f (u + Ah, v -f- A») — f (u -+- Ah, v

Remarquons en passant que cette expression se réduit à celle que nous avions immédiatement obtenue en faisant variera? à la fois dans «et dans». Mais la forme différente à laquelle nous conduit la variation successive va nous permettre de faire ressortir le théorème, que nous avons énoncé.

t * ' Ah ... .

Le rapport ^ peut s écrire ainsi :

ày — /~(« + Aa, v) — f(u,v) Ah A-c Am Ar

, f (u + Au, r + Ar) — f(u+ A«, v) Ar * Ar X A*’

Si l’on fait décroître Aa? indéfiniment, les rapports ~ ^

et ^ convergeront respectivement vers les dérivées de y,

. (fil d»

n et r, prises par rapport a x, c est-a-dire vers ~t~i et Quanta la fraction f S 1 f( tt t . T ) ) ;| est v ;

CALCÜI. IN'FIMTÉSTMAI,.

sible qu’elle aura pour limite lu dérivée de. la IbiiClioii flu, r), prise par rapport à n, comme si u était la variable indépendante et r une constante. Ceia résulte de ce que Am converge vers zéro en même temps que Ar. La limite

de celte expression petit donc se désigner par L’autre

fraction

f (u -t- Am, y -f Ae ) — f ( w + A u, r)

onverge,

de son côté, vers la valeur de la dérivée de f(u, r), prise par rapport à t>; car si l'on considère u comme constante, la limite de cette fraction est évidemment la dérivée de f (a Au, v), fonction qui n’est autre que f {u, r) quand Ax et par suite Au est ramené à zéro. On peut donc la

représenter par -j-. Dès lors, l’équation précédente con-

duit à celle-ci :

rfy df du df dv

i Ix du dx ^ dt> d.r

En multipliant tous les termes par dx, et remarquant que

, . . , .... du du do

les produits des dérivées ^ , par 1 accroissement

dx, sont égaux aux différentielles de y, de u et de v, on obtient la relation annoncée :

rfy = ÿ du -f- dv O ,

J du dv

‘ Il faut bien remarquer que, daus le second membre, la quantité du, qui ligure en multiplicateur et en dénominateur, n’a pas la même signitl-

V df

cation dans les deux cas, et que, par suite, le. terme - — du ne peut pas

■SfcCOSDE PARTIE,

qu'ou peut écrire également' ainsi .

di/= du -f- '-j- dp ; du dv

en ayant soin de distinguer la différence de signification de dy dans les deux membres. Dans le premier, <hj représente la différentielle de >j provenant delà variation de x à la foi» dans w et dans v ; dans le second membre, rfy représente la différentielle de y provenant de la variation de x dans une ne nie des fonctions u ou r.

27. — On aperçoit sans peine que ce théorème fournit les moyens de ramener la différentiation d'une fonction quelconque à celle des fonctions simples ; car quelle que soit la nature d'une fonction, c'est-à-dire de quelque manière qu’elle soit formée avec la variable, ce ne peut jamais être que par un ensemble d’opérations ayant toutes le caractère de celles qui donnent lieu aux fonctions simples. Ces opérations peuvent être isolées les unes des autres ou superposées les unes aux autres ' , et produire des termes

se remplacer simplement pur df. En eftet ■— sianitic que iu dérivée est

prise par rapport à u, comme si it était une variable indépendante; et le multiplicateur du représente la différentielle de u, telle qu’elle résulte de la variation de x dans la fonction désignée par il. — La mémo remarque

s'applique au terme — île .

av

1 J'appelle isolées des opérations qui peuvent s’effectuer indépendamment les unes des autres, et superposées celles qui se commandent entre elles, de telle sorte qu’on ne peut les effectuer que l'une après l'autre. Ainsi i m logar indique des opérations isolées, parce que, si on connaissait la valeur de x , les quantités j" et log .r pourraient se calculer

CALCUL INFINITÉSIMAL

plus ou moins compliqués; maison retrouve toujours les mêmes éléments constitutifs. Si donc, on représente par autant de variables, fonctions de x, les diverses fonctions simples qui correspondent aux opérations indiquées dans la fonction donnée, on aura une fonction composée d’un certain nombre de variables, fonctions de x-, et la différentiation en sera ramenée, d’après le théorème précédent, à celle de chacune de ces fonctions, c’est-à-dire à la différentiation des fonctions simples elles-mêmes.

