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h29) . dlojrKl

\ 99 ) dr fA' } I i <;a (^^ du dv du dv \ dy. d\i '^ df> di ) d losKT de ^ii' 2 di' I doc d;i

Dlil-OHMATION L)KS SURFACES KTLDIEE DU POINT DE VUE INFIMTESI.MAL. Jl

Ce sont les équations de Darboux; elles appartiennent au type hyperbolique, avec caractéristiques réelles et distinctes, pour tout champ où la courbure totale reste négative. Elles nous permettent de démontrer deux résultats importants. A oici le premier :

A. Etant donjiè une surface S à courbures opposées et deux courbes C et Y se croisant sur la surface en O sans y être tangentes^ il existe deux déformées et deux seulement, S, et Sj, symétriques l'une de Vaulre, telles cjue G et Y soient devenues asymptotiques de S, et S,.

Au second fascicule, nous verrons lapplication importante de ce résultat aux surfaces à courbure totale négative : deux surfaces de cette espèce sont en effet applicables dès qu'elles sont isométriques. Voici maintenant la seconde proposition :

B. On peut déformer la surface S autour d' une ligne asymptotique maintenue rigide et les configurations obtenues dépendent d'une fonction arbitraire d' une variable.

Soient la surface S et une asymptotique actuelle C; choisissons un j)oint O de C et, à partir de O, traçons sur S une courbe F arbitraire^ non tangente à G en O ; pour chaque tracé de Y il existe une déformée et une seule S, de S pour laquelle G et F deviennent des asymptotiques G, et F, de S|. G, ayant sa torsion de même signe que G. Or G et G| doivent être égales., car en chaque point de G, la courbure de G, est égale à la courbure géodésique de G, donc à la courbure de G et la torsion est égale à z y — R, ; ayant le même signe que j)our G; G et G, sont donc égales. Il faut bien noter que cette propriété de déformation continue ne s'étend pas aux asymptotiques singulières déjà signalées (ligne d'an^êt ou arête de rebroussement). Ainsi une surface développable est complètement définie par l'arête de rebroussement enveloppe des génératrices.

La conclusion précise qui se dégage de ce paragraphe et du précédent est la suivante :

Si S est une surface connue cl G une courbe de S, la donnée d'une courbe F correspondant à G après déformation éventuelle (on donne sur G et F deux points homologues, les sens correspondants de circulation) détermine deux surfaces S, et Sj, réelles si le rayon R de

Sa liKRÏRAND GAMBIER.

courbure de T est inférieur au rayon de courbure géodésique p de C ou (F). La construction indiquée pour l'angle Q fixe la dévoloppable circouscrite à S| le long de F, et de même celle circonscrite à S', .

Dans le cas particulier où G est géodésique sur S (et par suite sur S, et S'i), la courbe F peut être choisie arbitrairement^ les surfaces S| et S', sont réelles^ car 0=^0:) (écartons le cas où F serait rectilignc). La valeur de B est alors o ou t:, de sorte que les deux surfaces S| et S| se raccordent le long de F, mais elles sont distinctes; on le reconnaît aisément en supposant d'abord F plane, auquel cas S, étant donnée, "la symétrique de S| relativement au plan de F donne S', ; il suffit ensuite de déformer F d'une façon continue pour voir que S, et S', restent distinctes. S) et Sj ne peuvent se confondre que si la géodésique G partage S en deux régions isométriques, G étant invariante dans lisométrie. La présence d'une telle géodésique doit être considérée comme une circonstance exceptionnelle.

Dans ces deux cas que nous venons d'indiquer (G non géodésique ou géodésique), S) et S', sont isométriques, non nécessairement applicables.

Si maintenant R=:p, mais T^zhl/-— 5 F est asjmptotique

singulière, arête de rebroussement; en réalité les deux nappes de S), que je peux appeler S| et S', sont les équivalents des deux surfaces S, et Sj rencontrées dans l'hypothèse précédente (R<<p) : S, et S', continuent à être isométriques entre elles et donnent l'homologue d'une seule '^ région limitée sur S par C, et cela d'après le signe de T--|--i^' Si donc G était géodésique sur S et F rectiligne, on pourrait se donner arbitrairement la disposition des plans tangents à i le long de F, ce qui revient à se donner T, et si T-H- tt ^ o, on a encore une arête de rebroussement.

Enfin si R = o, T--|- - =0, on a le cas d'une déformation continue possible autour de F restant invariante (si C est géodésique, il y a donc possibilité de la transformer en droite, avec une distribution convenable des plans tangents).

Donc, quand on considère le cas général, R^p, un arc de F où R <; p donne une surface S| représentant une région de S à cheval sur G et les extrémités d'un arc de F où R devient égal à p indiquent que l'on rencontre une arête; de rebroussement de S, : ce

DKFORMATIOX DIÎS SURFACES liTUDIKIi DU POINT DE VUE IM'IMTÉSIMAL. 33

sera précisémcnl le but de mon deuxièiiie mémoire de montrer la nécessilc pour certaines surfaces, les sui'faces convexes fermées, de ne pouvoir rire déformées qu'en parlie.

7. Étude de l'équation de Monge-Ampére. — Si la Géométrie a permis de former Téquation de Monge-Ampére de la déformation, l'étude de cette (''C|uation et de la détermii;ation des cas, très restreints, où elle peut «Mre intégrée par la méthode de Darboux, relève uniquement de la Tlu'orie des équations aux dérivées partielles. On connaît le beau Traité de M. Goursat [8| sur ces sujets et les recherches de MM. Gau [i] et Gosse [7]; M. Gau a étudié spécialement l'équation de Monge-Ampère de la déformation, dans un Mémoire couronné [Annales de r Ecole Normale, 3" série, t. ii2, 1926, p. 89-141), mais ses résultats, malgré leur importance, avaient bi'soin d'être mis au point et complétés; M. Gosse a pu achever la discussion et a bien voulu rédiger lui-même l'exposé qui suit, du moins pour sa partie analytique, que j'ai complétée par les explications géométriques.

