DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES DE DIVERS ORDRES

31. — La dérivée d'une fonction étant elle - même une fonction, on est naturellement amené à considérer la dérivée de cette dérivée, et à la rattacher à la fonction primitive. On la nomme dérivée seconde de la fonction primitive. De même la dérivée de la dérivée seconde forme la dérivée troisième, etc., etc. En général, la dérivée d'un certain ordre est la déilvée de la dérivée de Tordre précédent. Elles sont distinguées, dans les formules, par des accents en nombre égal à celui qui marque Tordre de la dérivation. Ainsi /"(^), f" Çr), . . . représentent respectivement les dérivées seconde, troisième, etc.

Les différentielles sont Tobjet d'une succession analogue. On a des différentielles seconde, troisième, etc., qui

CALCUL INFLMTÉSnîAL. 83

sont, chacune, la différontiello de la différentielle précédente. La différentielle n'^"'^ désigne la différentielle de la différentielle n -— 1'^'"^ On les dislingue dans les formules en inscrivant à droite de la caractéristique d le numéro d'ordre de la différentiation. Ainsi rf^y, rf'y, etc., représentent les divers ordres de différentielles de la fonction primitive.

La définition de la différentielle première (simplement nommée différentielle) entraîne la relation

dy = f'{x)dx ;

ou plutôt cette relation n'est que l'expression même de la définition (n^ 19).

La définition des différentielles seconde, troisième, etc., n'entraîne, immédiatement, aucune relation analogue. En effet, la différentielle seconde, par exemple, n'est point définie le produit de la dérivée seconde par Vaccroissentent de la variable *, mais bien la différentielle de la différentielle première; ce qui est tout différent. Pour

* Evidemment rien n'empêciierait de considérer des dlfféreniielles ainsi définies, et d'appeler différentielle du n'^"'« ordre le produit de la dérivée nîimê par raccroissement de la variable indépendante. Toute définition est, de sa nature, arbitraire ; il suflTit, une fois qu'on l'a établie, d'y rester fidèle par la suite. Mais cette condition, dont se contente la pure logique, ne suffit point pour les sciences. Il faut encore que les objets définis soient utiles à considérer, c'est-à-dire qu'ils correspondent à des réalités phénoménales. Sans cela l'étude des objets définis serait sans application possible. C'est à ce rôle stérile que seraient réduites les différentielles des divers ordres, définies comme nous venons de le dire. Tandis qu'au contraire les différentielles, telles qu'on les a adoptées, correspondent, comme il sera facile de s'en convaincre, à des réalités intéressantes, ou s'introduisent naturellement dans les formules mathématiques des phénomènes.

' ïW

Sk SECONDE PARTIE.

déduire de là une relation quelconque , entre la différentielle et la dérivée, il est nécessaire de savoir effectuer les opérations indiquées par la définition, c'est-à-dire de savoir trouver la différentielle d'une différentielle.

Cest à quoi nous réussirons aisément au moyen des propositions déjà démontrées.

Cherchons, par exemple, la différentielle de dy ou de

On sait, d'après la règle relative à la différentiation des produits de fonctions, que d [f\x) x dx] est égal à

dx. d{'{x) + {\x)ddx .

Si nous supposons, ce qui est toujours permis, que les accroissements attribués à la variable indépendante x soient égaux, ou que dx soit constant, la différentielle de d.v sera nulle, et par suite le second terme de la quantité ci -dessus disparaîtra. Quant à la différentielle de f{x)j elle est égale, en vertu de la définition générale des différentielles premières, au produit de Taccroissement dx par la dérivée de f'Çx) ou par /*"(^), c'est-à dire à f'Xx) dx. On a donc :

d{dy) ou d^y = d[f' {x) dx] = f"{x) dx' , On trouverait de même :

d'y==r{x)d.c' ; et en général

d*" y = f^^'^x) dx'' .

il résulte de là que les différentielles des divers ordres

soDt respectivement égales au produit des dérivées par les puissances, du même ordre, de raccroissement de la variable; ou que les dérivées des divers ordres sont respectivement égales au quotient des différentielles par les puissanct's correspondantes de raccroissement.

32. — La défniition de la dérivée première c'est qu'elle est lu limite du rapport de raccroissement de la fonction à l'accroissement de la variable, lorsque ce dernier converge vers zéro.

La définition de la dérivée seconde c'est qu'elle est la dérivée de la dérivée première, ou la limite du rapport de raccroissement de la dérivée première à l'accroissement de la variable.

De cette définition il ne découle aucune relation immédiate entre la dérivée seconde et l'accroissement de la fonction primitive : car on ne découvre pas, à priori, de quelle manière l'accroissement de la fonction primitive peut être lié à l'accroissement de la dérivée première. Il existe cependant, entre l'accroissement d'une dérivée d'ordre quelconque et celui de la fonction primitive , une relation très-intéressante, que nous allons établir.

