LIMITES ET INFINIMENT PETITS

8. — Quaod les valeurs successives d'une quantité variable approchent indéfiniment d'une quantité fixe et déterminée, de manière à en différer ausù peu quofi le veut, cette quantité fixe est dite la limite des valeurs de

la variable.

C'est ainsi que l'aire d'un cercle est la limite des polygones inscrits et circonscrits; que le cône est la limite des pyramides inscrites et circonscrites ; que la parabole est la limite des ellipses dont le grand axe augmente indéfiniment ; que l'asymptote à l'hyperbole est la limite des tangentes dont le point de contact s'éloigne indéfiniment du sommet, etc., etc.

Pour être assuré qu'une quantité fixe est la limite d'une variable , il ne suffit pas de constater que la différence di-

minue de plus en plus : il faut encore prouver que cette différence peut devenir moindre que toute quantité donnée. Par exemple, toute parallèle à la direction de Tasymptote satisferait à la condition que les tangentes en approchent de plus en plus : cependant ce ne serait pas là une limite, parce que la différence entre ces tangentes et la parallèle en question ne pourrait pas être rendue moindre que la distance qui sépare la parallèle de Tasymptote. De même les polygones inscrits dans un cercle ne sauraient avoir pour limite tout autre cercle concentrique au précédent, si minime d'ailleurs que fût la différence des rayons.

Cette condition essentielle que la différence entre la limite et la variable soit susceptible de descendre au-dessous de toute grandeur assignée, a pour conséquence immédiate qu'une variable ne peut avoir qu'une seule limiie. On conçoit dès lors que la loi des variations d'une quantité étant connue, la limite, s'il en existe, se trouve parfaitement déterminée : bien qu'on puisse , à la vérité , ne pas savoir la calculer effectivement.

Il ne faut pas confondre la définition que nous venons de donner de la limite, avec l'acception attribuée quelquefois

— mais à tort — au même mot, pour désigner la plus grande ovi la plus petite valeur que puisse recevoir la variable. C'est dans ce sens qu'on dit que le diamètre est la limite des cordes du cercle , que le rayon est la limite des sinus et des cosinus, etc. Nous n'emploierons jamais le mot dans cette acception. Ce qui caractérise la limite telle que nous l'avons définie, c'est à la fois que la variable puisse en approcher autant qivon le veut, et néanmoins qu'elle ne puisse jamais l*atteind7*e rigoureusement ; car, pour satisfaire à cette dernière condition , il faudrait

la réalisation d'une certaine infinité y qui nous est nécessairement interdite. Ainsi, pour que les polygones se confondissent exactement avec le cercle, il faudrait que le nombre des côtés devint infini ; pour que la tangente à Thyperbole coïncidât avec l'asymptote, il faudrait que le point de contact fut reculé à l'inQni. La condition d'infinité, mêlée à ces questions, leur enlève toute espèce de sens ; on doit s'en tenir à l'idée d'une approximation indéfinie , c'est-àdire de plus en plus grande à mesure que le nombre des côtés du polygone ou l'éloignement du point de contact de l'hyperbole augmente davantage.

9. — La notion de limite se rattache à une particularité intéressante : celle de deux définitions complètement dittincteg , et dont les objets tendent néanmoins à se confondre.

Définir un objet c'est en marquer des caractères tels qu'il ne puisse être confondu avec aucun autre. Si la confusion était possible, la définition serait nécessairement fausse ou incomplète. Quand on définit l'ellipse : Le lieu des points dont les distances à deux points fixes font une somme constante ; et la parabole : Le lieu des points qui sont à égale distance d'un point fiae et d'une droite donnée , on satisfait évidemment aux conditions logiques d'une bonne définition ; car l'ellipse et la parabole se trouvent parfaitement distinguées l'une de l'autre. Mais ce qui se produit, c'est qu'à mesure qu'un des points fixes de l'ellipse s'éloigne davantage, les deux courbes sont de moins en moins distinctes ; de telle sorte qu'on arrive à ce résultat extrême que deux énoncés logiquement différents ne représentent plus qu'une seule et même chose. Mais

cette circonstance n'infirme point la validité des définitions, puisque la confusion ne se manifeste qu'à l'infini.

Le propre de la limite et ce qui fait que la variable ne l'atteint jamais exactement, c'est d'avoir une définition autre que celle de la variable ; et la variable de son côté, tout en approchant de plus en plus de la limite, ne doit jamais cesser de satisfaire à sa définition primitive. Cette distinction entre les définitions de la limite et de la variable se retrouve partout. On le vérifiera aisément dans les divers exemples de limites que nous aurons lieu d'étudier par la suite ; et pour n'en citer qu*un seul, des plus usuels, celui de la tangente considérée comme limite des sécantes, qui ne voit que la tangente satisfait à la définition de n'avoir qu'un point commun avec la courbe, tandis que le propre de la sécante est, au contraire, d'en avoir deux? Cette circonstance capitale, de deux définitions logiquement distinctes et telles, néanmoins, que les objets définis peuvent s'approcher de plus en plus l'un de l'autre, rend compte de ce que parait avoir d'étrange, au premier abord, rimpossibilité de faire coïncider exactement deux quantités dont on est maître d'ailleurs de diminuer la différence au delà de toute expression.