Au point de vue théorique, il est indifférent d adopter tel système de coordonnées curvilignes plutôt cjue tel autre. 11 est donc commode de rapporter la surface à une famille de géodésicjues \ = const. et à leurs Irajec-toires orthogonales X = const.; la ({('■termination des surfaces d'éb-iiient linéaire

dépend de rmlégratioii de Fcquation

où Z. désigne lune des coordonnées rectangulaires dun point de la surface, et I*, i), Pi, S, T les dérivées -y^j j^, •••; le lecteur se rappellera que \ et \ ne sont pas des coordonnées rectangulaires, mais des paramètres curvilignes. La transformation d'Ampère

X) dq

nii

ôq-^

ÔY

dq'

o1 ItKRTRAND GAMBIER.

donne à (E) la forme linéaire

(E') /' -i- (/«iH- ini)s -r- iiiym-it — ^^(a", y. /?, q)

I — 9.« dV

' lU 1 - /fi ., = — -— ,

i iq, X) dq

(3) { 'n^rn,= Vl^[y^-.^^^)^^(jrj,

Ces équations (E) ou (E') ne peuve/it admettre de solutions explicites dépendant d'au moins une fonction arbitraire c/ue si elles admettent au moins une involutio/i.

M. Gosse montre que (E') n'admet d'involution que s'// existe un cliangement de variables T

qui ramène Vêlement linéaire donné à V une des deux jortnes

(I) ds''-= dii--^ •>.[?< -H c((')] dv-,

( Il ) <is2 = du'^ -+-[u-<({v) ^ •lubiv) -\- c{v)]dv-

qui conviennent aux surfaces réglées.

Conclusion. — Le problème de la déformation ne peut admettre de solution explicite., dépendant cV au moins une fonction arbitraire, que pour les surfaces applicables sur une suif ace réglée (').

Pour la forme (I), l'équation (E) admet, quelle que soit la fonction civ)., les involutions

L'équation (E') admet alors, outre l'intégrale intermédiaire

les involutions y ^^± \ ; elle prend la forme

(') C'est M. Gau qui a signalé le premier ce résultat important; mais en continuant l'application de sa méthode, M. Gau n'a retrouvé que le premier des cinq cas d'intéj^rabilité complète que je signale d'après M. Gosse; ces cinq cas sont donnés explicitement aux tomes 3 et 4 de Darboux; M. Gosse a montré que ce sont les seuls.

niiFORMATION DIÎS SURFACKS KTIDIÉE DU POINT DE VUE IXFIMTESIMVL. 33

el l'cnsemhU' de ces rrMillats amène nattircllemont ;i la transformation de Biicklund

qui donne i*(''quation de Woingarten

(E), (E'), (E") sont susceptibles d\ine solution explicite dépendant de deux fonctions arbitraires dans les seuls cas suivants :

1° c = cnnst. :

(E) admel un invariant d'ordre i et 2 pour chaque système de caractèrrsiiqiies; elle s intègre donc complètement; en remplaçant u |)ar ^/=rcon.st. on peut supposer c ^ o et l'élément linéaire obtenu du- ^r- iu di- détniit lune ou lantre nappe de la développée de la surface minima générale; on obtient donc, par les formules classiques de Weierstrass, les surfaces représentatives du ds- en jeu, et cela par des formules dégagées de tout signe de quadrature, contenant deux fonctions arbitraires d'une variable

■1" c — — îKjei^",

OÙ K et K| sont des constantes quelconques; (E) admet un invariant d'ordre 2 et .> pour chaque système de caractéristiques, elle s'intègre complètement.

Pour R, = 0, on a les surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution x- -\- y- =^ ipz ou x--\-y-^=^ ipiz, oùp est une constante réelle; ces deux paraboloïdes conduisent tous deux à des surfaces réelles. Pour obtenir les formules explicites qui définissent la surface S applicable su?' un tel paraboloïde, traçons sur la sphère unité une courbe B arbitraire (c, c', c"), puis une autre courbe Bi arbitraire (c,, r'|, c,) de sorte que c, c', c" d'une part, r,, c\, c\ de l'autre sont des fonctions respectives des paramètres a et 3 liées par les relations

36 BIÎRTKAND GAMBIER.

La surface S est définie par les quadratures (s ^± i) :

X ■:^ — / c" de' — • c' de" / c\ dc\ — c\'dc\ -i — (c' c\ — c" c\ ),

(g)<j^ = — je de — c de I Cl def — Cj dci -h ■ ( c Cj — ccj ),

= — I e' de — e de' -" ; e\ de, — c, de', — ( ee, — c'ci ).

Elle est applicable sur le paraboloïde de paramètre 2t; si rest réel, on doit prendre les courbes B et B, imaginaires conjuguées; si t est imaginaire pure, les courbes B et B, sont quelconques vis-à-vis l'une de l'autre et réelles; il est impossible, comme l'a montré M. Cartan, de faire dispaïaître les signes de quadrature. Pour t réel, la surface £=-|-i est applicable sur le paraboloïde P : x--^y-=^^zz de sorte qu'à un point réel de S corresponde un point réel de P; mais pour 8=: — I, à un point réel de S correspond un point imaginaire

de P (fCOsO, /"sin9, — où /• et 0 sont imaginaires pures) et réciproquement à un point de P réel correspond un point iuiaginaire de S; en passant, remarquons que cela nous donne un bel exemple des solutions signalées aux numéros précédents, pour lesquelles Ag J> i ; cet exemple est fourni par la nappe imaginaire de P correspondant à la nappe réelle de S(£=: — -i). Le cas de t imaginaire pure n'exige que l'introduction des fonctions de variable réelle, tandis que celui de z réel exige l'introduction des fonctions de variable complexe : aussi les surfaces correspondantes ofiVent des caractères bien différents. On peut, pour t imaginaire pure, prendre pour r, c', c" des fonctions réelles ayant une dérivée première continue, mais dépourvues de dérivée seconde : on réalise ainsi des surfaces réelles, ayant un plan tangent en chaque point, mais pour lesquels les cb'-ments du second ordre cessent de pouvoir être définis ou du motns ne possèdent qu'une partie des propriétés auxquelles nous sommes habitués ; ici, il y aurait en chaque point, tangentiellement à cha(|ue direction principale, une infinité de lignes de courbure, formant ce que M. Montel [14j appelle un cstiiaiie.

