Grandeur des éléments d’un triangle infinitésimal

Les côtés d’un triangle quelconque sont proportionnels aux siuus des angles opposés. Si donc les trois angles sont finis, les trois côtés sont du même ordre de grandeur, c'est-à-dire simultanément finis ou simultanément infiniment petits.

Si l’un des angles est infiniment petit, le côté opposé est infiniment petit par rapport aux autres. D’où il suit que ces derniers ne diffèrent entre eux que d’une longueur infiniment petite, car leur différence est moindre que le troisième côté. Si, en outre, les deux angles finis sont très-voisins chacun de 90°, la différence des côtés est un infiniment petit du second ordre: cette différence est en effet proportionnelle à celle des sinus, laquelle, d’après ce qu’on a vu plus haut, est du second ordre. On peut d’ailleurs s’en assurer directement, en examinant un triangle rectangle,

1 La corde est évidemment plus grande que le sinus et plus petite que la tangente ; d’après la propriété connue des obliques s’éloignant plus ou moins du pied de la perpendiculaire. Quant à l’infériorité de l’arc à la tangente, il suffit pour s’en convaincre de faire tourner la figure autour de la sécante et de la rabattre de l’autre côté : le double de l’arc se trouve alors enveloppé par le double de la tangente.

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

dont l’un des angles aigus serait infiniment petit, et l’autre, par conséquent, très-près d’étre droit. Appelons a l’hypothénuse, b le côté opposé au petit angle et c le troisième ; on a :

a 2 — c 2 = 6 2 , ou (a — c) (a + c) = b" 1 ;

d ou a — c = .

Si a et c sont des infiniment petits du premier ordre, b

sera du second ou P du quatrième, et — - — ou a — c sera

du troisième.

Ces remarques trouvent leur application dans le triangle formé par la corde d’un arc de courbe, la tangente et la portion de droite qui représente la différence entre les accroissements des ordonnées de la courbe et de la tan-

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gente (fig. 3). L’angle M'MN étant infiniment petit, puis-

TROISlkME PARTIE.

qu’il converge vers zéro en môme temps que l'arc, le côté opposé M'N est infiniment petit par rapport à MN ou PP', c’est-à-dire est du second ordre. Nous l’avions déjà établi par voie analytique (n° 19), car M'N représente A y — dy. Par suite la différence entre la corde MM' et l’accroissement MN de la tangente est un infiniment petit du second ordre. Par suite encore, la différence entre l’arc et la corde est au plus du deuxième ordre. En effet, dans un triangle un côté quelconque est moindre que la somme des deux autres et plus grand que leur différence. On a donc :

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