INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. - REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE

39. — La recherche de la limite d’une somme est ainsi ramenée à la recherche d’une fonction qui ait pour dérivée la fonction qui figure dans les termes de la somme. La fonction une fois trouvée, il ne resle plus qu’à y substituer les deux valeurs extrêmes de a? et à prendre la différence. Cette dernière partie de l'opération est tout à fait secondaire, comme difficulté de calcul, à côté de la recherche même de la fonction. Aussi est-ce à celte recherche qu’on peut restreindre le calcul intégral proprement dit *. On

1 Les opérations complémentaires, consistant à remplacer la variable par les valeurs extrêmes et à prendre la dillérence , sont évidemment du res-

CALCUL INFINITÉSIMAL

nomme fonction intégrale^ ou intégrale indéfinie, ou plus simplement intégrale la fonction qui a pour dérivée la foncliou donnée. On nomme intégrale définie la différence obtenue en substituant dans l’intégrale indéfinie les deux valeurs extrêmes de la variable ; ces deux valeurs extrêmes s’appellent les limite s de l’intégrale '.

L’intégrale indéfinie n’a donc pas la signification en quelque sorte concrète de l’intégrale définie : elle ne représente pas une grandeur déterminée, comme est la limite d’une somme de termes. Elle n’exprime qu’une relation algébrique, qni consiste en ceci : qu’elle ait pour dérivée la fonction donnée. On désigne cette intégrale dans les for-

mules par le même symbol que les intégrales définies :

seulement il n’y a pas de valeurs extrêmes à indiquer. Ainsi la relation

signifie simplement que F(;r)a pour dérivée f(x) otf pour différentielle f(x) d.r.

Il suit de là que le signe de l'intégration indéfinie èt celui de la différentiation se détruisent réciproquement ;

si bien que d j" f(x) dx ne signifie pas autre chose que

sort de l'algèbre ordinaire, et n’ont rien de commun avec les procédés , propres au calcul Infinitésimal. . •

1 11 faut avoir bien soin de ne pas confondre l’acception donnée ici au mot de limite avec celle que nous lui avons donnée jusqu’à présent. Les limites d’une intégrale sont les valeurs déterminées entre lesquelles est formée la somme qu’on se propose de calculer.

SECONDE PARTIE

f(x) dx. Car prendre la différentielle de J f(x) dx ou de

F (x), c’est prendre la quantité f{x) dx, puisque, par hypothèse, F ( x ) est la fonction qui a f(x) pour dérivée ou

f(x) dx pour différentielle. De même J d F (x) représente

exactement F [x), car prendre l’intégrale de d F ( x ) ou de f{x) dx, c’est prendre la fonction F ( x ) elle-même.

Le calcul intégral nous apparaît donc comme réciproque du calcul différentiel. C’est un résultat bien remarquable et qu’il était permis de ne pas entrevoir dès le début, car il n’est pas évident, à priori, que la limite d’une somme de termes de la forme f[x) dx est exprimée par la différence - des valeurs de la fonction qui a f(x) pour dérivée.