La forme rr H-2K,e'^'', où K, n'est pas nul, peut étic réduite à la forme plus simple

(lo) — p//c— 2/>e'~V'^

DbllOKMATION DES SURFACES ÉTUDIÉE DU POINT DE VUE INFINITÉSIMAL. 87

et donne tontes les surfaces applicahlos sur le paraboloïde

(u) (y- iz)y =^ — kx

qui louche le plan de 1 infini en un point non situé sur le cercle de rinfmi et acknet un plan directeur isotrope. Weingarten a montré que le <^/.s- peut être réduit à la forme élégante (du type de Liouville, comme pour toute quadriquc)

ni \ — II) 3° c = (•-,

où // est un entier; le remplacement de ii par son complément relatif à i est sans effet; ii ^ o ou i redonne le premier cas; on supposera donr n positif. ( E) admet un invariant d'ordre n et un autre d'ordre /j H- i ; pour /? ^ 2, on a les surfaces applicables sur le para- Ijoloïde à plan directt'ur isolropc et à axe isotrope

donl le (Is- jx'iit èlre ramène- à la forme

( 1 4 ) ils- = /i - (il — i> )i n du- — r dv- ).

Pour /? >> 2 , on obtient des surfaces applicables sur la surface imaginaire de degré 3 à plan directeur isotrope

(13) y — iz = -2j.-(y--iz) ~ (y — iz)^.

Cette formule i i5) est valable d'ailleurs même [loiir /i = 1 et 71 =t 2. Les formes remarquables trouvées ici aux cas 1°, 2°, o" vont être retrouvées au numéi'o suivant, à propos de la méthode de ^^ eingarten.

4" 01 r =: /.<•-, ou A n est pas de la lorme avec ii entier,

la solution de ( E) peut être représentée par une intégrale définie dépendant de deux fonctions arbitraires.

Dans tous les autres cas relatifs à la forme ( I), il iiy a jamais diantre involution que

BliRTRAND GAMIÎIER.

La première donne les surfaces réglées à plan directeur isotrope signalées par Darboux, Théofie des Surfaces^ t. IV, p. 333 : la fonction V de v étant choisie arbitiairenient, les coordonnées pariimétriques de ces surfaces sont

( 7 — '■ ^ = V u -1- I c V dv — I ^, dv.

L'hypothèse V = t' donne justement l'échantillon ( i 5). La seconde involution R = o, bien qu'analjtiquenient distincte de la précédente, redonne les mêmes surfaces, car elle conduit à prendre la coordonnée >', par exemple, égale à

(17) -^ "" ir "^ /

OÙ V est une fonction arbitraire de c ; il faudrait ensuite calculer./et ; par l'identité

( 18 ) dn- --- 2( u -- c) cA- — dy- ss d.i- —- dz-,

mais il est parfaitement inutile de faire le calcul si Ion voit que les formules (16) donnent précisément pour 7' la forme (i 7) ; on retrouve les fonctions x^ z définies par (i()) (' ).

Pou/- la forme (II) V équation (E) admet pour chaque système V involution R= o qui fournil les surfaces réglées cjue fournit la. méthode de Darboux pour les surfaces réglées générales.

En tout cas., pour la forme (II), que Vêlement convienne ou non à une quadrique, V intégration explicite de (E) est impossible; les seuls cas oii Von puisse obtenir V intégration explicite sont donc fournis par la forme (L), pour les formes très particulières indicjuées pour c{v) et il est très remarquable que ces cas eussent

(') Les surfaces réglées à généralrices isotropes conduisent ù l'élément linéaire

\Pdii dv

ds"- =

{u-vy

où u est fonction de 11 seul; les surfaces réglées correspondant à cet clément s'obtiennent en suivant la marche indiquée par Dari)oux ; toutes ces surfaces sont imaginaires sauf si U est une constante, auquel cas on a la sphère.

DKFORMATIOX DES SURFACES ETUDIKE DU POINT DE VUE INFINUfESIMAL. 09

été obtenus géométriquement par ^^ eingarten, Darboux, Baroni et M. Goursat.

8. Méthode du trièdre mobile. — Une méthode que le géomètre italien Godazzi a imaginée et que Darboux a appliquée systématiquement consiste à relier l'étude de la surface S au mouvement d'un trièdre mobile; en un point M de S, l'axe des z sera la normale à S et les axes M.r, M)- sont rectangulaires, situés dans le plan tangent, détei'minés par l'angle m compté depuis Ma" jusqu'à la tangente à la courbe f = const. Les translations élémentaires de M, les rotations élémentaires du trièdre mobile T relativement à trois axes fixes rectangulaires OXA Z sont appelées l du + £, f/r, r, du -+- dv^ Z, d,u -\-^yd^ el p du -\-p\ d\\ cj du -\- q^ c/r, ;■ du H-'/'i dv ; on a ici Ç = Ç, = o et les formules classicpies du mouvement à deux paramètres donnent

(JV 1)11

'Il ce

= rpi

— pru

dv au

— 'iPu

P''i\—fiP

î?!— g-çi = o-

Appelons ds l'arc élémentaire pour un déplacement sur la surface S, 0) l'angle que fait la tangente à cette courbe avec l'axe M.r ; on a

{ i. ) ds cos M = ; du — ^ 1 dv, ds sin w = r, du — r, 1 di' ;

{'S ) ds- = ( ; rf;< - 'i dv y- -r- ( r, du - r, , dv )'- .

