CHAPITRE I

CLASSIFICATION ET DÉTERMINATION DES INVARIANTS ET PARAMÈTRES DU FERENTIELS.

l. Invariants de Gauss, Beltrami et Minding. — Un invariant de Gauss [5J est une expression

r „ ^ dE dE dv ,nE ]

(i) CD E, F, G, —,—,—,.•., -—^ ,.• •

^ ' \^ au dv du du- J

ne contenant que les coefficients E, F, G du ds-

( 2 ) ds^- = E du- -+- 2 F du dv ^ G df-

et leurs dérivées jusqu'à un ordre fini, telle qu'après la substitution arhitj'aire

(3) u^/iu'.v'), v = g(u\v')

transformant le ds* en la nouvelle forme E! du- + 2.¥' du' dv' -^ G' dv'-, l'expression (i) soit identiquement égale à l'expression analogue

àE' àE' àF' <)''E'

Oi> ou <iu '■

construite de la niêiue façon avec les coefficients du nouveau ds'^\ E,

F, G étant formés avec les dérivées premières t- > "r"' • •' -^ des

' ' au ov dv

coordonnées de toute surface représentative du ds'^, il semble naturel, du moins au premier abord, d'appeler ordre de l'invariant l'entier supérieur d'une unité à l'ordre maximum des dérivées de E, F, G dans l'invariant; or, l'invariant le plus simple, la courbure totale K, ne fait intervenir que les dérivées secondes de x^y, z et, par suite, doit être considéré comme d'ordre 2; il contient les dérivées d'ordre 2 de E, F, G et l'on serait donc amené à lui donner l'ordre 3, mais on voit aussitôt que les dérivées d'ordre 2 n'entrent que par le groupe

d-'-V i d'-\l I d-^Cj

[d-^x à'^x / d^x y ( du"^ dv- \du dv /

du dv •}. dv- v>. dud'où les dérivées d'ordre 3 de x, )', z s'éliminent. Nous prendrons

donc comme ordre précis l'ordre maximum des dérivées de E, F, G; pour les invariants autres que K, le résultat est légitimé par cette propriété importante qu on peut les obtenir^ à partir de K par les opérations A, et Aj qui vont être définies pour les invariants de Beltranii.

Les invariants de Beltrami [I] ne difïèrent de ceux de Gauss qu'en un point : la fonction o dépend non seulement de E, F, G et leurs dérivées, mais encore de fonctions arbitraires U,=4'i(''' ^')i U2= 4'2('^i *')' • • • 6t de leurs dérivées partielles en u et r, la nouvelle fonction V\ n'est autre que -]>,[/(//', p'), g-{u\ <'')]• Les invariants de Beltrami sont souvent ix^i^eXés paramètres différentiels : l'ordre d'un invariant de Beltrami s'obtient on prenant l'ordre maximum des dérivées de E, F, G et de 4^, , (l'a? • • • •

Les invariants de Minding [12] contiennent, outre E, F, G et leurs dérivées, les dérivées successives de v considérée comme fonction arbitraire de u] l'ordre est le plus grand des entiers suivants : ordre maximum des dérivées de E, F, G et ordre maximum des dérivées successives f , v\ . . . , v^"^ .

La théorie des transformations des formes quadratiques dilTérentielles a été étendue par Christoffel [2] à un nombre quelconque de variables supérieur à 2, donc à l'étude des variétés à n dimensions plongées dans l'espace à n-\-\ dimensions, définies intrinsèquement sans se préoccuper de leur relation topologique avec l'espace qui les entoure; je ne peux entrer dans cette théorie qui se prolonge par le calcul tensoriel ; je signale simplement que, pour «^2, on trouve

invariants de Gauss du second ordre. Dans le cas de n = 2,

espace ordinaire à 3 dimensions, il n'j a que l'invariant K pour l'ordre 2, un seul invariant A|K pour l'ordre 3, puis à partir de yy>4, /> — I invariants distincts d'ordre p] ainNi pour p =^ 4i on a AoK, A,A,K, A,(K, A,K).

Pour les invariants de Beltrami, on définit

\ du I du dv \ dv

( Ao Q ==