10. — Une quantité variable n'est pas nécessairement toujours plus petite ou toujours plus grande que la limite dont elle s'approche indéfiniment ; il peut arriver, au contraire, qu'elle devienne alternativement plus grande et plus petite que celte limite, en oscillant pour ainsi dire de part et d'autre.

Ainsi le rapport du sinus à l'arc tend vers zéro à mesure que l'arc augmente; mais chaque fois que l'arc devient égal

à un multiple de la demi-circonférence , le rapport est nul et change de signe ; en sorte que ce rapport, alternativement positif et négatif, oscille réellement autour de zéro, en 8*en écartant de moins en moins, pendant que Tare augmente indéfiniment.

Il ne faudrait point dire que, la limite en question étant zéro, le rapport variable se confond rigoureusement avec cette limite, lorsque Tare est égal à un multiple exact de la demi-circonférence; — et que, par là, se trouve infirmé le principe sur lequel nous avons insisté, à savoir que la variable ne peut jamais coïncider avec sa limite. — Remarquons en effet que lorsque l'arc est supposé égal à un multiple de la demi-circonférence, le rapport dont il s'agit n'a plus aucun sens ; car il n'y a pas de sinus correspondant à un tel arc. Par suite, la quantité variable (le rapport du sinus à l'arc), qui implique l'existence d'un sinus, cesse de satisfaire à sa définition primitive, et c'est pourquoi la limite parait atteinte contrairement au principe général. Notre illusion à cet égard tient à ce que, pour passer d'un arc un peu plus petit qu'un multiple exact de la demi-circonférence à un arc un peu plus grand, nous passons gra^ phiquement par un point intermédiaire pour lequel, à proprement parler, la variable cesse d'exister avec la ligne trigonométrique qui lui donne naissance.

11% — On nomme quantité infiniment pelite ou simplement infiniment petit une quantité variable qui peut approcher de plus en plus de zéro, de manière à en différer aussi peu qu'on le veut, mais sans pouvoir jamais être rigoureusement nulle.

Celte définition rentre dans la définition générale de la

limite : elle correspond au cas particulier où la limite est supposée égale à zéro.

Oo peut dire aussi que la notion de limite implique ridée corrélative d'infiniment petit ; car de ce qu'une va* riable en général approche de plus en plus d'une quantité fixe, il s'ensuit que la différence entre cette quantité fixe et la variable tend indéfiniment vers zéro sans pouvoir néanmoins être nulle, c'est-à-dire est une quantité infiniment petite.

Mais afin de ne pas restreindre la portée de la notion, il convient d'envisager Tinfiniment petit en lui-même, sans le rattacher à une limite et à une variable dont il soit la différence. Il y a, en effet, bien d'autres manières de concevoir la génération d'un infiniment petit : on pourrait, par exemple, le faire résulter d'une fraction dont le numérateur serait constant et le dénominateur indéfiniment croissant, ou encore d'une puissance dont le degré augmenterait indéfiniment et dont la base serait moindre que l'unilé, etc., etc.

L'infiniment petit n'est pas une quantité très-petite, ayant une valeur actuelle, susceptible de détermination. Son caractère est d'être éminemment variable et de pouvoir prendre une valeur moindre que toutes celles qu'on voudrait préciser. Il serait beaucoup mieux nommé «n«^> finiment petit/ mais la première appellation ayant prévalu dans l'usage, nous avons cru devoir la conserver ^

^ Cette notion de riDÛniment peUt a été admirablement développée par Carnot, dans ses Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal (voir notamment pages 16 , 17 et 18). Avant ce géomètre, on avait, 11 faut le reconnaître, des idées assez confuses et même fausses sur la nature des inflniment petits, tels qu'ils sont introduits dans le calcul.

2lx PREMIÈRE PARTIE.

Par opposition à l*infiniment petit, on nomme quantité infiniment grande ou simplement infiniment grand une quantité qui peut augmenter au delà de toute expression.

L'infiniment petit et lUnfiniment grand sont les deux modes extrêmes de la quantité qui , dans ses variations, tend vers le néant ou vers Tinfini.

Le rapport d'une quantité finie à un infiniment petit est un infiniment grand, et son rapport à un infiniment grand est un infiniment petit : ou , si Ton veut , le produit de ces deux indéfinis opposés est une quantité finie.