Si la surface S se dé foi' me en entraînant, avec elle le trièdre T, les translations 2, "O, ^i, ra demeurent invariables et aussi r et r^. Déformer la surface revient donc à déterminer les inconnues p ^ q^ />,, ^1 au moyen des données ;, ;,, vi, y], ; ces inconnues sont données par les équations (i), dont on défalque les deux équations donnant explicitement r et /•, en fonction de \^ ;,, r;, ra. Quand l'élément linéaire est donné, les relations

déterminent £, ti, vj, yji autant que ces fonctions peuvent l'être; on peut choisir arbitrairement l'angle m et c'est ce lien, arbitraire, du

trièdro. T avec la surface S qui donne de la souplesse à la niélliode et permettra rol)lention des Idéaux résultats de \\ ein<;<irten. On aura alors, en appelant a ranglc des courbes v -= const. et // = const., les expressions explicites de ç, ry, £,, /}, :

i \ = i/K cos/», Y. = i/Esinm

^ f 1 == v/Cicosn, '^1^ ^,'Gsin/i

Voici quel([ues résultats utiles pour la suite : ]).ir un point (ixe O de l'espace, menons le trièdre T, parallèle à T; T, a uièines rotations que (T); le point m à la distance i sur Taxe O; de ce trièdre T, donne la représentation spliérique de Gauss; du étant l'arc élémentaire décrit par in^ 0 l'angle compté depuis Mx jusquà la tangente à cet arc, on a

( d(j cos 0 = 7 du •q\ dv, di si ii 0 = — ( p du --- j'i dv ), (5) ■,

( (/(T- = {p du ~r p\dv )- -i- ( c] du ■-- rji dv)-.

L'équation aux rayons de courbure principaux est

(G) ^ Pq\^(]P\ )?--^{fJ''-i\ — q\-ri — ^/'iH-;i/))p — fr,,- t,^, =o.

et, en tenant compte d'une des équations (i ), on relrouxc l'expression de la courbure totale Iv de S, en fonction uniquement de l'élément

linéaire

ôr ()/i I Oi' ()u

Or la métliode classique du mouvement à deux paramètres conduit : 1° au calcul de />, Q^ ft, q\ p^i" les l\ équations déjà citées : 2" à une équation de Riccati pour calculer les cosinus (c(, />, c) de OX par rapport à M.rjc, puis ceux («', h\ c') de 0\ et (a', 6", r") de OZ. Cette méthode ainsi conduite est, au fond, équivalente au calcul de ô^ d' , 0" proposé au paragraphe 2 : en eiTcit, dillérentions,

^ , àx ,, ()y ^ „

Ou au

dv (Jv

ôz

~ (ht

àz

DÉFORMATION DIÎS SURFACES ÉTUDIÉE DU POINT DE VUE INFINITÉSIMAL. 4l

on oblienl

S C c/ -^ =5 du -+- O' dv = ; S C (/a -r- Tj S c rf^

= — ? ( g du -\- q 1 «r/i^ I ^^ rXP '^'^ -^ fidi-

ùx Se d — = 0 du -i- o" dç — J i S c rfa -h r, , S c dO

= — Çi ( </ "'" -^ Çidv) --r^i(p du +pidv ), puis

(lO) /?Tj — g; = 5, pir, — <7i3 = /^r,!— r^^i = o', /?i r^i — ç-i ^i = 8",

ce qui prouve bien que la connaissance de/j, p,, (/, (/, entraîne celle de 0, 6', ô', et réciproquement.

Or Weingartena uiontré qu'il est préférable de calculer («, d , a") et non («, 6, c) : le calcul de /J, ^, /),, ^,, «, «', «" se fera d'un seul coup et sera réduit à l'intégration d'une équation de Plonge-Ampère; trois quadratures donnent ensuite, comme plus haut, les coordonnées de M, mais l'équation de Piiccatl a disparu. Je vais exposer cette méthode ainsi envisagée comme une simple modification de la méthode du trièdre mobile.

Il importe de donner quelques mots d'historique :

Weingarten a, dans deux Notes des Comptes rendus de l'Académie des Sciences (Paris, t. 112. 1891, p. 607 et 706). donné, sans expHcation aucune, un premier résultat que M. Goursat a pu, aussitôt, expliquer aux yl/i«a^es de Toulouse, t. o, 1891, et Darboux a reproduit l'essentiel de cet exposé de M. Goursat au Chapitre XIII de la Théorie des Surfaces. Puis Weingarten, dans un Mémoire couronné par l'Académie de F^aris en 189/1. a exposé !a niélliode que je vais analyser, toujours sans explication, et de telle sorte que l'on peut se demander si la méthode (< singulière » de 1891 (c'est le qualificatif donné par Darboux) est distincte de celle de 1891 ou non i en réalité le résultat de 1891 est une conséquence de celui exposé postérieurement en 1894); ce Mémoire a été imprimé aux Mémoires des Savants étrangers, et en 1896 les Acla mathematica [19] le reproduisent avec un complément assez bref faisant entrevoir le lien des résultats de 1891 avec ceux de 1894. Darboux, au Chapitre XIV de la Théorie des Surfaces, t. i, donne une explication géométrique du Mémoire couronné; je n'ai eu qu'à compléter par quelques remaïques l'exposé de Darboux i)Our mettre en évidence la suite naturelle et en quelque sorte obligatoire qui fait reconstituer au chercheur les stades de la méthode de Weingaiten. Un dernier progrès restait à faire : monticr quel lien relie l'équation de Monge-Am|)èrc donnée plus haut et celle, également du type de Monge-Ampèrc, trouvée par Weingarten et c'est encore à M. Goursat que nous (levons l'explication définitive; dans une Note des Comptes rendus, 1925, puis au Bulletin de la Société mathématique de

France 1927, [9]. M. Goursat donne la transformation de lîacklund qui fait passer de l'une des équations à l'autre. J'ai tenu à faire la synthèse de ces résultats de Weingarten, Darboux et AI. Goursat; le renversement de l'ordre historique s'impose; d'autre part je m'efforce de convaincre le lecteur qu'ici, comme dans toute question mise soigneusement au point, il ne reste plus trace de mystère ni d''artifice.

