La relation précédemment trouvée

Ay = [/» + *] A x

permet de déduire plusieurs conséquences intéressantes.

1" Lorsque la variable reçoit, à partir d’une certaine valeur x, un accroissement suffisamment petit, l’accroissement qui en résulte pour la fonction est positif ou négatif, selon que la dérivée est elle-même positive ou négative pour la valeur initiale de la variable.

En effet, la quantité entre parenthèses se compose de deux termes f(x) et a, dont le second peut être rendu aussi petit qu’on veut , par rapport au premier , en pro-

SECONDE PARTIE

fit)

nanl A r convenablement réduit. Le signe de la parenthèse est doue déterminé par celui de f'{x).

Ainsi la fonction y croît ou décroît pendant un certain temps, à partir de la valeur x, selon que la dérivée est positive ou négative pour cette valeur.

2° Si la dérivée s’annule en changeant de signe, pour une certaine valeur de la variable, c’est-à-dire si la dérivée étant, par exemple, positive pour des valeurs delà variable un peu inférieures, devient négative pour des valeurs un peu supérieures, la fonction donnée passe par un maximum, c’est-à-dire par une valeur «plus grande que toutes celles qui précèdent ou qui suivent immédiatement.

C'est une conséquence de ce que le signe de l’accroissement de la fonction dépend de celui de la dérivée. Il en résulte que la 'fonction donnée croit jusqu’à la valeur qui annule la dérivée, et décroît au delà de celte valeur.

Le contraire aurait lieu et la fonction passerait par une valeur minimum si la dérivée était d'abord négative et ensuite positive.

3" Si la dérivée est nulle pour toutes les valeurs de la variable comprises dans un intervalle donné, la fonction est constante dans cet intervalle.

Car on peut faire croître x par degrés assez rapprochés pour que la quantité a correspondant à chacun des accroissements imprimés à x soit moindre qu'une valeur s, aussi petite d’ailleurs qu’on voudra la supposer. Dès lors, chaque accroissement de la fonction sera moindre que eAx, et la somme de ces accroissements ou l’accroissement total reçu par la fonction dans l’intervalle supposé, sera moindre que il, eu désignant par l cet iniervalle. Or, e pouvant être pris indéfiniment petit, et /étant une quantité finie, le produit d

CALCUL INFINITÉSIMAL

peut être réduit an delà de toute limite : ce qui revient à dire que la fonction n'a pas varié pendant tout l’intervalle en question. '

U° Si la fonction donnée croit constamment dans un certain intervalle, la dérivée ne peut jamais prendre dans cet intervalle de valeur négative.

Cor au moment où la dérivée deviendrait négative, la fonction décroîtrait pendant un certain temps ; ce qui est contraire à l’hypothèse.

De même, si la fonction donnée décroît constamment, la dérivée est toujours négative.

Rien u’empéche d’ailleurs que la dérivée passe une ou plusieurs fois parla valeur zéro. Ce qu’il faut, c'est qu’elle ne change pas de signe en s’annulant.

5° Lorsque deux fonctions sont égales, quelles que soient les valeurs attribuées à la variable indépendante, les dérivées sont aussi égales.

Car si, pour une certaine valeur de la variable, il existait entre les dérivées une différence quelconque, les accroissements dés deux fonctions différeraient nécessairement ; puisqu’ils sont respectivement égaux au produit de la dérivée par l’accroissement de la variable, plus un terme additionnel qui peut être rendu aussi petit qu'on le veut par rapport à ce produit. Dès lors les valeurs des fonctions, correspondant à cet accroissement de la variable, cesseraient d’être égales ; ce qui est contraire à l’hypothèse.

La même proposition subsiste évidemment quand les fonctions données ont entre elles une différence constante.

6° Réciproquement, si les dérivées de deux fonctions sont égales, pour toutes les valeurs de la variable, les fonctions ne peuvent différer que d’une quantité constante.

SECONDE PARTIE

22. — L'accroissement-, la dérivée* et la différentielle d’nne fonction sont susceptibles d’une représentation géométrique.

ïi

Fig. I.

Considérons la fonction et la variable comme les deux coordonnées d’une courbe ayant pour équation y=f[x). Soit AB (fig. 1) cette courbe, et M un point quelconque répondant à deux valeurs a? et y des coordonnées. Prenons un point voisin Al', et désignons ses coordonnés par x + Ax et y + A y. Les accroissements Ax et Ai/ seront respectivement représentés sur la figure par les longueurs PP' ou MH et M'H.

Le rapport ou uc sera autre chose que la tangente trigonométrique de l’angle formé par la sécante MM'S avec l’axe des x. Si Axel A»/ diminuent indéfiniment, le point M' se rapprochera de plus en plus du point M, et la sécante MS tendra à se confondre avec ia tangente MT;

CALCUL INFINITÉSIMAL

Le rapport , qui ne cesse pas d élie représenté par la

tangente trigonométriquc de l’angle formé par MS, dans toutes ses positions, aura pour limite la valeur de la tangente trigouométrique de l’angle formé par la droite MT. La dérivée ou le quotient différentiel, correspondant à une valeur x de la variable, mesure donc l’inclinaison , sur l’axe des x, de la tangente menée à la courbe par le point qui a pour abscisse cette valeur de la variable. On voit en même temps que la différentielle de la fonction , ou f'(.v) dx, est figurée par NH, et que la seconde partie de l’accroissement, ou «dx, est figurée par M'N.

Ainsi l’accroissement de l’ordonnée de la courbe représente l’accroissement de la fonction, et l’accroissement de l’ordonnée de la tangente représente la différentielle. Les ordonnées tendent de plus en plus à se confondre, à mesure que les deux points se rapprochent davantage, et leur rapport a pour limite l’unité.

Cil API TRI- V.