12. — Les notions de fonction et de variable sont, comme on Fa vu, suggérées naturellement par l'étude des pi^Bomènes et par la résolution des problèmes de toute sorte. Il en est de même de celles de limite et d'infiniment petit : c'est ce^que montrent, à chaque pas, les plus simples questions qu'on puisse se proposer.

S'agit-il, par exemple, de la mesure d'un arc de courbe; tout d'abord et indépendamment des moyens quelconques mis en œuvre pour l'obtenir, se présente cette question préliminaire : Qu'est-ce que la longueur d'une ligne courbe ?

On ne peut plus répondre, comme pour la ligne droite, que c'est le nombre de fois quelle coniient l'unité' de longueur * ; car comment concevoir qu'une mesure rectiligne puisse être portée sur un développement curviligne? On se tire ordinairement d'embarras en disant que la Ion-

' La mesure de la ligne brisée ne se distingue pas de celle de la ligne droite, puisque chacune de ses parties est individuellement reclilignc.

gueur de la courbe est celle d'an fil flexible et inextensible qui coïnciderait exactement avec elle et qu'on étendrait ensuite en ligne droite. Mais la difficulté n'est que reculée. En admettant même que le fil soit doué des propriétés physiques supposées (flexibilité et inextensibilité parfaites), reste la question d'assurer sa coïncidence avec la courbe. Il est visible que les moyens employés pour y parvenir se réduisent en définitive à le faire passer par un certain nombre de points de la courbe, et à considérer la coïncidence comme exacte quand les points sont suffisamment rapprochés. Or, si grand que soit ce rapprochement, les points n'en sont pas moins parfaitement distincts, et les portions de fil qui les joignent deux à deux distinctes aussi des portions de courbe dont elles forment les cordes. La coïncidence qu'il s'agissait d'établir revient donc à inscrire dans la couii>e un polygone formé d'un très-grand nombre de côtés très-petits, et c'est la longueur du périmètre de ce polygone qu'on prend pour la longueur de la courbe elle-même. On comprend d'ailleurs très-bien que le résultat ainsi obtenu est d'autant plus près de la vérité que le nombre des côtés est plus grand : en d'autres termes, on envisage la courbe comme la limite des polygones inscrits. Pour justifier ce point de vue, il faut, d'après la définition générale des limites, prouver que la différence entre la longueur inconnue de la courbe et la longueur des périmètres inscrits peut être rendue moindre que toute quantité donnée, en augmentant convenablement le nombre des côtés. Nous n'avons pas à nous occuper, en ce mo-* ment , de la démonstration quelconque dont on peut faire usage : nous aurons occasion d'y revenir plus tard. Il s'agit seulement ici de montrer comment Fidée de limite se pré-

sente naturellement à Fespi it, et pour ainsi dire sans qu'on la formule explicitement : puisque dans un cas théorique* ment bien simple, la mesure d*une longueur de courbe, la définition même de Tobjet cherché implique la conception d'une limite.

Je citerai d'autres objets dont la définition semble nécessiter cette conception d'une façon plus directe encore. De ce nombre sont la vitesse (dans le mouvement qui n'est pas uniforme), V accélération (dans le mouvement qui n'est pas uniformément varié), la courbure (dans les lignes autres que le cercle), etc., etc. Comment, en effet, définir la vitesse dans un mouvement rectiligne varié, c'est-à-dire dans un mouvement où les espaces parcourus pendant des durées égales ne hont pas égaux? Nous ne pouvons plus, comme dans le mouvement uniforme, appeler vitesse la longueur parcourue pendant chaque unité de temps, puisque cette longueur varie incessamment. Mais si je considère une longueur très- courte, comme le mouvement n'a pas dû varier beaucoup dans l'intervalle, je pourrai admettre que la vitesse que j'avais en vue ne s'écarte pas sensiblement de la moyenne obtenue en divisant la longueur par le temps écoulé. Je conçois d'ailleurs fort bien que j'ai une évaluation d'autant plus exacte de cette vitesse que l'espace mesuré a une moindre étendue. En sorte que, finalement, si je vais au fond des choses, je reconnais que le terme dont mes observations matérielles cherchent à se rapprocher de plus en plus, est précisément la limite idéale du rapport de Fespace parcouru au temps employé à le parcourir, lorsque cet espace et ce temps convergent indéfiniment vers zéro.

Les mêmes considérations montrent en outre comment

la notion dinfiniment petit s'introduit dans l'analyse. Nous en avons des exemples naturels, soit dans les côtés des polygones inscrits et circonscrits à la courbe, soit dans les longueurs et les durées iiui interviennent dans la définition de la vitesse.