La relation précëdeminent trouvée

Ay = [r(^)4-a]Aa?

permet de déduire plusieurs conséquences intéressantes.

i'* Lorsque la variable reçoit, à partir d'une certaine valeur âr, un accroissement suffisamnient petit, l'accroissement qui en résulte pour la fonction est positif ou négatif, selon que la dérivée est elle-même positive ou négative pour la valeur initiale de la variable.

En effet, la quantité entre parenthèses se compose de deux termes /^(a?) et a, dont le second peut être rendu aussi petit qu'on veut , par rapport au premier , en pre-

naiit Aa^coiiYciiablemeni réduit. Le siguc de laparenlbèse est donc déterminé par celui de f'{x).

Ainsi la fonction y crott ou décroît pendant un certain temps, à partir de la valeur or, selon que la dérivée est positive ou négative pour cette valeur.

2*" Si la dérivée s'annule en changeant de signe, pour une certaine valeur de la variable, c'est-à-dire si la dérivée étant, par exemple, positive pour des valeurs delà variable un peu inférieures, devient négative pour des valeurs un peu supérieures, la fonction donnée passe par un fnaximunij c'est-à-dire pur une valeur plus grande que toutes celles qui précèdent ou qui suivent immédiatement.

C'est une conséquence de ce que le signe de l'accroissement de la fonction dépend de celui de la dérivée. Il en résulte que la fonction donnée crott jusqu'à la valeur qui annule la dérivée, et décroit au delà de cette valeur.

Le contraire aurait lieu et la fonction passerait par une valeur minimum si la dérivée était d'abord négative et ensuite positive.

S*" Si la dérivée est nulle pour toutes les valeurs de la variable comprises dans un intei*valle donné , la fonction est constante dans cet intervalle.

Car on peut faire croître x par degrés assez rapprochés pour que la quantité a correspondant à chacun des accroissements imprimés à x soit moindre qu'une valeur e, aussi petite d'ailleurs qu'on voudra la supposer. Dès lors, chaque accroissement de la fonction sera moindre que eA^r, et la somme de ces accroissements ou l'accroissement total reçu par la fonction dans l'intervalle supposé, sera moindre que e/, en désignant par / cet iniervalle. Or, e pouvant être pris indéfiiiiment pe(i(,ot/élant une quantité finie, le produit e/

peut élre réduit au delà de toute limite : ce qui revient à dire que la fonction n*a pas varié pendant tout Tintervalle en question.

4* Si la fonction donnée croît constamment dans un certain intervalle, la dérivée ne peut jamais prendre dans cet intervalle de valeur négative.

Car an moment où la dérivée deviendrait négative, la fonction décroîtrait pendant un certain tepips ; ce qui est Cjntraire à Thypothèse.

De même, si la fonction donnée décroit constamment, la dérivée est toujours négative.

Kien n*empéche d'ailleurs que la dérivée passe une ou plusieurs fois par la valeur zéro. Ce qu*il faut, c est qu'elle ne change pas de signe en s'annulant.

S"* Lorsque deux fonctions sont égales, quelles que soient les valeurs attribuées à la variable indépendante, les dérivées sont aussi égales.

Car si, pour une certaine valeur de la variable, il existait entre les dérivées une différence quelconque, les accroissements des deux fonctions différeraient nécessairement ; puisqu'ils sont respectivement égaux au produit de la dérivée par l'accroissement de la variable, plus un terme additionnel qui peut être rendu aussi petit qu*on le veut par rapport à ce produit. Dès lors les valeurs des fonctions, correspondant à cet accroissement de la variable, cesseraient d'être égales ; ce qui est contraire à l'hypothèse.

La même proposition subsiste évidemment quand les fonctions données ont entre elles une différence constante.

6*" Réciproquement, si les dérivées de deux fonctions sont égales, pour toutes les valeurs de la variable, les fonctions ne peuvent difféi*er que d'une quantité constante.

32. — L'accroissemeut I la dérivée et ta différentielle d'une fonction sont susceptibles i'um représentation géo* métrique.

Fig. 1.

Considérons la fonction et la variable comme les deux coordonnées d'une courbe ayant pour équation y=f (jp). Soit AB(fig.i) cette courbe, et M un point quelconque répondante deux valeurs â? et y des coordonnées. Prenons un point voisin M', et désignons ses coordonnés par ;r + Ajt et y + Ay. Les accroissements Aa? et Ay seront respectivement représentés sur la ftgnre par les longueurs PF ou MH et M'H.

Le rapport -^ ou rr^j ne sera autre chose que la tangente trigonométrique de Tangle formé par la sécante MM'S avec Taxe des or. Si A^ et Ay diminuent indéfiniment, le point M' se rapprochera de plus en plus du point M, ei la sécante MS tendra à se confondre avec la tangente MT.

Le rapport -r^, qui ne cesse pas d'êlre représenlé par la

tangente trigonométrique de Tangle formé par MS, dans toutes ses positions, aura pour limite la valeur de la tangente trigonométrique de Tangle formé par la droite MT. La dérivée ou le quotient différentiel, correspondant à une valeur x de la variable, mesure donc Tinclinaison , sur l'axe des ûp, de la tangente menée à la courbe par le point qui a pour abscisse cette valeur de la variable. On voit en même temps que la différentielle de la fonction , ou f (a:) dx, est figurée parNH, et que la seconde partie de Faccroissement, ou «rf:r, est figurée par M'N.

Ainsi Taccroissement de Tordonnée de la courbe représente raccroissement de la fonction, et Taccroissement de l'ordonnée de la tangente représente la différentielle. Ces ordonnées tendent de plus en plus à se confondre, à mesure que les deux points se rapprochent davantage, et leur rapport a pour limite l'unité.