PAR CERTAINS AUTEURS
20. — Quelques auteurs ont défini la différentielle d'une fonction autrement que nous ne Tavons fait nous-méme. Au lieu d'y voir le produit de la dérivée par l'accroissement de la variable indépendante, ils ont appelé différentielle l'aceroissement infiniment petit de la fonction. La conséquence immédiate de cette définition, c'est que la différentielle n'est pas rigoureusement égale à fÇje^dx ; car le rapport des accroissements de la fonction et de la variable, si petits qu'on les suppose, n'est pas égal à f(x)^ mais eu diffère d'une quantité qui converge vers zéro en même temps que dx. Si donc on regarde la différentielle comme égale à f\x)dx^ ou commet une erreur dont il est difficile d'apprécier l'influence au début d'une exposition du calcul
infinitésimal , et qu'il est bien préférable d'éviter en adoptant la définition que nous avons présentée ^ On y trouve encore l'avantage de laisser à raccroissement de la variable une valeur tout à fait quelconque au lieu de le supposer infiniment petit.
Afin de lever la difficulté relative à l'erreur que l'on commet en assimilant f (jv) dx à l'accroissement de la fonction, certains auteurs en sont venus à considérer «{^^ et dx^ non plus comme des accroissements infiniment petits, mais
dv comme de véritables zéros ^. Dès lors, le rapport -p ou
^ Nous sommes d'accord, en cela, avec d'éminents géomètres, MM, Sturm, Duhamel, etc.
Nous avons le regret de ne pas nous rencontrer avec un des savants les plus distingués de Tépoque, M. Bélanger. Voici comment s'exprime cet auteur, dans son Résumé de leçons de géométrie analytique et de calcul infinitésimal (p. 180) : « Le troisième mode de considérer dy et dx est une « conséquence des observations précédentes. On peut assigner à dx un tel « degré de petitesse, que dy puisse, sans crainte d'erreur dans les appli- « cations ou les conséquences qu'on en tirera, être pris pour Ay, et réci- « proquement. » Un tel point de vue a, selon nous, l'inconvénient capital de donner au calcul infinitésimal Tapparence d'un calcul d'approxima- Hon, tandis qu'il est tout aussi rigoureux que les opérations de Talgèbre ordinaire.
* On peut voir cette idée, catégoriquement foraiulée, dans les Éléments de calcul différentiel et intégral de l'estimable M. Boucharlat (pages 3 et suivantes). Le raisonnement , bien que relatif à la fonction particulière y=^x^t n'en est pas moins général. L'accroissement de x étant désigné par hf et celui de y par i/i — y, le point de vue est développé en ces termes :
tt Dans l'hypothèse àeh = o l'accroissement de y devenant aussi nul,
-^^— — se réduit à -, et par conséquent l'équation (3) (ceUe qui four- « Dit la valeur de la dérivée) devient
plutôt — est envisagé comme synonyme de lim, ^ et
par suite de ('{op) ; à la faveur de cet expédient on peut écrire :
%=f'{x) ou dy = f\x)dx.
Mais qui ne voit là une subtilité destinée à tromper les
« Cette équation n'a rien d'absurde parce que Talgèbre nous apprend que
< - peut représenter toutes sortes de quantités. D'ailleurs on conçoit que
« puisqu'en divisant les'deux termes d'une fraction par un même nombre, « cette fraction ne change pas de valeur, il en résulte que la petitesse des « termes d'une fraction n'influe en rien sur sa valeur, et que, par consé- « quent, elle peut rester la même alors que ses termes sont parvenus au « dernier degré de petitesse, c'est-à-dire sont devenus nuls.
