DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES

30. — Nous avons supposé, jusqu'à présent, que l’équation entre x et y était résolue par rapport à y. Supposons ici que celte résolution préalable n’ait pas été effectuée, et que y soit une fonction implicite de x, déterminée par une équation de la forme

Il s’agit de trouver la dérivée de y par rapporta x, sans résoudre l’équation.

C’est à quoi l’on parvient par une application immédiate du théorème des fonctions composées; car y étant fouclion de r, on peut considérer f(x, y ) comme une

calcul infinitésimal.

fonction de deux variables, fond ions de x , analogue à f(u, v) sur laquelle nous raisonnions précédemment. Mais cette fonction étant nulle en vertu de l’équation supposée f(x, y)~o, il en résulte que la dérivée est aussi nulle; de sorte qu’on a :

df 1 4- 1

dx

‘ly

~dx

dy

Ainsi la dérivée de y par rapport à x est égale, eu signe contraire , an quotient des deux dérivées de la fonction donnée, prises successivement par rapport à a? et à y. Or, le calcul de ces deux dérivées ne nécessite pas que l’équation soit résolue par rapport à y.