INDÉPENDANTES

SU. — Une question peut, avons-nous dit (n° 4), comporter à la fois plusieurs variables indépendantes.

Dans les fonctions ainsi formées, il y a lieu tantôt de prendre la différentielle par rapport à Tune ou à l'autre des variables, tantôt par rapport à toutes. Dans le premier cas la différentielle est dite* par fi elle, et, dans le second cas, totale. .

Le premier cas ne peut offrir de difficulté ; car on doit considérer toutes les autres variables indépendantes comme des quantités constantes; et Ton se retrouve, dès lors, en présence de la différentiation des fondions d'une seule variable.

Le second cas n'entraîne non plus aucune innovation :

gil SFCONDE PARTIE.

c'est une pure application de la règle démontrée au n" 26. Il suffit de prendre les fonctions composantes les plus simples possible , c'est-à-dire réduites aux variables mêmes. On voit ainsi que la différentielle totale est égale à la somme des différentielles partielles.

On peut enfin prendre les dérivées successivement par rapport à diverses variables. De là ce théorème :

Le résultat final de plusieurs différentiations successives reste le même quel que soit Tordre des différentiations.

Pour prendre l'exemple le plus simple, celui d'une fonction de deux variables indépendantes, z=f(xjy), je dis que si Ton prend la dérivée de z par rapport à a?, et ensuite la dérivée de celte dérivée, par rapport à y, le résultat sera le même que si Ton avait pris d'abord la dérivée de z par rapport à y, et ensuite la dérivée de cetie dérivée, par rapport à a?. C'est ce qu'on exprime ainsi :

dydx dxdy *

Il est facile de s'en convaincre en faisant varier x dans la fonction donnée, et y dans la dérivée ainsi obtenue. Ou arrive au même résultat final qu'en faisant varier y d'abord, et ensuite x dans la dérivée. iNous croyons inutile de nous arrêter davantage à celte démonstraiion, semblable à celle dont nous avons fait usage au n° 26 pour la différentiation des fonctions de fonctions.

On peut donner une interprétation géométrique à ce théorème. Supposons que z^^f{x , y) soit l'équation d'une surface. Faire varier x en laissant y constant revient à prendre les points successifs de la courbe obtenue en

coupant la surface par un plan parallèle au plan des zx. Faire varier y en laissant x constant revient à couper la surface par un plan parallèle au plan des zy. Le point de la surface qui correspond h ces deux variations successives est évidemment le même quel que soit Tordre dans lequel on les a effectuées*