DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES

30. — Nous avons supposé, jusqu^à présent, que Téqualion entre x eiy était résolue par rapport à y. Supposons ici que cette résolution préalable n'ait pas été effectuée, et que y soit une fonction implicite de or, déterminée par une équation de la forme

Il s'agit de trouver la dérivée de y par rapporta :r, sans résoudre Téquation.

C'est à quoi l'on parvient par une application immédiate du théorème des fonctions composées; car y étant fonction de x, on peut considérer f{x,y) comme une

CALCUL INFINI rfeSlMAL. 81

fonction de deux variables, fondions de x , nnalogne à fQii^ v) sur laquelle nous raisonnions précédemment. Mais celte fonction étant nulle en vertu de 1 équation supposée f(^x,y) = o j il en résulte que la dérivée est aussi nulle ; de sorte qu'on a :

dy dx

d'où

Ainsi la dérivée de y par rapport à x est égale, en signe contraire , au quotient des deux dérivées de la fonction donnée, prises successivement par rapport à a? et à y. Or, le calcul de ces deux dérivées ne nécessite pas que réquation soit résolue par rapport à y.