INTÉGRATION DUS FONCTIONS IMPLICITES OU DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Ù5. — Les procédés d'intégration que nous venons d’indiquer supposent que l’équation qui assigne la valeur de la quantité inconnue est une équation explicite, de la forme dy — f (#) dx ; en d’autres termes la fonction à intégrer est censée être une fonction de x seulement.

Mais de même que dans le calcul différentiel nous avons été conduit à examiner des équations implicites ou non résolues par rapport à la variable dépendante, de la forme f(x, y) == o, de même, pour concevoir le calcul intégral dans toute sa généralité, il faut envisager des équations dans lesquelles la différentielle dy ne puisse pas être dégagée ostensiblement, et où elle se trouve, au contraire, combinée d’une manière quelconque avec la variable indé-

CALCUL INFINITÉSIMAL

pendante et même avec la fonclion qu’il s’agit de trouver. De sorte qu’on a il traiter des équation de la forme

La séparation de ce nouveau cas est même bien plus marquée, relativement à l’intégration, que la séparation analogue pour la différentiation \ « Dans le calcul diffé- « rentiel, èn effet, cette distinction ne repose, comme nous « l’avons vu, que sur l’extrême imperfection de l’analyse « ordinaire s . Mais, au contraire, il est aisé de voir que, « quand même toutes les équations seraient résolues algé- « briquement, les équations différentielles n'en consti- « tueraient pas moins un cas d’intégration tout à fait dis- « tinct de celui que présentent les formules différentielles « explicites; car, en se bornant, par exemple, au premier « ordre et à une fonction unique y d’une seule variable x, « pour plus de simplicité; si l’on suppose résolue, par rap-

« port à ^ , une équation différentielle quelconque entre

« x , y et ^ , l’expression de la fonction dérivée se trou-

« vant alors contenir généralement la fonction primitive « elle-même qui est l’objet de la recherche, la question

1 Ce passage est emprunté à la Philosophie positive de M. Auguste Comte (tom. 1 er , p. 206 et suivantes). Nous espérons que le lce.teurne nous saura pas mauvais gré de reproduire in extenso des considérations auxquelles on suppléerait dirtlcilcment.

s En effet, si l’on savait résoudre une équation quelconque, on ramènerait toutes les fonctions implicites ?i être explicites , et il serait , dès lors, inutile d’en faire la distinction pour la recherche des différentielles.

SECONDE PARTIE

« d’intégration n’aurait nullement changé de nature, et la « solution n’aurait réellement fait d'autre progrès que « d’avoir amené l’équation différentielle proposée à ne plus « être que du premier degré, relativement à la fonction « dérivée, ce qui est en soi de peu d'importance. La diffé- « renliellc n'en serait donc pas moins déterminée d’une « manière à peu près aussi implicite qu’auparavant, sous le « rapport de l'intégration , qui continuerait à présenter « essentiellement la même difficulté caractéristique. La « résolution algébrique des équations ne pourrait faire « rentrer le cas que nous considérons dans la simple « intégration des différentielles explicites, que dans les « occasions très-particulières où l’équation différentielle « proposée ne contiendrait point la fonction primitive « elle même, ce qui permettrait, par conséquent, cp la

« résolvant, de trouver ^ en fonction de x seulement, et dx 1

« de réduire ainsi la question aux quadratures (intégrales

« simples).

« La considération que je viens d’indiquer pour les « équations différentielles les plus simples aurait évidem- « ment encore plus d’importance pour celles des ordres « supérieurs, ou qui contiendraient simultanément diverses « foiictiohs de plusieurs variables indépendantes. Ainsi, « l’intégration des différentielles qui ne sont déterminées « qu’implieitement constitue, par sa nature et sans aucun « égard à l'état de l’algèbre, un cas entièrement distinct « de celui relatif aux différentielles explicitement expri- « mées en fonction des variables indépendantes. L’inlé- « gration des équations différentielles est donc nécessai- « renient plus compliquée que celle des différentielles

CALCUL INFINITÉSIMAL

« explicites, par l'élaboration desquelles le'calcul intégral « a pris naissance, et dont ensuite on s’est efforcé de faire, « adtant que possible, dépendre les autres. Tous les divers « pi océdés analytiques proposés jusqu’ici pour intégrer les « équations différentielles, soit la séparation des variables, « soit la méthode des multiplicateurs, etc. , ont, en effet, « pour but de ramener ces intégrations à celles des force mules différentielles, la seule qui, par sa nature, puisse « être entreprise directement. Malheureusement , quel- « que imparfaite que soit jusqu’ici celte base nécessaire de « tout le calcul intégral, l’art d’y réduire l’intégration des « équations différentielles est encore bien moins avancé. » Ces réflexions nous dispensent d’insister davantage sur la théorie des équations différentielles. Le but de cet essai n’est pas d’exposer dogmatiquement l’analyse infinitésimale, mais d’en faire ressortir l’esprit et la portée. Sous ce rapport, l’élude des équations différentielles n’ajouterait rien à ce que montrent le calcul différentiel et le calcul intégral, restreints aux limites que nous nous sommes assignées. C'est dans les opérations fondamentales de ces calculs, envisagées dans leur simplicité primitive, qu’on saisiwf mieux le véritable esprit de la science qui nous occupe. Aussi, quand nous traiterons de la méthode infinitésimale, nous raisonnerons habituellement comme si les questions étaient ramenées au cas élémentaire de la recherche d’une dérivée ou d’une intégrale de fonction d’une seule variable.