EG — F

JG^-F^l (e'-^Î-F^

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îï d^i [ H ) ^ H f^ ( ii

OÙ H représente ^'EG — F-, de sorte que A29 n'est irrationnel qu'en apparence.

Etant données deux fonctions cp, '\), il existe trois invariants du premier ordre AiCp, A,^, puis A|(cp, 'h),

do Oii T7 / '^Ç '^'\' ^^ '^'\'\ p ^? <^4' . , , (Ja du \<)u ()i> ôv <)a 1 " dv àv

On peut définir un invariant irrationnel, non distinct des précédents, par la formule

(6) 0^(-^, ^)^A'f(o, J;)^A,oA,'^

ou encore

, „,, , , , i / ào d'il do d'li\

^^) ^^^^'^^^H{di.-dï>-iif.y

Darboux emploie constamment la notation A au lieu de A, pour le paramètre du premier ordre; nous adopterons dorénavant cette notr.tion. Ghristoffel démontre analjtiquement l'invariance de A9 et A29; il est instructif d'employer avec Darboux une méthode géométrique, qui se rattache à l'emploi du trièdre mobile.

Si l'on prend pour nouvelles variables les fonctions

?<'=?(», ('), i'' = 'l^if/., p), on a

( 7 ) ds^ = E'df--^ o F' d^ d<\> + G' ^t|;2 ,

comme on le voit en calculant directement Acp, Atjj, A(cp, ^) sous la forme (-) du ds'-. On en déduit

^^ A? A^; — A5(îi, '})' Acp A'I; — AM?, '1^)' Acp A']; — A'((p, 4^)

Do/ic, tout invariant de Bellrami peut être obtenu au moyen

des symboles A,, A2 ; soit en effet

I = ÎF E, F, G,

au

■ ' au

un tel invariant, les coefficients E, F, G sont exprimés comme le montrent les formules (9), au moyen de Af/, Ar, A(;<, r); d'autre part, quelle que soit la fonction A, on a