CHANGEMENT DE EA VARIABLE INDÉPENDANTE

33. — Bien que le choix de la variable indépendante soit généralement indiqué par la nature même des éléments du problème, il peut arriver que les convenances du calcul conduisent à prendre une variable indépendante différente, de celle qu’on avait choisie d’abord. En d’autres termes, on se met à considérer comme indépendante désormais une quantité qui, jusqu’à ce moment, était fonction de la variable indépendante primitive; de sorte que celle-ci devient réciproquement fonction de la nouvelle. C’est ce qui arrive, par exemple, dans le problème du mouvement d’un pendule. On est conduit à prendre pour variable indépendante, non plus le temps, choisi en premier lieu, mais Yangle décrit par la tige du pendule à droite et à gauche de la verticale.

CALCUL INFINITÉSIMAL

Los dérivées ou les différentielles prises par rapport à la nouvelle variable indépendante ne sont naturellement pas les mêmes que par rapport à la variable primitive. Si donc on a besoin de connaître ces quantités, on devra commencer par exprimer les diverses variables en fonction de celle qu’on vient de choisir; et on cherchera ensuite, par les procédés ordinaires, les valeurs des diverses dérivées et différentielles. Mais ce résultat ne s’obtient pas sans une élaboration pénible et souvent même impraticable, car il nécessite l’élimination de variables entre plusieurs équations. Pour suppléer à de pareils calculs, on a cherché la solution générale 5 cette question :

Étant connu les dérivées d’une fonction par rapport à une variable indépendante, ainsi que la valeur de celte variable en fonction d’une nouvelle variable indépendante, trouver les dérivées et différentielles de la fonction par rapport à la nouvelle variable.

Soit y = f(.x') la fonction donnée, et x = <. p(<) la valeur de l’ancienne variable indépendante .r en fonction de la nouvelle variable t. Je suppose connues les dérivées de y par rapport à x , ainsi que les dérivées de x par rapport à t ; il faut avoir les dérivées de y par rapport à t.

Pour la différentielle du premier ordre dy, on sait, d’après la règle relative aux fonctions de fonction (n° 28), qu’elle est égale à la dérivée prise par rapport à x, multipliée par la différentielle de x par rapport à t. On a doue :

dy — f'(x) dx ;

et la relation conserve la même forme que si l’on n’avait pas changé de variable; c’est-à-dire que dy et dx repré-

SECONDE PARTIE

seuleul les différenlielles de y et de x, par rapport à la variable indépendante I: et f (x ) , la dérivée de y prise par rapport à x, absolument comme si x était la variable indépendante

Si l'on différence par rapport à / , il vient : d l y = f '(x) dx- 1 f'fx) d ! .ï ;

la différentielle dx n'est pas nulle, puisque x est actuellement fonction de /, et que, par suite, dx n’est plus une constante.

On obtiendrait de même les différentielles d’ordres supérieurs. Nous n'en poursuivrons pas le calcul, qui n'offre aucune difficulté; nous nous bornerons à remarquer que l’expression d’une différentielle est d'autant plus compliquée que l’ordre de la différentiation est plus élevé. Cela tient à ce que, dans les opérations successives, la différentiation de dx introduit chaque fois un terme de plus, qui n’existerait pas si x avait continué d’être la variable indépendante.