l'arc des géodésiques trajectoires orthogonales ((3 = const.) compté à partir d'une courbe déterminée R, on a en effet

<3) AK = ('^)'a7., ch-'- = d'j^ ^ Ç^ d^^ .

Or nous avons vu (Chap. I, §2, formulé 'y) la relation identique

(4) A(a, Aja) + (A2a)î^ — K.

ce qui prouve que Féquation A (a, Aoa) :;= A' (a', A.' a') est une conséquence des équations a = a',K = K', Ao(a) = Ai(a') et le résultat analogue a lieu si l'on remplace a par la fonction K(a), d'après les formules données (§ 1, du premier Chapitre). L'applicabilité n'admet donc qu'un nombre limité de modes, exactement comme au cas A, : de simples différenliations et éliminations permettent de vérifier la possibilité ou /lo/i, et de Vohtenir.

On ne connaît d'ailleurs explicitement aucune surface de ce type; eomme on a

(5) A« = i, A.a^--, Iv=.--— ,

la condition que -^ -; — soit fonction de a permet de réduire le ds- à la lorme

, ^ ^ , (A — BV „, ,, Il \"' 3 A"n

DÉFORMATION DES SURFACES ETUDIEE DU POINT DE VUE INFINITESIMAL. lî

OÙ A est une fonction de a, et B une fonction, non réduite à une constante, de j3.

o. Surfaces applicables sur une surface de révolution. — S est à courbure totale variable, donc S, aussi; AK et A^K sont tous deux fonctions de K, donc A'K' et A^K' doivent être les mêmes fonctions respectives de K' ; or la condition nécessaire et suffisante pour que les courbes Q = const., jointes à leurs trajectoires ortliogonales

déterminent un système isotherme, est que le quotient -^ soit fonction de (ù; Soplius Lie [IG] a montré que ces trajectoires orthogonales s'obtiennent par une quadrature de différentielle totale; nous écrivons ici, d'après Sophus Lie,

[ ^ ^/Kci — Fï'\ <^" àv ) V au à.') \

L'équation '\i = const. est celle des trajectoires orthogonales de^ courbes K = const., et l'on a

Ai = [jl2(K)AK, ( D(«, O /EG-F*L V^^'/ ' ')ud,^ \du) }'

de sorte que K et 'h sont bien des variables indépendantes, puisque K n'est pas une constante; avec les variables K et i;, on a

dK-^ rf-L2 ^K-^ d'b'-

(3) as-

Mi l'b AK p.«fK)AK

et l'on voit aussitôt que les deux surfaces admettent oc' applicabilités définies parles équations, obtenues après une quadrature,

OÙ y. est une constante numérique arbitraire : chaque surface est applicable sur une même surface de révolution i; on sait, d'après Bour, obtenir, par des quadratures, oo' surfaces de révolution i, non égales, mais applicables toutes entre elles ou sur S et S(, les courbes K = const. correspondent aux méridiens de i, les courbes

l4 BERTRAND GAMBIEB.

orthogonales '\i = const., aux méridiens ; augmenter'!' d'une constante revient à faire tourner 2 autour de son axe et revient à déformer S en elle-même (déformation non réduite à une symétrie ou un déplacement si S n'est pas de révolution); changer de signe d» revient encore à une auto-application de S sur elle-même, en laissant invariante sur S l'une des courbes correspondant à un méridien de i.

6. Surfaces à courbure totale constante. — On a ce résultat important : deux surf aces de même courbure totale constante sont applicables l'une sur l'autre de cc^ modes différents. On le montre géométriquement, en prenant sur la surface S de courbure totale constante K une première géodésique y\ les courbes géodésiquement parallèles à y seront les courbes u = const., u étant l'arc de géodésique normale à y compté à partir de y, ces géodésiques normales à -/ sont les courbes v = const., et le paramètre v est l'arc de y compté sur y à partir d'un point fixe 0{u = i^=o); l'élément linéaire

ds- = (tu- -+- G <:/p-

donne, en calculant l'arc de y, l'identité G(o, r) ^ i, puis en calculant la courbure ereodesique des lienes u = const., ou — ^ --z^ —. — >

la nouvelle identité ( — r— ) = o; on doit ensuite intégrer la relation

\ au /„=o

/G t*" Si 1 on prend K = o, on a

et les conditions initiales réduisent le ds- à la forme du--\- dv- : on a donc une surface développable.