0. Méthode de Weingarten. — ■ Les cosinus (a, a' ^ a") ne font intervenir qu'une tangente liée intrinsèquement à la surface; le point (rt, a' , a) décrit une sphère 2i et donne une représentation sp/iérique nouvelle de S; la sphère i est vine stirface connue, que nous savons rapporter de bien des façons à un système curviligne {u' , c'), dont le choix reste arbitraire pourvu toutefois que (a, a', «") soient exprimés explicitement en (i//, v)\ ce sera, par exemple,

, , u' ^ v' , . r' — u' „ II' v' — I (i) a = 1—,} a ^=^ i — j—it a — ^—,

ou tout autre système. Le calcul de (a, a', a") en fonction de («, v) revient donc à calculer {u , e') en (m, e) ou, ce qui est équivalent, (;<, r) en fonction de (?/, e). Nous avons à calculer jy, </, yO| , <7i, f^, »' en fonction de u' , r' ; cela nous fait r/e«.r inconnues supplémentaires, mais l'équation de Riccati disparaît, grâce aux formules explicites telles que (i). Soit donc l'élément linéaire connu ( 2 ) ds- = e du'- ~r- if du dv' — g dv'-

de la sphère S dans le système m', v' ; j'écris ( 3 ) da- — da- ~ dà - = e du- -- ?./ du dv' — g dv'- ,

ce qui donne trois équations entre u\ v' et p, q, />,, 7,, u. e : une des quatre équations primitivement obtenues entre /:>, (l-iP^^ ^n ^5 '' doit donc disparaître comme conséquence des trois autres et des trois équations découlant de (3). Or écrivons les équations classiques de

cinématique

b{r du- rxdv) — c{q du -r- qxdi').

da' = b' ( r du

da" = />"(/• du

/•] di' ) — r' [q du -r (j\ dv ), r^dv) — c"{q du -- q\ dv) ;

d'où, au lieu de (3),

( 5 ) e du"^ -h ■>./ du' dv' -+- ,.;' dv'-

[ du V'du'

ri •,— ) du' au

[ du ai

àv'

dv'

— ( q du -+- q^ dvp,

1)1:F0RMATI0X des surfaces étudiée du point de vue INFINITESIMAL. ^O

\(J étant le paramètre différentiel du premier ordre relatif à C élément linéaire de la sphère i, écrire que le premier membre de (5) est carré parfait donne

/•^ \u -^ ar/'i \(u, p) - /-"f Ac = i

et, cette équation vérifiée, l'extraction de la racine carrée donne

au du'

Tit^'

où Q et Q, sont faciles à calculer en fonction explicite de e, /, g\

au ai,' du dv . . . , ,, ^ , X , . .

;•. /■,, — ,-, — zi -—,1 -— :; ces trois équations (o) et (7) sont les trois

ou Ou i)v iJv ^ . , \ y /

équations complémentaires annoncées. Il reste maintenant à indiquer (^pielle est l'équation que nous pouvons supprimer du système

ôv ()U

V'i— '■'Zi-

— = rpi—p/i.

IJU

)i- ôr,

'jfP'

Le point (r/, a\ a) décrit la sphère i; le trièdre T, d'axes parallèles à ceux de T, qui a son origine en m, a des translations élémentaires l! : l\i 'fil 'f\yi C', C| égales, d'après les formules (4)-> respectivement à o, o, /■, /'i, — q^ — ([s et des rotations égales à celles de T; ce trièdre joue, vis-à-vis de —, le même rôle que T vis-à-vis de S, sauf qu'il faut permuter circulairement le*nom des arêtes, car la normale à S s'appelle M;; et celle de i, înx\\ appliquons donc la formule (7) du numéro précédent à la courbure totale de i qui est égale à 1 ; on voit que l'on a automatiquement

dp 'dî-

iqx -f- ^7/-,.

On supprimera donc la première équation (<^); on conserve les trois autres et on leur adjoint (6) et (7). L'élimination de p et p^ peut d'ailleurs se faire entre les trois équations (8) restantes; on a

'hi

àr,

Vh — <l-.\

44 BKRTRAND GAMBIIÎR.

Les équations (-) donnent, d'ailleurs explicitement, q el q^] on remarquera que leur difierentiation donne

dQ àQi /àcj dgA/àii ,)v au ài> \ ^^^^ ai'' âu'~\dv (Ju Jxâû' ôv' '^ àv' oïl' /''

et que Téquation (9) devient une équation ne contenant plus que u^ v et leurs dérivées des deux premiers ordres en il et v' (on se rappelle que l'élément donné de S a permis de calculer ;■ et /', explicitement en u et v) ; toute la difficulté est donc d'intégrer le système des deux équations (6) et (9) aux deux inconnues ?/, c et c'est là qu'intervient l'interprétation géométrique de nos opérations analytiques dans le but de donner à (G) une forme propice à la résolution en c, par exemple. En tout cas, une fois «, c calculés, rappelons que r/, a\ a" seront connus explicitement en u' et v' (ou en u et r); les formules (4) où nous remplaçons c, c', c" par a' b" — b' a\ à'b — b" a^ ab' — ba' deviennent

'^^ 1 r '1" /' '/x '^^^f- 1 , 'III L< ,1

r— = Of — ■ q{a b — o a ). -— = bi\ — q\( a b — b a ).

Ou ()v

I N ) ^<^' , I ,11 I „ s àa' ,, .„,.,„ ~.

(Il) , -,— = b /■ — g (a b — ■ b a), -— = b r,^ q,( a b — b a),

\ ou -' dv

-7— ^ b" r — q(ab' — ba'), - — = b' /'i — qAab' — ba').

Ces deux systèmes, où l'on regarde />, b' , b" comme les inconnues, sont linéaires, évidemment compatibles, de déterminant respectif

r(r^^q-i) et. ri{r1~~q\);

l'un d'eux, puisque /• et /', ne peuvent être nuls ensemble, donne 6, b\ b'; on a ensuite les coordonnées (X, Y, Z) de M dans le système OXYZ par les formules

X — I a (^ du -h ^1 dv ) -+- b (-q du + qi di> ),

} V = fa'{idu~h>

= I a' { \ du ~ çi <A' ) + b' (■!] du J- rji dv ), / «"(; du -h ;i c/c) H- 6"(r, du

ivi)

T. , dv

l^écjuation ((i) ne contient que les dérivées premières de u et r; l'équation (9) contient les dérivées secondes. Supposons que l'on ait

pris sur la surface S une famille quelconque de courbes u = const.; associons-leur une famille de courbes (^ = const. , puis essayons de changer cette dernière famille de façon à simplifier (6); on remplace donc u, r par //, c" avec

On aura donc, avec les nouvelles rotations /•" et /•",

(i4) r'^du— r1di>^=rdu^ ?idi\

ou av

^ âv au \(h>^ du J dv •' '

Puisque /• et /•, sont connus, /(w, r) est une fonction connue de u et r; nous calculerons r" par la quadrature

(17) ''"= / fyU,v)dv-r'^Ul),

OÙ r, e^t une constante numérique arbitraire et '|('<) une fonction arbitraire de u: on aura donc

On peut maintenant calculer un angle a par la quadrature de difTérentielle totale

^ ^^ du dv^ '

Or, conservant les courbes u et c», substituons au trièdre ï du début un autre trièdre obtenu en faisant tourner T de l'angle a autour de M c : le nouveau trièdre a pour rotations élémentaires

/•o— — et /•'— — -, ()u ' (^ro

si donc nous supprimons les indices, avec le nouveau trièdre et les nouvelles courbes de coordonnées, on voit que, par de simples quadratures et en consentant la famille arbitraire de courbes u = const., on a réalisé les égalités

4C) BEUTRAND GAMBIER.

