DU PROBLEME. — DECOMPOSITION DES FONCTIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES

23. — Reprenons maintenant le problème algébrique de la recherche de la dérivée ou de la différentielle d’une fonction quelconque.

La définition même de la dérivée indique la nature des

opérations à effectuer. Le rapport ^ n’est autre que

Pour trouver la limite vers laquelle

converge cette quantité, à mesure que Ax diminue, il faut faire la substitution de x -H Ax à x dans la fonction donnée, développer le polynôme qui en résulte, en retrancher f{ x), diviser le reste par Ax, et voir quelle est la limite du quotient ainsi obtenu , lorsque Ax tend vers zéro. Il est

CALCUL INFINITÉSIMAL

(il

évident que la limite de chacun des termes qui composent ce quotient est précisément la valeur que prend le terme quand on y suppose Ax nul. Telle est l’hypothèse qn’il faut

introduire dans l’expression développée dn rapport^. Soit, par exemple, la fonction

Le rapport est ici égal

Ax

En développant les calculs indiqués et effectuant les réductions qui en ressortent, la fraction devient

2;rAx-f- Ax 1 — Asc

a Av

x(x + Ax)

ou

x(x-+-Ax)'

La limite vers laquelle converge celte quantité, quand Ax tend vers zéro, est évidemment 2x — qui est l’expres-

sion finale de la dérivée.

2 U. — Les fonctions pouvant avoir les formes les plus diverses, et, par suite, les opérations algébriques, pouvant devenir extrêmement compliquées, ou a dû rechercher des procédés généraux qui permissent de ramener le calcul d’une dérivée quelconque à celui d’un certain nombre de dérivées particulières. . . *

SECONDE PARTIE

Au premier abord, un tel objet semble chimérique, car les fonctions affectent toutes sortes d’expressions, sans aucun rapport les unes avec les autres. Mais celte difficulté cesse de paraître insurmontable, si l’on remarque que les fonctions présentent, malgré leur diversité, les mêmes opérations fondamentales. Il faut toujours en arriver, en dernier ressort, à des additions, des soustractions, des multiplications, des logarithmes, etc., qui sont comme les éléments constitutifs de toute fonction. Ces opérations finales sont d’ailleurs irréductible* ; je veux dire par là qu’on ncr peut les remplacer par d’autres ni les décomposer en opérations plus simples. Kllcs ont chacune leur nécessité, puisée dans la conformation même do l’esprit humain.

On entrevoit, dès lors, la possibilité de décomposer les fonctions, si compliquées qu’en soient les formes, en un certain nombre d’éléments primitifs, toujours les mêmes ; et par suite de déduire leurs dérivées de celles de ces mêmes fonctions élémentaires.

On appelle fonctions simples celles dans lesquelles la variable se trouve engagée par une seule des opérations fondamentales de l’analyse. En d’autres termes, les fonctions simples sont l’expression même de ces opérations, désignées généralement sous le nom A' algorithmes. Les algorithmes ou les fonctions correspondantes sont, dans l’état présent de nos connaissances, au nombre de dix, réciproques deux à deux l’une de l’autre, et pouvant dès lors être rangées en cinq groupes binaires, dont voici le tableau :

CALCUL INFINITÉSIMAL

'i c GROUPE.

fonction somme ;

fonction différence;

f y = ax ,

fonction produit ;

fonction quotient;

fonction puissance ;

1 y — \/ar ,

fonction racine ;

fonction exponentielle ;

1 y = log.r ,

fonction lo/jarithmique ;

1 y = sin# ,

fonction circulaire directe;

( y = arc sin# ,

fonction circulaire inverse.

Nous ne mentionnons pas les fonctions cosar, arccosa?, tanga? , arc tanga? etc., parce qu’elles rentrent dans situ? et arc siiu? *.

Ces fonctions simples se combinent de mille manières pour constituer des fonctions d’une forme plus ou moins

1 La ilélinition que nous axons donnée des fonctions simples ne signifie pas que la variable ne ligure qu'une fois dans la fonction, mais bien qu'elle n’est l’objet que d'une seule opération, ce qui est fort durèrent. Ainsi

y/ 1 + x n’est pas une fonction simple, parce que la variable s’y trouve engagée 1 ° par voie d’addition, 2“ par voie d'extraction de racine. Au contraire (y/l + a) m . * est une fonction simple de x , parce que x n’est en-

gagée que par voie de produit. De même sin - n’est pas une fonction log a sin b

simple, et ■ en est une.

SK(.OM>K PARTIK.

compliquée, mais à travers cette diversité les éléments primitifs restent les mêmes

* « L'introduction, dans l'analyse, d’une autre fonction abstraite élé- « mentaire, ou plutôt d'une autre couple de fonctions (car chacune serait « toujours accompagnée de son Inverse), suppose nécessairement la créa- • tion simultanée d’une nouvelle opération arithmétique, ce qui est < certainement fort diflicile. • (Auguste C.onite, Philosophie p ositire, 1. 1, p. 1*7.)