XI
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^AdE dG ÔF dG /àGVn
^-^''^[Tv l^-'Tu'dv -^\-d7c) \
AdEdG dE dG dE dE dG OV d¥ ÔF \
VdG d¥. dV dV. /d¥.y-l
^-^-'i^\-d:iTu-'-^ -d^c-^^Tv) I
+ ,tLG-F^-G/.^-Ly^+2F;,^]|^2^-^-^-^
24 BERTRAND (MMBIER.
Réciproquement ^ soit z une solution de cette équation (3) telle que la forme quadratrique (2) déjà envisagée
(2') (E— /)2j^a2-H 2(F— />9')r/Mr/r-t-(G — <?2)û?c2
soit définie positive, ce qui se traduit par (4) As<i.
La forme (2) se décompose en un produit de deux facteurs, imaginaires conjugués, ada^^dv^ ocodu -i- ^odi'; une quadrature de différentielle totale donne un facteur intégrant X du premier, 1q du second, et l'on a deux fouctions réelles x{u^ v'), ;)'('/, <) telles que
X -\- iy =^ I X(a du -h ^ di>), x — '/ = / A^i^-odu -+■ 3uc/r.
La variation des constantes qui interviennent dans ces quadratures revient à une substitution
(x, y; a -h X cos oj zh y s'in M , b -\- x s\n lo z^ y cosco) ;
où a, b, (x> sont constants, ce qui revient à un simple déplacement accompagné ou non d'une symétrie, infligé à S. Donc, à toute solution réelle de l'équation (3), satisfaisant de plus à ^inégalité (4) correspond une surface S et une seule {sauf déplacement ou symétrie)^ ayant le ds- /)/'o/?05e. Remarquons cette circonstance qui reviendra souvent : au lieu de déterminer la surface z{x, y), nous avons en réalité déterminé la surface auxiliaire v(m, c) qui s'introduit naturellement par la représentation paramétrique x{u, c), J'(«, (•), z-{u, t') de S.
L'expression (EG — F^) (i — A^) est le discriminant de (2); si l'on
remplace E — p'^ par ( j- ) +( i^ ) 'F — pq, G — q- par les expressions semblables, on a
(5) I — \z = c"-, c"=ey/i — Ar. B^zfci.
Se servant des formules (3) du paragra|)he !2, on a, avec les dérivéos covariantes de ^,
(6) z,i = £0 y/i — Az, Si2=eo'y''i — As, S22— eo"v''i — ^^■
Les coefficients ô, ô', ô' de la seconde forme quadratique fondamen-
taie se trouvent ainsi connus au signe prés. L'équation de Monge- Ampère (3) peut alors être écrite sous la forme équivalente
Cette équation de Monge- Ampère admet des solutions étrangères à notre problème^ à savoir celles de V équation Iz — i = o dont dépend La recherche des géodésiques; [2' ) est alors carré parfait, et a donc a fortiori sa courbure nulle. Bien que ces solutions soient à rejeter, il est essentiel de remarquer que/>0W7" tout ds- dont on sait trouver toutes les surfaces représentatives^ on saura nécessairement intégrer V équation des géodésiques. Si l'on prend maintenant les solutions de (3) pour lesquelles Ar surpasse i, l'expression ( 2) est réductible à la forme dx- — • dy-^ de sorte que l'on obtient une surface imaginaire x, /rj, ^, où x, r,, .; sont réelles : il faut bien se garder de négliger ces solutions, caria théorie des systèmes cycliques exige précisément de savoir trouver la décomposition du ds- en une expression d>-->rdri- — d'Ç,- au lieu de di'-^drr-^dti'- et une première surface réelle connue jointe à une surface imaginaire de cette espèce donne des systèmes cycliques réels; ces surfaces imaginaires se retrouvent aussi dans la méthode donnée par Weingarten pour transformer l'équation de Monge-Ampére, uiéthode étudiée plus loin.
0. Déformation d'une surface connaissant la transformée d'une courbe de cette surface. — Nous pouvons démontrer deux propositions fondamentales :
A. On peut^ de deux façons et deux seulemerit, déformer une su/face S de sorte qu'une courbe C de S prenne une forme Y donnée a pviovi, pourvu que Y ne doive pas être asymplotique de la surface i déformée.
B. // est impossible de déformer d' une façon continue une surface S, en maintenant rigide une courbe C de cette surface, sauf si C est une asyniptotique [régulière) de S.