« La fraction - , qui se trouve dans l'équation (3), est un symbole qui a
< remplacé le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la va- « riable : comme ce symbole ne laisse aucune trace de cette variable, re-
dy dy
< présentons-le «par --- ; alors -r^ nous rappellera que la fonction était y
UX 'liC
< et que la variable était x. Mais dy «t do; ne seront pas moins des quan- « tités nulles, et nous aurons :
dy « -p- ou plutôt sa valeur 3 x* est le coeillcient différentiel de la fonc
« lion y,
dy « Remarquons que -r- étant le signe qui représente la limite 3a;*
uX
« (comme le montre l'équation 4), dx doit toujours être placé sous dy « Cependant pour faciliter les opérations de l'algèbre, on peut momenta- « nément faire évanouir le dénominateur de Téquation (4), et l'on a « dy =Zx*dx, Cette expression 3a;' da; est ce qu'on appelle ladifféreo- « tielle de la fonction y, »
yeux plutôt que Fesprii? car si les accroissements sont ramenés à l'état de purs zéros, ils n'ont plus aucun sens. Leur propre est d'être, non pas rigoureusement nuls, mais indéfiniment décroissants sans pouvoir jamais se confondre avec zéro; en vertu de ce principe général qu'une variable ne peut jamais coïncider avec sa limite (n** 8). La fonction dérivée est, non l'expression du rapport de ces accroissements pris à aucun état de petitesse, mais la limite vers laquelle tend ce rapport. Lors donc qu'on arrive à
poser f {x)= lim. -r^, les deux termes du rapport sont
inséparables, et la quantité tout entièra lim. -r^ n'est plus
qu'un symbole qui signifie proprement : La valeur fixe vers laquelle converge l erapport de ^y à l^x quand ces accroissement s diminuentindé finiment . Il devientillusoire, pour
décomposer la quantité lim. -r^,dela représenter par —et
dy ensuite par ^ , en ne voyant plus dans ces termes dy et
dx individuellement que de purs symboles, et non des grandeurs algébriques. En outre,ie le demande, quelle signification pourront avoir des relations d'une forme comme celle-ci :
f'{x) dxz=o y
qu'on rencontre fréquenunent dans l'analyse ? Si dx est conçu comme exactement nul , cette relation n'est plus qu'une identité, satisfaite pour toute valeur de f'{x). Lorsqu'au contraire on laisse à dx son véritable caractère d'accroissement indéterminé^ la relation implique nécessairement qu'on ait f {x) = p, ce qui est, en effet, la condition qu'on doit trouver.
C'est ce genre de conception que Lagrange avait sans doute en vue, et c'est à elle que s'adresse justement la critique que rimmortei géomètre faisait peser à ton sur la méthode des limites, lorsqu'il disait : « Mais cette méthode (( (celle des fluxions) a, comme celle des limites dont nous <( avons parlé plus haut, et qui n'en est que la traduction « algébrique, le grand inconvénient de considérer lesquan- « tilés dans l'état oii elles cessent, pour ainsi dire, d'être « quantités : car, quoique l'on conçoive toujours bien le « rapport de deux quantités tant qu'elles demeurent finies, « ce rapport n'ofl*re plus à l'esprit une idée claire et pré- (c cise, aussitôt que ses termes deviennent l'un et l'autre « nuls à la fois. )>
La critique serait fondée, a l'égard de la méthode des limites, si effectivement on y prenait le rapport de deux quantités qu'on supposerait nulles à la fin. Mais il ne s'agit point de cela. Ce qu'on calcule, ce n'est pas le rapport des quantités, à un état plus ou moins avancé de petitesse, mais la limite fixe vers laquelle tend ce rapport, sans jamais l'atteindre absolument, à mesure que les termes diminuent de plus en plus. Ainsi, quand j'ai trouvé que le rapport de l'accroissement d'une certaine fonction à l'accroissement de la variable est égal à 2 ;r -+- p 4- A (c'est. la fonction qui figure au renvoi de la page 39) , je ne m'occupe point d'évaluer cette quantité en y supposant h plus ou moins petit, mais je conclus immédiatement que la limite vers laquelle tend le rapport, à mesure que h décroît, est 2 a? + p ; en sorte que 2 a? -h p représente la dérivée cherchée ; et ce résultat est dégagé de toute considération de quantité prise «rf«/i*/V/«/(?/J elle cesse, pour ainsi dire^ d*ètre quantité, «
bU SECONDE PARTIE.
Il n*est pas douteux que Lagrange, lorsqu'il dirigeait celte critique contre la conception des limites, ne Tavait pas suffisamment distinguée de celles qui en prenaient les apparences pour déguiser leur erreur fondamentale.