L'équation (6) prend la forme simple

et il n'v a jdus qu'à remplacer c par cette valeur dans (9); ce sera l'équation définitive fournissant ii en n' et v' et toutes les autres inconnues se calculent de proche en proche. On doit calculer les invariants de u relatifs à léléinent linéaire de la sphère i, défini par léquation

( vi ) ds'- = e (la- -+- if<lu' <U'' — g ch'-.

Comme on a aussi

(•>3) fis'- ~ V- (lu- ->r- [q du \' q^dv )'-,

on pourra, grâce aux propriétés d'invariance, calculer ces paramètres avec les variables u et c; en tenant compte des formules

da da

('>.4) -— = b?- — cq --- bv — cq — ~ bi\ — cq^^ — cq^.

Ou ^ av

on trouve que la résolution en 6, h' ^ ^" de (1 1) donne

On a, eiii opérant sur (23),

l \u = — , J^ilu = — -^ — 5

< vJ) ) <^

/ A( Au, u ) =: 4-^> ^-2^ == — -^ -•- -2—, \,.,u = -^.

(. v^qi vqi v^qt " vq^

Ces formules tiennent lieu des résolutions indi(juées plus haut.

La dernière équation (8), écrite en y remplaçant i-, -^, -^ par ^ ^ ' • ' ^1 7i '/i .

les valeurs déduites de (26), est l'équation résolvante de Wein-

garten

( E') ( 27 ) T,A-.,f<-! \-,ii ■- —, Mu,\u)^o,

où V est remplacée par • Si nous emplovous le s\slèmc des

cooi'donnécs

I xy I -t- xy .ry -r- 1

DÉiORMATIOX DlîS SLRFACliS ÉTUDIÉE UV POINT DE VUE INFINITÉSIMAL. 4"

, ^ ^ . . , âu du à- u ()- Il ()'- u

ppelons p, a. i\ s. t les dérivées -r- . — , -, — ? 5 — •, et i)our

^ ^ i ' j' ' ()x Ov a.r- (J.rôy ûi- '

abréger

on a alors

i — xy I -^ xy

' Su= (i xj-y-pq, Wu = (i — xyY'^gr^ — ps }(pt^— cjs ),

(3o) ; -^- — i'^^^)^' A{u,lu)= -^ — (ipqs p-^t^--cj-^ry\

I K (1 — xyY*

Ceci prouve bien que l'équalion résolvante esl du type de Monge- A m père.

10. Explications géométriques de la méthode de "Weingarten données par Darboux et M. Goursat. — Darboux signale cette propriété : par le point xM de S menons une tangente M^ attachée intriiisèqueinent à S, c'est-à-dire définie par Tangle y. = (M.2r, M^) donné a priori en fonction de //, c, E, F, G; dans la congruence rectiligne ainsi formée, extirpons une surface réglée R; la ligne de striction de R est on général non située sur S; la condition nécessaire et suffisante pour que la ligne de striction K de R soit sur S est donnée par V équation

(!) /• du — /■] o?i' — ih. =<i

<jui ne change pas de forme si S se déforme.

Cette équation (i), si l'on se donne a a priori, estime équation dilTérentielle du premier ordre qui définitoo' lignes Kde S, lignes Kdéfinie^ i?ilrinsèquement : mais notre but étant de simplifier les équations, nous nous donnons au contraire a priori les courbes K, de sorte que l'équation (i) fournit a par une quadrature : la constante que l'on peut ajouter à a est constante sur chaque courbe K, mais peut varier d'une courbe K à l'autre : c'est une fonction 9(K). L'idée que A\eingarten n'a pas explicitée est donc d'avoir pris r^=^o de façon (jue du = o et y. = o fournissent la solution de (i); on a choisi arbitrairement les courbes K (prises pour courbes u = const. ) et obtenu la congruence correspondante pai- une quadrature.

M. Goursat a trouvé le moyen élégant de rattacher les résultais

BERTRAND GAMBII'R.

obtenus en 1891 par Weingarten à ceux de 1894 et obtenu du même coup la transformation de Bàckhmd échangeant l'équation de Monge- Ampère obtenue pour la déformation aux paragraphes 4 et 7 avec celle que Woingarten signale et qui est aussi du type de Monge- Ampère.

Supposons choisies sur S les courbes K et les tangentes (t) associées; de O menons 0/j. parallèle à (t) et portons sur 0/j. une longueur <]>(K) ne dépendant que de K. La surface 1, lieu de /j., admet comme sections par les sphères concentriques de centre O les courbes K = const. La normale à 1 en p. est une droite {n) parallèle à une certaine tangente Mn de S liée elle aussi intrinsèquement à S : l'angle {Mx, Mn) ne dépend que de l'élément linéaire de S, du choix des courbes K, du choix des tangentes (t) associées [ou de 9(K)], et du choix de la fonction 'i>(K). Si S se déforme au sens de Gauss, entraînant Mt et Mn, la surface 1 subit une variation (qui n'est pas une déformation) où chaque configuration 1' correspond univoqucment à chaque configuration S' et réciproquement, toutes les surfaces i, 1' , ... sont intégrales d'une équation aux dérivées partielles E, du second ordre, du type de Monge-Ampère, ne dépendant que de l'élément linéaire de S, de K, ©(K) et 4^(K). A toute surface solution de E, correspond par trois quadratures de difTérentielle totale une surface vS et une seule (sauf translation). Ces résultats s'obtiennent aisément en prenant comme lignes de coordonnées les arêtes de rebroussement situées sur S des congruences {t) et (/?,). Les coordonnées de fj. étant (X, \, Zi, les cosinus directeurs de la normale en p. à 1 étant C, C, C", on a

