Troisième forme fondamentale. — On appelle ainsi la forme

quadratique S de-, carré de Félément linéaire de la représentation sphérique. Il y a une relation linéaire entre les trois formes :

c?<T- + ( -p "!- ït; ) S <^c dx -H K ds'^ — o ( ' )

( 2 ) ( EG — F2 ) rfcfS |. ( E ô' -f- G 8 — 2 F o' ; S de dx -+- ( ôô" — S'2 ) ds^- =z o.

On doit remarquer que le changement de signe de â, '5', fî" revient à remplacer la surface S par sa symétrique relativement à un plan ou un point. La donnée des deux formes ds- et da- permet de calculeiimmédiatement une forme (EG — F^) ^r/a- + (ôô" — -è'-) ds- (explicitement connue, puisque èd" — -§'- ne dépend que de E, F, G) proportionnelle à 0 du^-\- 2è' du di' -\- à" dv- ; connaissant ainsi les rapports ô : ô' : ô" et do" — è'-j on en déduit ô, ô', è" au signe près; la donnée de la première et de la troisième forme détermine donc, à un déplacement ou une symétrie près, la surface S, pourvu, Ijien entendu, que les coefficients ô, ô', ô" ainsi calculés satisfassent aux équations de Gauss-Codazzi : cela entraîne trois équations entre E, F, G et les coefficients de la forme da- ou e du'--\- if du d\' -\- gdv-] l'une de ces trois relations est indépendante de E, F, G et exprime purement et simplement que du- a pour courbure totale l'unité.

Weingarten a montré que la donnée des deux formes S de dx et da- détermine une surface S et une seule, sauf déplacement, pourvu que les coefficients ô, ô'^ ô' satisfassent aux deux écjaations de Gauss-Codazzi de même forme cjae les équations (8) du paragraphe précédent formées avec le da-

e du- — if du dv + g dv-,

de la représentation sphérique et que la forme dn'- ait pour courbure totale V unité.

('; On i-eriiarquera qu'un cliangement de sens posiLif sur la normale (résultant par exemple de la pcrmulaliou des noms u cl v attribués aux lignes de coordonnées) change de signe c, c', c" mais aussi l{ et H' de sorte que la formule ( j) reste, comme Cela doit être, inaltérée.

DÉI'OH.MATION DES SURFACES KTUDIKE DU POI^T DE VIE INF INITEi-IMAI..

Nous écrivons ces équations ainsi :

do au

lin)' 112 )' I ., \ \\ l\„

i)u ()%> 9. ôi>^- :>. (hi"-

1 de

a du

ôf 1 de

au "). dv

I de I ôg :i dv 1 au

1 (ic I (^

les symboles de Cliristolï'el avec accent se rapportent à da'-. Pour le démontrer, raisonnons sur la sphère 1 d'élément da"^ comme pour la surface S; la première forme de 1 est c/cr^ et la seconde est ( — da-), car (ic, jK, ^) coordonnées du point courant de i, et (f, c', c") cosinus directeurs de la normale à i coïncident, (c, c', c") étant d'ailleurs les mêmes que pour S. J'applique donc les formules (3) du paragraphe précédent, d'où

= -/cM-

^ — ffC -\-