Etudions la première proposition; soient R le rayon de courbure de r au point M, p le rayon de courbure géodésique correspondant
de G sur la surface S; l'équation sin9 = — fournit l'angle 0 compté,
dans le plan normal de F en M, depuis la normale principale de F jusqu'à la normale en M à la surface inconnue 2 (ce plan est orienté suivant les règles classiques adoptées pour le trièdre de Serret-Frenet); on doit donc se borner, au point de vue réel, à un arc de C tel que l'on ail toujours p ^ R sans égalité : les deux déterminations obtenues pour Q (que nous laissons compris entre o et tt) sont donc réelles, distinctes et celle qui donne un angle aigu (ou obtus) ne se confond jamais avec l'autre; nous adoptons l'une. I\ous rapportons la surface cherchée ^ à un système orthogonal tel que la courbe 1^ = 0 soit la courbe F et que n soit l'arc de F compté à partir d'un point fixe de F; la tangente MT à F en M. la normale principale MT, , la binormale MB, ont, par rapport à un système d'axes fixes les cosinus directeurs respectifs (a, a', on"), (p, |3', [3") et [y, y\ y"). Les coordonnées {x^y, z) du point courant M de F sont des fonctions oo{a), y{^)i ^(") de n et sur i les coordonnées x{u^ v), y{u, «'), z{u, i^) se réduisent à x[u), y{u)^ ^('') poui" *' = o. Nous pouvons donc écrire, pour t- = o, le système d'équations T :
c'a? ày dz
du au au
R ~ ^t"^ ' R ~ Ji^ ' n ~ àu^'
c = P cos6 -h Y sin8, c'= P' cos6 -t- y' siiiO. c" = ^"cosO -1- y'sinô,
= BsinO — vcosO, (-L^'^-{-\ = S'sin6 — y'cosO,
— — — - =3 snio — Y cosO.
y/'G ài'/,^.
Or il s'agit d'intégrer l'équation (1),
ou 1 inconnue est ziu. v)\ celte équation est linéaire en -r — -» -; — p? ^ ' ^' ^ (y«- dudv
-7— et -r — -7— — I -; — r- ; Si iious rcgardoiis ?/, t^ z comme les coor-
dv- du-^ c>('2 \dudv J ' ^ ' '
donn(''es d'un point en axes rectillgnes, nous avons à déterminer la surface auxiliaire z = z(^u^ v) signalée au paragraphe précédent; elle doit passer par la courbe connue d'équations
et être tangente en chaque point [a,o,z{u)] de cette courbe au plan de coefficients directeurs (/;, q, — i), où/», q désignent --:;( m, p), j- z{a, r), calculés par les relations
( p=y.", q = { y/ G )..=o ( P" sin 0 — y" cos 6 ),
^^^ 1 ■ A ^<") ft
I sin9 = 7) oostj
£ étant égal à + i ou — i suivant que l'angle ^ adopté est aigu ou obtus : c'est l'énoncé du problème classique de Cauchj. Ce problème admet une solution et une seule si l'on peut calculer les valeurs
de ~ , — ^, — le lone- de la courbe (2) : or le tableau T donne,
au^ du ôv (Jv- ^
pour e = o, les valeurs de -7— > -p- ? -— ;• Un a de plus ^ ' un' (lu- ou- '^
^ ' \àudi'/^,=o du l\Ov /,.=:o] (lu '
Enfin l'équation (i) elle-même doit servir à calculer ( yr ) ' 1^* coefficient de ^" est (5, i),.=u; nous allons le calculer en nous rappebint qu'en vertu des formules (3) du paragraphe 2, on a
et que la formule de Meusnier
cos 0 0 du^ -+- -i 8' du dv -+- 0" di>'^ ^^'> "IT ^ E du-' + 9. F du dv H- G rf(^2
donne, pour c = o,
, . cosO ^ , ,, cosO ;/ / I I
(7) -R- = ^^' (^")^o=c -j^=sc y/---.
c cos ^^ (*■ cos 6
Le même calcul, fait avec x ou }■, eût donné — 5 — ou — ^ — ;
comme c, c', c" ne peuvent être nuls tous les trois, nous ne restreignons pas la généralité en supposant c" y^ o. Si donc
cos 6 / I I
-R- ^" H/ÏP-^
Ti'est pas nul, on a bien une solution z{u, v) et une seule. Il est
BERTRAND GAMRIER.
bon d'ailleurs de calculer explicitement tableau T et les formules de Serret,
„ cos 0
On a, d'après le
'5 = ;7;: vG(p sin6 — Y cosO ..=0 -p « — "P' T" "T
(lu '}. \ dv / v-o \ ■a^J ou I K=o ov
= (v/G)^,=oc"
rf6 I
r^25 I C>G „ I àG
-T-z H r °^' ;=■- -T" (3"sin6 — y'cosB).