Quelques exemples éclairciront notre pensée.

Soit en premier lieu une fonction à opérations isolées, dont un terme quelconque sera, par exemple :

ax 1 log x

Posons :

ax* = h , log x = i< , b r — z ;

le terme en question deviendra :

uv

La différentielle s’obtiendra : 1° en différentiant le terme successivement par rapport à u, c et z, considérées tour à tour comme variables indépendantes ; 2° en multipliaul les dérivées ainsi obtenues par les différentielles de u , v et z, prises par rapport à x.

séparément. Au contraire ^/l + x m représente des opérations superposées, parce qu’on ne peut calculer la racine qu’après avoir calculé X'" .

SECONDE PARTIE

Or, d’une part, les variables », t> et z n'entrant dans le terme ci-dessus que par des opérations simples, on saura sans difficulté obtenir les dérivées par rapport à ces variables; d’autre part, chacune de ces variables ne représentant qu’une fonction simple de x, on saura également en prendre la différentielle par rapport à x .

ün obtiendra donc la différentielle cherchée.

Considérons en second lieu une fonction à opérations superposées, dont un terme sera par exemple :

sin x . (« Ing x ) m

Posons :

sin x = m , a log x *= v , v m = z ; ce terme pourra s’écrire :

uz .

Les opérations relatives à u ne présenteront aucune d i fïi culté nouvelle, puisqu’on se trouve dans le même cas que précédemment. En ce qui concerne z, on aura : r à prendre la dérivée par rapport à cette variable, considérée comme indépendante, ce qui est encore l’application du cas précédent ; 2° à prendre la différentielle de z. Ici, la chose est nouvelle, car z n’est pas une fonction immédiate de »/, puisque z == r m , v étant elle-même fonction de x. Mais raisonnant par rapport à z , comme pour les fonctions à opérations isolées , on déduit dz = m v m ~ l dv , et tout consiste à trouver dv , ce qui est aisé , puisque v est une fonction immédiate de x .

Théoriquement donc, on n'aura aucune difficulté à opérer

CALCL't. INFINITÉSIMAL.

la différentiation d’une fonction quelconque d’une seule variable indépendante.

Ainsi se trouve confirmée, à posteriori , la proposition que nous avons établie touchant l’existence d’une dérivée pour toute fonction continue. Nous voyons de plus que nonseulement cette dérivée existe, mais encore qu’on sait l'obtenir sous une forme analytique. C’est là un pas nouveau, bien impôt unit ; car il ne suffisait pas d’être assuré que le rapport do l’accroissement d'une fonction à l’accroissement de la variable converge vers une limite finie : il fallait démontrer aussi que cette limite est toujours exprimable au moyen des algorithmes connus, ce que rien, à priori , ne permettait de supposer *.

1 tin donne assez souvent une démonstration fort incomplète, et même vicieuse, de l’existence do la dérivée. On construit la courbe représentée par l'équation y =f ( 1 ), et après avoir remarqué que la dérivée exprime la valeur de la tangente trigonométrique de l’angle formé par la tangente à la courbe avec l’axe des x, on en conclut que, toute courlie avant une tangente en un point quelconque, toute fonction a une dérivée pour une valeur quelconque de la variable. Celte démonstration présente les défauts suivants :

t” On a recours à une représentation géométrique, ce qui est propre A restreindre le point do vue général auquel il faut considérer les fonctions ;

2* On affirme que toute courbe a une tangente, ce qui n’est pas plus évident que la conclusion même qu’on en veut tirer : savoir que toute équation a une dérivée ; car si la cotirhc a une tangentê, c’est précisément parce que son équation porto sur une fonction continuel C’est donc dans la continuité qu’il faut chercher la raison d’étre de la tangente, et dès lors mieux vaut donner tout de suite la démonstration purement analytique que nous avons présentée d’après M. Duhamel.

3" De ce que la dérivée a une valeur déterminée, il ne s’ensuit pas qu’otle existe analytiquement, c’est-à-dire qu’elle soit susceptible d'être exprimée avec les algorithmes connus. Cela ne peut résulter que des considérations à posteriori que nous avons fait ressortir.