}, satisfait à l'équation aux difTérentielles totales

<l\ I ÔK , / I oF \ <)G\ ,

A -aK ()<^ \ V âv i b Ou/

ce qui entraîne la relation / ^' '' ^ ^ Ou Ov Ou \ ■>. F 'Ou ) Ov \ ■>. V Or ] ^*'

' Ou

P„ àz ' Ou

DÉfORMATION DES SL'IU-ACI-.S ÉrUDIÉE DU POINT DE VUE INFINITÉSIMAL. 49

} est bien une fonclion connue de a, c indépendante de la déformalion de S. En appelant P = -—' , Q= -^ les coefficients du plan tancent à i en ,a, on aura

JL - -9- - ZLL - PX- QY — Z /1>2-^Q2^ ,

' <).r ~ ày ()z "^ À I"" ~ V]?

Ou Ou Ou

Nous pouvons ainsi éciire quatre relations entre un élément (X, Y, Z, P, Q) de — et un élément ia^ r, ;:, —^ , -^ ) de la surface auxiliaire 3 = ^("5 '') *^'^',j^^ citée plusieurs fois; ce sera

i X-^-- Y-^-Z2= ÀHl, Z = X '^,

1 Ov

' ' PX QY — Z \V Oz v^E

Ce sont les condidous cUi problème de Bàckland : dans les équations (6), les deux de gauche permettent de tirer u, v en fonction de X, \ , Z, P, Q (sinon ^ serait surface de Monge et S développable); si nous |)orlons ces valeurs de ;/, c dans l'équation

(7) fis ~ ' (la ^- ~ dv,

la condition dintégiabilité du second membre est une équation de Monge-Ainpère

( E, ) II R -^ '1 KS -+- ET - M ^ N ( RT — S^) = o,

où H, K, L, M, N sont des fonctions connues de X, Y, Z, P, Q, Si nous introduisons maintenant les formules

(H ) X = 0 costo, ^ = p sinoj,

les équations ((3) deviennent

\ \ôl) ''" ",'7 ['ih.

dz s/K

5(1 BERTRAND GAMBIIÎR.

Celte fois, c'est oj qui ne figure pas; donc en résolvant en T, o, — '■et -T— ? on aura

<7tO

àZ

ôo

dL'

wp =

(lo)

<hù = coz dZ. -T- wô (lo = i\. du — B (/ç,

. . Tï 1, 1 1 0 z àz <)- z à- z à- z r ,.

ou A, r> ne dépendent que de it, i-\ -r- > -— ? --— ? t — t—, — — -• JLa condi- ^ 1 ^ ^ au ài> Ou- audi'- ()v-

tion d'intégrabilité pour û^oj donne une équation de Monge-Ampère à laquelle satisfait z{u^ v) : c'est nécessairement l'équation de Monge- Ampère a laquelle nous sommes arrivés au n" 4; on a donc bien établi le passage d'une équation à l'autre par une transformation de Biicklund. D'ailleurs l'équation (E, ) de ce numéro et l'équation (E) du numéro précédent dérivent l'une de l'autre par une transformation ponctuelle; en effet, tenant compte du changement de notations, la fonction inconnue ii figurant dans (E) est celle qui fixe les lignes de striction, ou encore K, ou encore Z, = y/X--}- \ --\- Z,- puisque 0/ji est constant pour chaque courbe K; d'autre part les variables indépendantes m', v' adoptées dans (E') sont deux variables quelconques susceptibles de définir l'orientation de O/j., de sorte que l'on peut supposer

(II) u'= y-, ^ = 7-' Z|= v/X^-- \*H-Z2,

la transformation ponctuelle (\, \, Z; u' , r', Zj change donc (E,) en (E'). Comme l'équation (E,) dépend non seulement du ds-, mais du choix de K(//, v) ©(K) et'J;(K), c'est-à-dire du choix de la congruence '{/) puis du choix de la congruence (n) et du choix de i{>(K), on peut trouver une infinité d'équations (E, ) ou (E) toutes équivalentes entre elles; M. Coursât montre encore ce résultat essentiel : loiiles les (équations ainsi oblennes se ramènent à une seule par une transformai ioji de contact. Quand la transformation de contact faisant passer d'une surface i à une surface i' est déduite d'w/ie seule ('(lualion directrice.^ cette équation est de la forme

d'il 'hi\-^ V2--Z--', X'^H- V- -I- Z'^ XX'-!- YY' r ZZ') = o,

DICKOHMATION DES SUIUACKS l'-rLUlEli DU POINT DE VLE INFINITESIMAL. J T

et réciproquemenl ; dans ce cas Jes courbes K et K' relatives à 2 et I,' sont différentes. Quand la transformation de contact est déduite de deux équations directrices^ ces deux relations sont de la forme

^'^'* ( XX'— lY'— ZZ'^Ço(X2— Y2 -Z2).

Dans ce cas les courbes k sont les mêmes, mais les congruences (^) différentes.

Endn. si la transformation esl ponctuelle, on a

Cela revient à prendre les mêmes courbes / et la même congruence (t) ; la fonction J^(K) change de i à i'.

D'autre part on peut remarquer que (E, ), par raison de symétrie exprime simultanément que dx^ dy, dz.

( I j ) dx = — du — — (h\ dy = — du -f- — di> dz = — du - — dv,

sont trois diilérentielles totales exactes; ces trois quadratures déterminent la surface S correspondant à une surface i. Or il est assez probable que W elngarten a dû développer cette théorie à la suite d'un exemple que le hasard de ses recherches lui avait fait découvrir ft2()| : de toute surface minlma connue (^X, ^ , Z), on déduit par les quadratures suivantes :

( i6 ) dx = X dp - C d(j. dy = Y dp — 01 ilq. dz = Z dp — C dg,

OÙ G, c, C sont les cosinus directeurs de la normale, et où p et q désignent les éléments géométriques

une surface d'éléuienl linéaire

( 1 8 ) ds- — iq dp-- ip dp dq — dq- .

