de

de du de du

du

II y de ■X \ dv \i]' de 7. ) dv

•21 y de 1 \ dv

D'autre part on a le droit d'écrire, en raison du parallélisme des plans tangents à S et 2,

dx du

Je du

de dv

de' du

4> du

dx , de , de

d\- (ht <)v

dv ,de'

~- = ni dv du

de' dv'

, àe'

dv'

dz du

dz dv

On calcule /», n v\\ niullipliant les équations de la première ligne

dy

du ""

dz du

dv

ôz

ôv

Ov

de de' de" . ■ de de' àc" ^ ■ ^ ^ ^

par T-» -r-j -T- et aioutant, puis par —, — > -— et aioutant; de même '^ du du du ^ ' ^ ^ dv dv dv «^

pour m', n' et la seconde ligne. On a ainsi

dx /'S' — g '6 de J'o — e o' de

ôv ~ eg —f^ du eg—f'- dv^

dx / 0 — g fj de / 0 — e 0 de

du eg — /'- du eg — /'- dv

Ces équations (7) ont la même forme que les équations (4) du paragraphe précédent, sauf échange de x^ y, z avec c, c', c" et de E, F, G avec e, /, g. Or les deux équations de Gauss-Codazzi (8) du paragraphe précédent peuvent, entre autres procédés de calcul, être déduites des équations (4) déjà citées, que je recopie :

\ du du dv du ' du

' de n„,àx .,,dx de' de"

àv du OV dv dv

puis écrivant

d / dc\ '^ [àc

dv \du / du \ dv

c'est-à-dire

^^^ dudv dv^ du^

dx /dM dyi\ dx /d^ ^^^~(

du \ dv du j dv \ dv du j

On remplace — ■> - — ri ^~7 par les expressions obtenues précédem- 1 Ou- du dv dv- ^ '

ment, et l'on annule séparément les coefficients de — ^ et — (le terme en c a disparu automatiquement).

Ici nous pouvons recommencer le même calcul : nous écririons, en partant de (6) ou (7),

^'' ' ^ dudv dv- âu-

dc I dm dm'\ de / dn dn' 7ri\dv du ) dv \ dv du

jNous remplaçons ensuite -^, t" r' V? par leurs expressions (5) r ^ du- du dv dv- ' '

et nous annulons les coefficients de 3- et -,- (celui de c disparaît auto-

du dv ^ '

maliquement). Mais alors c'est exactement le même calcul que précédemment, sauf que E, F, G ont été remplacés par e, /, g. Les formules de Weingarlen se trouvent ainsi établies; cela posé, la forme de:'- définit intrinsèquementXa sphère i : par une équation de Riccati, on détermine c(a, f), c{u, v), c"{u, i'} et les formules (7) donnent ensuite x^y, z par des quadratures de différentielle totale; les paramètres entrant enjeu sont, d'une pari la substitution orthogonale à coefficients constants sur c, c', c", d'autre part les constantes additives entrant dans x^ )-, 2; on a donc une surface S et une seule saut déplacement.

4. Équation de Monge-Ampère de la déformation. — Le problème fondamental est le suivant : Edu'--\-2¥ du dv -^(j dv- étant, dans un certain champ de variation pour(w, v), une forme quadratique différentielle définie^ positi\'e, trouver 3 fonctions inconnues x{n, <'), y {il, *■), z[u, «') telles que l'on ait identiquement

(l) dr^ -H c/r* -h r/z- = E r/u'^ — 2 F du de -H G dv-,

Darboux écrit

( 2 ) dx- -+- dv"^ ='E du- -+■ ■?. F du dv -\- G dv- — ( — rf« -H y" >

\<Ju dv

puis exprime que'la courbure totale du second membre est nulle; p,

, , . àz àz d- z d- z d- z p , i

a, }■ s, t désignant- — , -r' 3-^' 3— r' -7-;' on annulera la quan- ^ ' ' ' ^ Ou dv du- du dv dv^ - '

lité DD" — D'2 calculée par la formule (9) du paragraphe 2, en j remplaçant E, F, G par E — p-, F — pq, G — 7-. On a ainsi une éc[uation de Monge-Ampère :

( 3 1 /i ( EG - F2 ) [52 — rt-^ pr \ 7 \ -^ q