CHAPITRE XIX

INTÉGRALES DE DIVERS ORDRES. — INTÉGRALES PRISES SUCCESSIVEMENT PAR RAPPORT A PLUSIEURS VARIABLES.

Uh. — De même qu’on dislingue les difléreniielles et les dérivées de divers ordres , nous devons distinguer également les intégrales de divers ordres.

On nomme intégrale du second ordre ou intégrale double (eelte dernière expressiou a prévalu) la fonction qui a pour dérivée l’intégrale du premier ordre ou l’intégrale simple.

L’intégrale triple est l’intégrale simple de l’intégrale double. D’une manière générale l’intégrale n a "* est l’intégrale simple de l’inlégraie n — 1“"*.

SoitF(;r), F 4 (#), F 3 (ar),... les intégrales simple, double,

SECOKOE PAHTIE.

triple, etc., de la fonction f\x). Les définitions qui précèdent s’expriment ainsi :

F(x)= I f (x) dx ;

F, (x) =J F (x) dx= Çdx I f[x)dx ou JJ' f(x) dx 1 ;

F 3 (x) = I F 4 (æ) dx=J dx j' dxj'f(x)dx ou jjj Ç f (x) dx 1 ; . . . \ . . . . » . . .

On remarquera que dans celte notation nous regardons

J dxf f( x^dx et j j f(x')dx' 1 comme parfaitement synonymes. En effet, la première intégration j' f{x) dx, qui

fournit la valeur de l (.r), devant être effectuée sans se préoccuper du nouveau multiplicateur dx introduit par la deuxième intégration, on peut regarder ce multiplicateur comme constant par rapport à la première intégration,

et, dès lors, le faire passer sous le signe j , ou le laisser en dehors de ce signe.

Il résulte encore des définitions adoptées, tant pour les intégrales que pour les différentielles, qu’on peut écrire

d F(x) d 2 Fj(a;) d 1 F a (*)

dx dx 1 dx 3

On voit aussi, d’après la démonstration donnée au n° 32 :

f ( x ) = lira

lim

CALCUI. INFINITÉSIMAL.

-, Les intégrales des divers ordres sont ou indéfinie », comme nous vouons de le supposer, ou définie *, c'est-à-dire ayant chacune leurs limites inférieure et supérieure. Dans ce dernier cas, il est visible que l’intégrale double peut être représentée géométriquement par le volume d’un prisme droit, ayant pour base la surface curviligne qui représente l’intégrale simple et pour hauteur la différence des limites de la seconde intégrale.

Quant aux intégrales supérieures , elles ne sont pas susceptibles d’une interprétation analogue.

On distingue enfin les intégrales prises successivement par rapport à diverses variables, chacuue de ces variables étant considérée tour à tour comme seule variable et toutes les autres comme constantes.

Ces intégrations sont l’objet d’un théorème semblable à celui qui termine le n° oh ■.

Le résultat final de plusieurs intégrations successives reste le même quel que soit l’ordre des intégrations.

Ainsi je dis qu’on a :

f dy j f(x,y)dx=j dx f f(x,y)dy .

Soit F (a?, y) la fonction résultant des intégrations indiquées au premier membre, et 4> (.r,y) celle qui résulte des intégrations indiquées au second. Si je différcntie F (#,y) successivement par rapport à y et à x , je retombe sur la fonction donnée f Or, y), en sorte que j’ai

f^^düdTv-

Si je dilférenlie 4» (je, y) dans un ordre inverse, c'est-à-

SECONDE PARTIE

dire, d’abord par rapport à a; et ensuite par rapport à y, je retombe également sur f ( x,y ). J’obtiens donc :

d’où

tly iLr dx dy '

Ur le résultat de deux différentiations successives n’est pas changé quel que soit l’ordre des différentiations ; donc F (r, y) = $ (x, y). Ce théorème s’étendrait facilement à un nombre quelconque d’intégrations.

La différentiation et l’intégration sont, comme nous avons dit, deux opérations inverses, qui se détruisent réciproquement. Il n’en est plus ainsi quand elles sont effectuées par rapport à des variables différentes. Dans ce cas chaque opération garde sa valeur, mais on peut intervertir l'ordre daus lequel elles doiveut avoir lieu. C’est-à-dire qu'on a :

d i f (x,y) dx i'df{r,y)

-■hç — =J -dT 4 *

En effet, différentions les deux membres par rapport à x ;

le second membre devient immédiatement ' ,

dy

puisque la différentiation et l'intégration, par rapport à la

même variable, se détruisent. Quant au premier membre,

on peut intervertir l’ordre des deux différentiations, et il

d d Ç f (x, y) dx .

devient ^ , quantité qui se réduit aussi

- df(x, y) dy ■

Les intégrales définies sont également l’objet de théo-

CALC.rr. INFINITÉSIMAL.

rennes intéressants. On démontre , par exemple , que la dérivée d’une intégrale définie , prise par rapport à l’une des deux limites (considérée comme une variable), s’obtient en substituant simplement la limite à la variable indépendante, dans la fonction qui figure sous le signe d’intégration, etc. Mais l’examen de ces diverses propositions nous entraînerait hors des bornes de celte étude.