On remarquera que l'on peut écrire ce ds- sous la forme

( 19 ) ds"- = dq- -'- 2 dp d( pq )

et l'on connaît une surface réglée à plan directeur isotrope admettant

52 BEI'.TItAND GAMBIEK.

ce ds' :

(20) a;=zq^ y^iz=p, ) — iz=ipq.

C'est le paraboloïde tléjà cité an n" 7,

(21) •ix{y-^i^)=y — iz.

En posant

(22j CJ =^ Il —, P = V-,

le ds- prend la forme déjà citée au même n" 7,

( 23 ) ds- = (lu- — X [ a — 4- ] f/i'-.

L'équation (E|) est ici

C'est cet exemple qui a dû conduire Weingarten à ses Notes de 1891 : dans quel cas l'équation (Ei) est-elle de la forme

où p' et p" sont les rajons de courbure principaux de i et A., B, C de fonctions de X, Y, Z? Si l'on remarque que les équations (6) conduisent assez naturellement à prendre pour paramètres les quantités

(26) 27 = x^-+-Y^-■-z^ p ^ n\ - r/Y -4- çn. ^ ^ .

on trouve immédiatement qu'avec les notations (2) on doit avoir -7- = o, ce qui permet de supposer E = i el 1 on trouve

( 27) ds- = du- -^ 2 ^/( V 0 ) — ;

où V est une fonction arbilraire de v et 0 une fonction arbitraire de u et V. Par un changement de paramètres, on peut alors écrire avec une fonction iviii, r ) arbitraire

( 28 ) th- — du- -r- 1 dv dn',

ce qui donne une surface particulière Sy, en général imaginaire

DÉFORMATION DES SUBl'ACIiS KTUDIÉK DU POINT DE VUE INFINITÉSIMAL. 53

La surface — est délinie par

Ox àv r, àz ^ àx ày , dz

^ ' dv ')v dv Ou ou Ou

el si l'on pose

Oiv div

Ou op

on constate que p el q ont simplement les significations (26). Les lignes de striction relatives aux tangentes des courbes u ■= const. ont pour équation q = const., celles relatives aux courbes (^ = const. sont p = const. Or la formation de l'équation (E) engage à prendre pour l'un des paramétres précisément celui qui donne les lignes de striction ; ici la transformalion de l^egendre s'impose donc et Ton écrit

{■il) z, = up ~V- va — w, u — -—1 V = —- ,

Op Oq

de façon à prendre p et q pour nouvelles variables indépendantes; l'équation ( E| ) devient

0/>- Op Oq Oq-

et l'on a ainsi retrouv('' tous les ré-sultats de Weingarten, en montrant comment les Notes de 1891 deviennent const'-quence du Mémoire de 1894. On peut remarquer que la surface 1! polaire réciproque de i relativement à une sphère de centre O admet pour rajon vecteur et normale les mêmes droites que 2l, mais en sens inverse; la représentation (a, «', a ) imaginée par W eingarten pour S n'est donc autre que la représentation sph('rique de (iauss pour i', et c'est ce qui explique pourquoi Weingarten, reprenant en ^^<^\ les résultats de 1891, détermine i en coordonnées tangenlielles.

1 I . Surfaces W. — On doit enccn-e à AV einsarten un autre résultat fondamental [21] : si les rayons de coui-buve d'une surface i sont liés par une relation F(R', R") = o, les deux nappes S| 6^82 de la développée de i sont applicables chacune sur une surface de révolution dont le ds- ne dépend que de F (les surfaces de révolution relatives à S| et S^ ne sont pas en g(';néral identiques).

Réciproquement^ soit une surface S applicable sur une surface de

54 BERTRAND GVMBIER.

révolution; traçons sur S les géodésiques qui correspondent aux méridiens; on sait que les tangentes à ces méridiens forment une congruence de normales; cliaque surface 2l trajectoire orlhogonale satisfait à une relation F(R', R") = o. Si la surface S se déforme, chaque segment MP tangent en M à S et normal en P à 2 peut être considéré comme entraîné par la surface S au cours de sa déformalion et l'on constate que, S ayant pris une nouvelle configuration S', le lieu des extrémités des segments MP est devenu une autre surface i, satisfaisant encore à F(R', R") = o. La recherche des surfaces satisfaisant à l'équation F(R', R") = o dépend d'une équation aux dérivées partielles du second ordre (E), qui n'est plus nécessairement du type de Monge-Ampère, dont l'intégration est un problème équivalent à celui de la déformation de S.

On peut, par exemple, au lieu de F(R', R") = o, écrire avec une variable auxiliaire k et une fonction connue o(k)

(i) R'=tp(A-), R"= ç( A-) — /.9'(7.-).

Les deux nappes de la développée S, et So ont pour cls-

( ds'- = A-2 di>^- -^ ::'2 ( A ) <lk^ , (2) ' '

/ ^^2 = çp'2 ( /. ) du'^ -^ A-2 ?"2 ( k ) dk-^ .

La surface — rapportée à ses lignes de courbure {u) et (c) a pour ds- ( ^ ) ds'- = -^-j-;- du"- - '- .^, .; ^ dv^ ,

où /, est une fonction inconnue A ( u^ v) déterminée par l'équation aux dérivées partielles linéaire

du \ 0'- du] dv \k- ôv J kvj'

A chaque solution de ( 'î ) correspond intrinséquemeni une s.urface i déterminée par sa preuuéic forme cls- (î), et par sa troisième forme

du- dv- ■'

( -y ) dz^ :--=

DEl-OUMATION DES SL'RIACKS ETUDIEE UL POINT DE VLE INTlNiTESIM AL. OJ

L'équation (4) expinme purement et simplement que les (.Irr- (5) a sa courbure égale à + i .

D'après la discussion ([ui précède, on ne sait intégrer complètement

( /j ) que si la surface — est surface mmiina (c'est-à-dire Pi'-j-R"::r= o,

R = — R'= —, o(A) r= -^ j et dans le cas

•xR — R) . 2(R-hR'i 9.(R— R) , viR-R')

(b) ^=sin— ^ ou = sh

qui correspond aux suifaces applicables sur le paraboloïde

(7) X- -\- y- =1 ipi z on x- — j-^^-i/tz.

36 BEUTItAND GAMBIER.