MN -4- M'N > MN — M'N

d’autre part l’arc MM' est moindre que la ligne enveloppante MN + M'N, et plus grand que sa corde; on peut écrire :

arc MM'

< MN -f- M'N > MN — M'N

Or, ces deux limites, entre lesquelles l’arc et la corde sont compris, diffèrent entre elles de 2 M'N, c’est-à-dire d’un infiniment petit du second ordre. Donc la corde diffère de l’arc par un inflniment petit au plus du second ordre.

Si l’on abaisse la perpendiculaire M'I sur la tangente, on formera un triangle rectangle MM'I, dans lequel l’angle M'MI est infiniment petit, et, par conséquent , M'I du troisième ordre. La différence entre MM' et MI est donc un infiniment petit du troisième ordre. On démontrerait également , par des considérations analogues à celles de tout à l’heure, que la différence entre l’arc et la corde, que nous avions vu être au plus du second ordre , ne peut

MÉTHODE INFINITESIMALE.

surpasser le double de M'I, c’est-à-dire est seulement du troisième ordre. Ainsi se trouve étendue aux arcs de courbes quelconques la proposition établie d’abord pour les arcs de cerclç.

Disons enfin, pour terminer ce sujet, que si dans un triangle deux angles sont infiniment petits, le troisième angle sera très-près de 180”, et son sinus sera infiniment petit. Les trois côtés seront donc du même ordre de grandeur : ce qui était facile à prévoir, car deux côtés étant infiniment petits en vertu de l’hypothèse faite sur les angles opposés, le troisième côté, moindre que la somme des deux premiers, est nécessairement infiniment polit.

Ces considérations montrent avec quelle facilité on peut souvent, dans le cours d’un calcul de limites, apprécier les relations de grandeur qui existent entre divers infiniment petits de la question. C’est , d’ailleurs , ce que nous achèverons d’éclaircir bientôt en traitant de quelques problèmes.