DIFFÉRENTIATION 1)ES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES

34. — Une question peut, avons-nous dit (n“ 4), comporter à lu fois plusieurs variables indépendantes.

Dans les fonctions ainsi formées, il y a lieu tantôt de prendre la différentielle par rapport à l’une ou à l’autre des variables, tantôt par rapport à toutes. Dans le premier cas la différentielle est dite partielle, et, dans le second cas, totale.

Le premier cas ne peut offrir de difficulté ; car on doit considérer toutes les autres variables indépendantes comme des quantités constantes; et l'on se retrouve, dès lors, en présence de la différentiation des fonctions d’une seule variable.

Le second cas u’enlraine non plus aucune innovation :

SECONDE PARTIE

c’est une pure application de la règle démontrée au n° 2(j. Il suffit de prendre les fonctions composantes les plus simples possible , c’est-à-dire réduites aux variables mêmes. On voit ainsi que la différentielle totale est égale à la somme des différentielles partielles.

Un peut cnlin prendre les dérivées successivement par rapport à diverses variables. De là ce théorème :

Le résultat final de plusieurs différentiations successives reste le même quel que soit l'ordre des différentiations.

Pour prendre l’exemple le plus simple, celui d’une fonction de deux variables indépendantes, z—f(x, y), je dis que si l’on prend là dérivée de z par rapport à x, et ensuite la dérivée de cette dérivée, par rapport à y, le résultat sera le même que si l’on avait pris d’abord la dérivée de z par rapport à y, et ensuite la dérivée de cette dérivée, par rapport à x. C’est ce qu’on exprime ainsi :

d ï z d*z dydx dxdy '

Il est facile de s’en convaincre en faisant varier x dans la fonction donnée, et y daus la dérivée ainsi obtenue. On arrive au même résultat final qu’en faisant varier y d’abord, et ensuite x daus la dérivée. Aous croyons inutile de nous arrêter davantage à cette démonstration, semblable à celle dont nous avons fait usage au n° 26 pour la différentiation des fonctions de fonctions.

On peut donner une interprétation géométrique à ce théorème. Supposons que z = fÇx , y) soit l’équation d’une surface. Faire varier x en laissant y constant revient à prendre les points successifs de la courbe obtenue en

CAI.CDf. INFINITÉSIMAT,.

coupant la surface par un plan parallèle au plau des zx. Faire varier y eu laissant x constant revient à couper la surface par un plan parallèle au plan des zy. Le point de la surface qui correspond à ces deux variations successives est évidemment le même quel que soit l’ordre dans lequel ou les a effectuées,