TROISIÈME PARTIE
qui en marque le degré, c’est la manière dont les lignes se comportent dans les environs du point commun. D'une manière absolue et en la prenant à la lettre , l’expression d 'cléments communs à deux lignes ne signifie rien. Dans une ligne il n’y a pas d’éléments indivisibles , conçus comme réunissant deux points réellement consécutifs ou entre lesquels aucun autre point ne pourrait se trouver. Il y a des arcs plus ou moins étendus, comprenant toujours, malgré leur extrême petitesse, un nombre infini de points géométriques. La coïncidence de deux lignes, le long d’un élément, même réduit au-dessous de toute grandeur imaginable , impliquerait leur parfaite identité dans toute leur étendue ; car deux ifgncs ne peuvent jamais avoir qu’un nombre limité de. points communs, en rapport avec le nombre de paramètres de leurs équations. Lors donc qu’on parle d’un élément commun à deux lignes, cela signifie que, dans un calcul de limite, on pourra remplacer une portion infiniment petite d’une de ces lignes par la portion correspondante de l’autre.
82. — Passons à la recherche du cercle oscillateur d’une courbe donnée AB (fig. 16).
D’après ce que nous avons dit au commencement de ce chapitre, le cercle a trois points consécutifs communs avec la courbe, à partir du point de contact M. Si donc nous donnons à x des accroissements égaux PP', P' P", les points correspondants M', M" de la courbe appartiendront au cercle en même temps que le point M. Le centre C sera déterminé par la rencontre des perpendiculaires IC, l'C , menées respectivement par le milieu des éléments Al M', M' M". La valeur du rayon s’ensuit
MÉTHODE INFINITÉSIMALE
nécessairement; car la figure ICI' étant un secteur circulaire, le rayon est égal à l’arc divisé par l’angle au centre :
arC J J*
donc IC ou R a pour expression ; — rrrrr- Mais II' est
angle ICI
égal à la demi-somme de MM' + M'M", ou à la demisomme de 2 ds, ou à ds. Quant à l’angle ICI', il est égal à l’angle MCM', ou à l’angle formé par les deux tangentes menées en M et M', ou enfin à la différentielle d\ de l’angle formé par la tangente avec l’axe des abscisses. Il vient en conséquence *
ou
J__dV R — ds 5
expression dans laquelle il n’y a plus qu’à remplacer d\ et du par leurs valeurs connues, is.
