TROISIÈME PARTIE

En sc reportant aux chapitres précédents, on reconnaît sans peine : 1“ que la formule est identique à celle trouvée au n° 73 ; 2° que la manière même de trouver ce rayon , dans la présente méthode, montre clairement son identité avec le rayon de courbure , puisqu’on exprime qu’il est égal à un arc infiniment petit de la courbe divisé par l’angle des tangentes menées aux extrémités de cet arc. ;

La même construction apprend encore que le centre du cercle oscillateur peut être considéré comme déterminé par l’intersection de deux normales infiniment voisines de la courbe ; ce qui signifie que deux normales étant menées à deux points de la courbe, et ces normales étant ensuite rapprochées de plus en plus , leur point de rencontre tend à passer par le centre du cercle oscillateur.

La marche que nous venons de suivre pour résoudre ce problème , et qui nous a conduit très- simplement au résultat, emprunte évidemment tonte sa rigueur aux principes déjà démontrés sur les infiniment petits. Nous avons supposé en effet : 1” que les points de la courbe appartenaient au cercle oscillateur, ou que l’angle de deux tangentes consécutives de la courbe ne différaient point de l’angle des tangentes correspondantes du cercle; 2° que l’arc de la courbe ne différait point de l’arc de la circonfcrencS ; 3° que les accroissements de la longueur de la courbe et de l’angle formé par la tangente avec l’axe des abscisses étaient égaux à leurs différentielles. Ces diverses hypothèses ne seraient pas légitimes, si l’on n’avait pas préalablement établi les ordres comparatifs de grandeur des diverses quantités considérées, et si l’on n’avait pas démontré que deux infiniment petits, dont la différence

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

est d’un ordre supérieur, peuvent être substitués l’un à l'autre dans un calcul de limites.

83. — Il est aisé de voir que le raisonnement ne s’appliquerait plus si, au lieu du cercle osculaicur, il s’agissait d’un cercle tangent quelconque. En effet, ce raisonnement s’appuie, comme nous venons de le dire, sur ce que l’angle des deux tangentes consécutives de la courbe peut être remplacé par l’angle des tangentes correspondantes du cercle. Or, si nous considérons le triangle infinitésimal ayant pour sommet le point de rencontre des deux tangentes consécutives de la courbe, et pour base la partie de l’ordonnée du second point interceptée par la tangente du premier, cette base est un infiniment petit du second ordre par rapport aux autres côtés du triangle. Par conséquent l’angle des tangentes est un infiniment petit du premier ordre. Si l’on envisage le triangle analogue formé par les tangentes du cercle, la base de ce triangle différera de celle du précédent de toute la partie de l’ordonnée comprise entre la courbe et le cercle. Lorsque le cercle est simplement tangent, cette différence est du second ordre ou de l’ordre de la base elle même ; et l’angle des tangentes du cercle diffère de l’angle des tangentes de la courbe par un infiniment petit du même ordre que ces angles. La substitution n’est donc pas possible. Mais lorsque le cercle est osculateur, la portion d’ordonnée comprise entre lui et la courbe est du troisième ordre, d’où il "suit que la différence des angles est d’un ordre supérieur à l’ordre de ces angles eux-mêmes. Dès lors ils peuvent être remplacés l’un par l’autre; et c’est ce qu’implique la démonstration précédente.