L’intégrale définie I dx est susceptible d’une

représentation géométrique.

Construisons la courbe AMB {fig. 2) qui a pour équation y = f(x)i soit O C la valeur initiale x de la variable, et soit O D sa valeur finale x n ■ Je dis que l’intégrale définie sera représentée par la surface curviligne A B DC comprise entre la courbe, l’axe des abscisses, et les ordonnées extrêmes A C , B D.

En effet, décomposons la surface en bandes telles que MMP P', au moyen d’ordonnées menées par les divers „ points de la base correspondant aux accroissements Ax , Ax, , . . , Ax„ , de la variable. Si l’on mène M H parallèle à OX , le rectangle MH PP' est égal à M P ou f(x), multiplié par l’accroissement PP'. La somme de tous les rectangles ainsi formés, qui a pour expression

CALCUL INFINITÉSIMAL

2 f(x) Ax, converge vers la surface ABDC 4 , à mesure

Fig. 2.

que chacun des accroissements diminue iudéftniinent. a Les intégrales indéfinies ne sont évidemment pas suscep-

1 C'est la conséquence de ce que la somme des parties telles que M II M' converge vers zéro. Nous ne nous occupons pas ici d’établir rigoureusement ce dernier point — qui, du reste, semble assez évident de lui-même — parce que c’est un cas très-particulier d’une proposition beaucoup plus générale que nous démontrerons plus loin.

* On s’appuye assez souvent sur cette représentation géométrique pour démontrer l’existence de l'intégrale de toute fonction d’une seule variable. Mais ce n’est point là une véritable démonstration ; car la construction même de la figure suppose implicitement que la fonction donnée satisfait aux conditions qui servent de base au raisonnement du n° 37 . Que deviendrait, par exemple, la surface qui doit représenter l’intégrale si la fonction et par suite l’ordonnée de la courbe pouvaient devenir infinies pour certaines valeurs de la variable ? Nous avons donc à reproduire les mêmes objections qui nous ont fait repousser la démonstration analogue pour l’existence de la dérivée.

SECONDE PARTIE

tibies de la même interprétation, puisque rien, dans leur expression , ne limite la surface qu’elles devraient représenter. Toutefois, on peut les ramener aux intégrales définies, en imaginant que la valeur initiale de la variable est telle que la fonction intégrale est nulle pour cette valeur, et que la valeur finale garde l’expression indéterminée x. Dans cette hypothèse, et en désignant par x„ la valeur initiale, l’intégrale définie / f(x ) dx , ou F {x) — F ( x 0 ) , se Jœ 0

réduit à F(ar), c’est-à-dire à l’intégrale indéfinie ellemême. Quant à la quantité .r„ , elle peut fort bien être purement imaginaire, puisque l’équation F {x) = o n’a pas nécessairement une racine réelle.