Si l'on suppose K ^ o et positif, K== j— , on arrive par le môme procédé à

ds'^ = du'^ H- cos2 ( — j dv- ,

élément linéaire d'une sphère de rayon R; si K est négatif, K = — j^»

DÉl'OniVIATION DES SURFACES ETUDIKK DL POINT DE VUE INFINITÉSIMAL. l5

on a de même

ds- = du- -h- ch- ( — j dv-,

élément bien connu de la pseudo-sphère, engendrée par une tractrice tournant autour de sa base.

Or, dans les trois cas, la construction s'applique à un point O choisi arbitrairement sur S, puis à une géodésique arbitraire issue de O, ce qui fait bien trois paramètres arbitraires pour appliquer S sur la surface type, plan, sphère ou pseudo-sphère; de même pour la seconde surface, de sorte que l'applicabilité de S sur S, dépend bien de trois paramètres. Si une surface admet un groupe transitif d'applications sur elle-même, elle est à courbure totale et le groupe a trois paramétres. Pour applique/- deux surfaces à courbure totale r une sur V autre, il faut intégrer V équation des géodésiques; si la courbure est nulle, cela conduit à trois quadratures; si la courbure n'est pas nulle, l'équation différentielle des géodésiqucs se ramène à une équation de Riccali.

CHAPIÏHE 111.

ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DES SURFACES APPLICABLES SUR UNE SURFACE DONNÉE.

1. Formes quadratiques fondamentales, — Le problème nouveau, beaucoup plus important et difficile que le précédent, est le suivant : trouver toutes les surfaces applicables sur une surface donnée, ou du moins, si l'on ne connaît que le ds-, représentatives d^un dsdonné.

La géométrie intrinsèque de la surface, indépendauiment de ses relations avec le milieu extérieur, ne fait intervenir que la forme quadratique ds"^, que nous appelons première forme fondamentale; le milieu extérieur introduit la seconde forme fondamentale :

o ^ — s de dx ^s S r d:- x.

OÙ X, y, z sont les coordonnées d'un point de la surface et c, c' , c'ies cosinus directeurs de la normale aux points x,}', z, par rapport à trois

l6 BERTRAND GAMBIER.

axes rectangulaires fixes. On a

D du'- -h 2 D' du dv ■+- D" di''- = ô du- -+- 2 S' du dv -+- 3" dv- ^ S c d'-x es — S de dx ^ o .

dx dx , — — d'-x ou dv

L'expression S de dx est le produit scalaire des deux déplacements concomitants, {dx, dy, dz) efTectué sur la surface, (f/c, dc\ de") effectué sur la sphère unité au cours de la représentation spliérique de Gauss; la forme cp représente donc une quantité indépendante du choix des variables indépendantes (w, t^), tandis que la forme

D du''- + '2 \}'du dv -^ IV'dv^

de Gauss en dépend; il ja donc nécessité, avec les géomètres italiens d'étudier la forme cp à l'exclusion de celle de Gauàs. Dans un changement de variables, les deux formes qiiadraliques fondamen- Lales se transforment en les nouvelles formes relatives aux nouvelles variables; elles définissent ^ à un déplacement près, la surface.

2. Formules équivalentes pour les surfaces aux formules de Serret- Frenet pour les courbes. — Puisque h's droites de paramètres

directeurs

dx dv dz\ [ dx dy dz\ , „^

du du du] \dv dv dv /

forment un véritable triédre, on peut écrire

d'-x . dx „ dx

du- ou dv

(i) (' -^ = A c' + B-j^ -H Cf-,

du- du dv

J- 3 . „ ^dz ^dz

du- du ov

La signification vectorielle de ces égalités montre cjue les coefficients A, B, C s'obtiennent en multipliant par (c, c', c") ou

/ dx dy dz\ fax dy dz\ ^ . ^ . r\ \ v- v •

I — , -f- , -— , ou -;- ) f- ' -^ et aioulant. Un obtient ainsi

\du du du) \dv dv dv I ^

Le niêuie procédé donne- finalement les formules suivantes, analogues, pour les surfaces, aux formules de Serret-Frenet pour

DKKOn.MATION DES SURFACES ETUDIÉK DU POINT DE VUE INFINITESIMAU. 17

les courbes

La surface S et la sphère sur laquelle on elTectue la représentalion sphérique ont leurs plans tangents homologues parallèles : on a, par un procédé semblable.