7fi

SECONDE PARTIE

( OHxéqucncex.

2N. — 1" Lu différentielle d'une somme de fonctions est égalé à la somme des différentielles de ees fonctions.

C’est une application évidente du théorème général.

2“ La différentielle d’un produit de plusieurs fonctions est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la différentielle de chaque fonction par le produit de toutes les autres. Ainsi on doit avoir:

d {uv z ...) — vz ilv -\- uv .... dz-y- ....

Eu effet, pour obtenir la différentielle du produit wez...,il faut différentiel' ce produit successivement par rapport à u, v, z..., comme si chacune de ees quantités était seule variable et toutes les autres constantes. La différentiation par rapport à u, par exemple, donne pour résultat rz... (quantité considérée comme constante), multipliée par la différentielle de ii, c’est-à-dire rz... du. De même pour chacune des autres fonctions.

3° La différentielle d’un quotient s’obtient en formant le produit du dénominateur par la différentielle du numérateur, en en retranchant le produit du numérateur par la différentielle du dénominateur, et divisant par le carré du dénominateur. Ainsi :

r.Arr.rr. ixmiTfstMAt.

à a, comme si r <-tair constant, donne ~ du. Lu différentielle par rapport à v, coin me si u était constant, donne — dr. La somme de ces deux quantités, ou la différentielle du quotient-^- par rapport à la variable indépendante, a pour expression :

-du — —, de ou v r-

U° La dérivée d’une fonction de fonction est égale au produit des dérivées de ces fonctions. Soit, par exemple, V ~ f( u )> d = ® ( jt ) ; je dis qu’on aura :

dy df do du du du

Cix du d.r dx dit d.r

Relation dans laquelle ^ représente la dérivée de y par

rapport àr,^ la dérivée de y , prise par rapport à «

fift

comme si u était la variable indépendante, et la dérivée de u pai'Yapport à .r.

Kn effet, d’une manière générale , nous avons :

dy du , ou du = — du ; J du J du

et du représente la différentielle de 11, telle qu’elle résulte de la variation de x dans la fonction quelle représente :

donc du — ^ dx . Par suite,

SECOMÜK PAHTU.

, dy du dy = duTv dx '

ü’oii cutiii lu proposition énoncée.

On peut écrire egalement :

dy

dy d.r

du du ’

ce qui signifie que la dérivée de y, prise par rapport à w, comme si u était la variable indépendante, est égale au quotient des dérivées de y et de m, prises par rapport à la véritable variable indépendante x.

2‘J. Ces diverses régies * permettent de trouver les dérivées d’une façon plus expéditive qu’en mettant en évidence toutes les variables auxiliaires auxquelles nous avons eu recours dans les exemples du n° 27.

Si la fonction donnée comprend, Je suppose, une somme de termes, — ce qui est assez général, — il est inutile de remplacer chacun d’eux par une variable spéciale pour effectuer la différentiation : il sutlit de les dilléreiitier séparément, et de faire la somme des résultats ainsi obtenus. Si l’on est ensuite en présence d’un terme tel que celui du n° 27, soit :

' On est dans l’usage de donner des démonstrations directes pour les divers cas particuliers que nous venons de passer en revue, sans les rattacher au théorème général des fonctions composées, dont ils ne sont pourtant que des conséquences immédiates. Cette manière de procéder nous semble peu philosophique.

CAI.CII. INFINITÉSIMAL

ax‘ log a:

on sait que la différentielle est égale, d'après la troisième conséquence, à

b x d (ax 3 log x) — û.r 5 log x d(b x )

~ ~Jb*Ÿ “ '

On développe les différentielles indiquées, au moyen de la deuxième conséquence. Ainsi :

d (ira 3 log x) — log x d (ax 3 ) 4 - ax 3 d (log x) =

= (3 ax 2 log .r -f- ax 2 log e) dx .

Nous ne pousserons pas plus loin le calcul, qui n’offre aucune difficulté. Cet exemple suffit à montrer qu’avec une certaine habitude des procédés, on parvient à effectuer rapidement les différentiations de Tondions compliquées, sans même avoir besoin de recourir à des variables auxiliaires.