ET MÉTHODE

13. — Il est visible que si la connaissance de la loi des variations d'une quantité permettait de calculer la limite vers laquelle elle converge , la solution des problèmes pourrait en recevoir de très-grands secours. Pour évaluer, je suppose, la longueur d'une courbe, il suffirait de déterminer le périmètre d'un polygone inscrit et de voir de quelle manière ce périmètre varie à mesure que le nombre des côtés augmente indéfiniment. Mais sans anticiper sur ce genre de recherches (qui forment, comme on le verra plus tard, la destination effective de l'analyse supérieure), on peut constater immédiatement, pour un certain nombre de questions, rutilité de la conception des limites. Ainsi,

d'une manière générale, les propriétés d'une quantité, à tous ses états de grandeur, appartiennent également à la limite vers laquelle elle tend. Sachant, par exemple, que Faire d'un polygone régulier est égale à son périmètre multiplié par la moitié de l'apothème (rayon du cercle inscrit), quel que soit le nombre des côtés, j'en conclus avec certitude que cette relation est vraie aussi pour le cercle, ou que l'aire de ce dernier est égale à la circonférence multipliée par la moitié du rayon.

Les problèmes peuvent être distingués en deux catégories, selon que les relations sont établies directement entre les diverses quantités qui y figurent, ou selon que ces quantités sont remplacées par d'autres qui en approchent indéfiniment, de telle sorte que les équations portent sur des limites de variables qui convergent respectivement vers les éléments véritables de la question.

La mesure de l'aire d'un triangle, par exemple, est un problème de la première catégorie, parce que l'équation formée entre cette aire, la base et la hauteur du triangle, établit une relation directe entre les éléments du problème. Au contraire, la question que nous avons citée tout à l'heure (la mesure de l'aire d'un cercle) est un problème de la deuxième catégorie, parce qu'on y recourt au polygone inscrit, et que l'équation porte, en conséquence, sur les limites de l'aire, du périmètre et de l'apothème du polygone, limites qui sont respectivement l'aire, la circonférence et le rayon du cercle.

Les sciences qui s'occupent de la première sorte de problèmes, forment dans leur ensemble l'Analyse ordinaire ou algébrique, et les procédés mis en usage sont désignés avec beaucoup de raison, par M. Auguste Comte, sous le

nom générique de calcul des fonctions directes. Les sciences qui traitent de la seconde nature de problèmes, constituent l'Analyse transcendante ou infinitésimale, ainsi nommée pour rappeler que la notion de l'infini ou plutôt de Vindéfini (qui n'est autre que celle de limite) y intervient essentiellement. Les procédés algébriques qu'on y emploie forment, d'après le même auteur, le calcul des fonctions indirectes *.

i/i.— L'Analyse ordinaire comporte, comme on sait, deux parties distinctes : Tune qui est la mise en équatians des problèmes, ou la manière d'exprimer algébriquement les relations qui existent entre les divers éléments ; l'autre qui consiste à résoudre les équations ou à efifectuer toutes les opérations nécessaires pour trouver les valeurs des inconnues en fonction des quantités connues. La première partie est la Méthode algébrique, l'autre est le Calcul. L'Analyse infinitésimale comporte naturellement la même division, et l'on y reconnaît une Méthode, distincte du Calcul infinitésimal proprement dit.

La méthode infinitésimale ofifre une particularité trèsimportante que ne présente pas la méthode algébrique ; c'est précisément la recherche, dans chaque problème, des quantités qu'on peut considérer comme limites de certaines autres, et la manière d'établir les équations qui doivent exprimer ces relations de limites.

Quant au calcul infinitésimal, il a pour objet de créer des procédés réguliers qui permettent de résoudre les équations d'une nature nouvelle, auxquelles donne lieu la

^ Cours de philosophie positive , 1. 1, p. 142.

relation de limite qui s'y trouve introduite. Cet objet ressort nettement des divers exemples que nous avons eu oc- . casion de citer. Ainsi la détermination de la vitesse d'un mouvement varié conduit à calculer la valeur limite vers laquelle tend indéfiniment le rapport de l'espace parcouru au temps, en supposant connue la relation entre Tespace et le temps. De même la détermination de la longueur

d'une courbe conduit à calculer la limite vers laquelle tend la somme des côtés d'un polygone inscrit, en supposant connue la forme de la courbe, c'est-à-dire l'équation qui la représente algébriquement.

La notion de limite n'était point étrangère aux géomètres anciens, et elle leur avait servi à résoudre un certain nombre de problèmes, tels que l'évaluation du rapport constant de la circonférence au diamètre. Ce qui leur a manqué véritablement pour aborder les hautes questions traitées avec tant de succès par les modernes , c'est le calcul infinitésimal lui-même. Ils étaient dépourvus de procédés généraux pour résoudre les équations aux limites. La découverte de ce calcul a eu en même temps pour résultat d'élargir le champ de la méthode, en sorte que ces deux branches de l'analyse infinitésimale se sont développées simultanément en se prêtant un mutuel secours.