Supposons que dans la fonction donnée on attribue à x une série d'accroissements égaux (c'est ce que nous avons déjà admis pour rattacher entre elles les dérivées et les différentielles des divers ordres), la fonction prendra une série de valeurs correspondantes :

y . y* t Va . • • • yn .

Si je représente respectivement par Ay, Ay^, Ayj . . . Ayn

les accroissements successifs de la fonction, entre ces diverses valeurs, on aura :

^y=y«"-y» Ayî=y8— y«»-- • Ay^ = yw+i — y» •

Représentons par A^y la différence entre deux accroissements consécutifs Ay, Ay^, c'est-à-dire l'accroissement de Faccroissenient Ay lorsqu'on passe de Tintervalle y^ — y à l'intervalle y^ — y^. (Pour rester Adèle à la notation déjà adoptée, cet accroissement d'une nouvelle espèce doit, en effet, être désigné par A ( Ay ) ou plus simplement par A^y ; de même que pour les différentielles on désigne d(dy) par d^y). On aura par définition :

A'y = Ayj — Ay=y3 — y4-(yj — y) , et par suite :

yj—Vi Vf y

A^y Aa? Aa?

Aa?* Aa:

Actuellement, faisons décroître Aar indéfiniment, et voyons vers quelle limite converge le second membre. La

quantité ^^ ^^ , qui représente le rapport de l'accrois-

sèment de y^ à l'accroissement Aor, aura pour limite la dérivée de y^, c'est-à-dire la dérivée de y-H Ay, ou enfin /' (a? 4- A a?), puisque y -{- Ay = /*(a? -f- A a?). De même, la

fraction - . ^ a pour limite f'{x). En sorte que la limite du second membre est celle de ^ r^ — •

Mais cette fraction n'est autre que le rapport de l'accrois-

sèment de la fonction /"'(â?) à l'accroissement 1 or. Elle a donc pour limiie la dérivée de f Qxi) ou f"(x). Finalement nous trouvons :

li"^ Tû = n^) •

En prenant la dilï'érence entre A^y et A^^/î, et désignant par A^y cet accroivssement de troisième espèce, on verrait,

A'V par un raisunnenaiil analogue, que la limite de —^3 est

égale à / ' {x). l/une manière générale on conclurait :

Pour donner un énoncé simple à cette relation lemarquable, on convient d'appeler ;

Différences premières, les accroissements Ay, Ay^, Ay3 ... ;

Différences secondes, les différences des différences premières, c'est-à-dire les quantités A^y, A^y^, A^yg . . . j

Différences n'*"*", les différences des différences 7î — l'ème.^ c'est-à-dire les quantités A'^y, A^y^, A»y3 . . . . j

D'après ces définitions, le théorème que nous venons de démontrer s'énonce ainsi •:

La dérivée d'un ordre quelconque est égale à la limite du rapport de la différence du même ordre à la puissance correspondante de l'accroissement de la variable.

Ainsi se trouve établie une analogie complète entre la dérivée première et toutes les autres dérivées, puisque la dérivée première marque précisément la limite du rapport

de la différence première à la puissance simple de raccroissement de la variable.

La relation générale

lUr^^ fin ^^) ,, ^

fournit des conséquences analoy:ues à celles que nous avons obtenues, au n° 19 pour la dérivée première. On en déduit immédiatement :

a étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que Ao?. De là résulte :

et lim — -^ = 1 .

On peut dire aussi que la différence du /a'*"^ ordre est égale à la différentielle du même ordre, sauf un infiniment petit de Tordre w + 1.

Il est bien remarquable que les dérivées, supérieures à la première, étant définies sans se préoccuper des accroissements de la fonction primitive ; et, d'autre part, les différences, supérieuies à la première, de la fonction primitive, étant définies sans se préoccuper des dérivées, ou trouve entre ces quantités une relation aussi simple et aussi harmonique que celle qui constitue la définition même de la dérivée du premier ordre. Cette circonstance établit,

daas la génération des dérivées successives, un enchaînement encore plus étroit que celui qui résulte de leur propre définition. Aussi, quelques auteurs, partant de la relation dont nous parlons, ont défini à ce point de vue les dérivées des divers ordres. Si Ton adopte une telle définition, il faut ensuite démontrer que la dérivée n'^<"% conçue comme la limite du rapport de la différence i»'^**^ à la puissance correspondante de l'accroissement, est en même temps la dérivée première de la dérivée n — 1'*"*% Cette marche nous semble moins directe et surtout moins naturelle, en ce que la conception de la dérivée première ne suffit plus pour la définition des dérivées supérieures.