L'équation (i) devient donc, le long de r(t' = o, E= i, 1^'
^ ■ cosO [d^z i dG „ I dG ^..„ . . „ ^1
K I dc^ 2 du 2 i/G '^^
Cette forme permet maintenant d'analjser ce qui se passe si R.(m) ^ p(")' doù — r^ = o; la proposition B du début de ce paragraphe se trouvera élucidée par là même. Si la torsion 7=, de la courbe F n'est pas égale à =t: \/ — K, l'équation (9) donne pour -r-^
une valeur infinie; il ne faut pas en conclure que le problème soit impossible, mais simplement que, si la surface dàfonnèe i existe, r est sur elle une ligne singulière : nous verrotis en effet, au deuxième mémoire, que F est une arête de rebroussement, asyniptolique singulière de 1 et que S n'est recouverte par i que sur la région de convexité géodésique de G si — -j- K est positif le long de F, sur la région de concavité géodésicjue de C si =,- + K est négatif. Si au contraire „ est égal à du y/ — K, -r-j n'est plus déterminée, et la déformation
dépend (Tune fonction arbitraii^e d'une variable comme nous le monirerous directement; cela tient à ce que F, jointe à l'ensemble de ses plans osculateurs, donne cette fois une caractéristique de l'équation Mon ge-Am père étudiée : on sait en effet que les caractéristifjues d'une équation du second ordre <!>(?/, c, o, p^ q^ r, 5, t) ^ o sont données
par la relation
( 10 ) -— rtP- — -p- au dv H — 7- du- = o.
or as ot
Ici, cela donne
(11) Z21 di'--+- 2^12 r/u dv + ^11 du-^= c"(ô" di- -+- 1 0 du dv -f- 0 du- } = o.
La courbe F est une asjmptotique régulière de toute surface 2 obtenue, et i représente une portion de S chevauchant sur la courbe C.
Si l'on prend l'équation des asjmptotiques sous la forme
(12) z^x du- -+- 2 S12 du dv -\- z-ii dv- = o
OU encore
(i3) (sii c/«-t- Zir, dv)- + K( I A| z))\- dv- = o,
on voit bien que, pourREE^o, K4- — ^o, en un point de F on a ;, , =0,
la valeur do ^,2 étant finie, de sorte que l'équation se réduit à dr-^ o
et l'asjmptotique F est singulière ; dans le cas R ^ p, K + — ^ o,
z-, I est nulle pour chaque point tle F, z-t^ est finie non nulle, de sorte que l'équation (12) donne
(i4) (-î z 1-2 du -{- z^idv) dv = o
avec Z2-2 finie : on a deux directions asjmptoliques distinctes.
6. Déformation autour d'une asymptotique. Asymptotiques virtuelles. — Il est naturel de déterminer non seulement les asjmptotiques actuelles^ mais encore les asymptotiques lurtuelles, c'est-à-dire les courbes susceptibles de devenir asymptotiques au cours de la déformation. Darboux a indiqué le moyen de former leur équation. Si l'on suppose que les lignes («, c) sont asymptotiques actuelles, on
a 0 = ô"= o, K = TTTj-, = TT-^ pr; de sorte que les équations de Gauss-
Codazzi donnent
, . à loffK , i 12 / à lo» K , \ 12 )
ou ( 7. \ dv ( I )
MKMOniAI, Dl;S se. MATH. — K° 2(i. 2
Réciproquemont, si ces équations (i) sont vérifiées, on voit que
o = a''==o, 8'= ± v'— K.(EG — F2)
est une solution des équations de Gauss-Codazzi et que sur la surface correspondante les lignes [u, p) sont asjmptotiques actuelles.
Si maintenant nous supposons la surface S rapportée à un réseau curviligne (m, c) quelconque, puis à ses asjmptoliques (a, (3) avec
( a ) ds- = E du- -^ 9, F du dv -+- G di- = E^ dy.' -+- a F , <^a c?[3 -h G, rfp- , on aura, d'après la théorie générale,
II } Ou du
12 } [du. ôv du âv M d^
doLd<^ ' { I \ Ô7. d[. \i \\dai d^ \ 19. / du ^ 19 ) <^a ""i I ii(îa '") 9 \iJp'
da.d'^ ^ j 9 S (/a Jp "^ / 9 i l (^a dp
^ \ 19) ^ ^ j 19) # \ 1 \idsc I 9 ^1 (^C
du dr\
99 ) di> dv I ( Jï Jlî
99 ) df de 9 rh. J3
Dans ces formules, qui ne supposent encore rien sur a et j3, les symboles de GhristofFel avec indice se rapportent à la forme
El dy. -^ 9 Fi da dp + G , r/p.
les formules [i) appliquées aux asymptotiques (appelées cette fois a et (3) deviennent
I /rJIogK (^?/ T V du d^.
I /t? logK du
d\osK d
Substituant dans (3), on aura
n II I i d logK"! du du
Ll I \ 9 É^K J c'a ^jj
ri 19 } I JlogKI /J« dt^ dif dv
I i 1 i ^ 4 d^ 1 V 7;a Jp ^ d^ Ja
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