DÉTERMINATION DES ORDRES DE GRANDEUR DE QUELQUES INFINIMENT PETITS

61. — Grandeur des lignes trigonomêtrique» correspondant à un arc infiniment petit.

Le sinus et la tangente sont des infiniment petits du . même ordre que l’arc et peuvent lui être substitués. Le sinus-verse est d’un ordre supérieur : cela ressort de la relation générale

sinus-versex=l — cosa; = l— V/l — sin 1 * ;

d’où, en multipliant et divisant par 1+1/ 1 — sin*#, il vient :

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

. sin 2 a;

smus-vcrse x = — ===== .

l + l/l — si il 5 x

Or, quand x est infiniment petit, le dénominateur du second membre a pour limite 2 , tandis que le numérateur est un infiniment petit du second ordre.

Il suit de là que le cosinus d’un arc infiniment petit diffère de l'unité par un infiniment petit du second ordre ; car on a 1 — cosa?=sinus-versear. Le sinus d’un arc infiniment voisin de 90° diffère pareillement de l’unité par un infiniment petit du second ordre ; car le sinus de cet arc est égal au cosinus d’un arc infiniment petit. On peut dire aussi que la différence entre les sinus de deux ares infiniment près de 90° est un infiniment petit du second ordre. Tandis que la différence des sinus de deux arcs qui diffèrent infiniment peu l’un de l’autre, mais qui n’approchent pas de 90°, est un infiniment petit du premier ordre.

Il n’est pas plus difficile de voir que la différence entre la tangente et le sinus d’un arc infiniment petit est du troisième ordre, car on a généralement :

d’où

tang x =

sm a; cos a;

. S'il x

tang a: — sin x sina; ;

cos a:

et, par suite :

tanga; — sin x —

sin a; x sin-versea; cos a;

Si l’arc est infiniment petit, le cosinus a pour limite l’unité, le sinus est du premier ordic et le sinus-versc est du