SÉRIES DE TAYLOR ET DE MACLAIRIN

S6. — Le calcul différentiel comporte des développements algébriques, distincts du calcul des limites de rapport proprement dit. Nous nous bornerons à men tionner celui qui s*y rattache le plus directement, et qui est connu sous le nom de série de Taylor.

Reprenons la fonction yz=zf(x)j et donnons à â? un accroissement Ajt. On a, d'après les notations adoptées,

ly ou 1 f{x) == /"(.r >+- A a?) — fÇx) ; d'oÙ

Dans cette relation générale, qui subsiste quelles que soient les valeurs de ût et de la?, remplaçons successivement X par :a?-hikp,j?-|-2Aa', o'-hSAâ?, ...j on obtiendra cette suite d expressions :

f{x + 2 Aa;) = /•{«) + 2 1 f{x) + 1' f{x) « ,

f{x+ i^x) = f{x) + ZXf{x) + 3 A' f{x) + A» f{x) ;

et, d'une manière générale :

/•(a;+mA.-c)=^(aj) + mA/-(a:)+îîi^=±^ AY(*)

+ ,,^;3 - AYW-f-

Convenons de laisser constant le produit m Ôlx , quelles que soient les valeurs attribuées séparément à m et à Àâ? ; de telle sorte que si Tune de ces deux quantités augmentei l'autre devra être diminuée en proportion. Soit h ce pro-

duit constant ; d'où m = ^ . Si Ton fait la substitution dans la formule ci-dessus, il vient :

ax+k)=fix)+h^+'JtiM^^+

^ Cette relation se déduit de la précédente en faisant dans celle-ci X = « 4- A a;. Elle devient en elfet, par suite de la substitution ,

Si l'on remplace, dans cette équation, f{x-\'\x) par sa 'valeur f («) 4- A /" («), on trouve :

f(X'\^2^x)^f{x)'\^^f{x)+^[fix)+^fm==f{x]•{■2^f{x)^\-^*f(x).

Les relations suivantes s'obtiennent avec la même facilité.

98 SECONDE PARtlB.

Supposons maintenant que ùlx décroisse indéfiniment:

1 fix) A^ fix) les quantités telles que -^^ , ^\ , . . . auront respectivement pour limites les dérivées f {x) yf'{x) . . • . j les quantités h^ \x ,A — SAo? ,... auront toutes pour limite h, La formule deviendra finalement :

Telle est la relation connue sous le nom de série de Taylor. Remarquons que ce que nous venons de dire touchant la limite commune des quantités A — AdP,A — 2Aâ?^... ne s'applique pas évidemment aux termes dont le rang dans la série est indéfiniment éloigné. Car dans Texpression de pareils termes entrent des facteui*sde la forme Ac—n Ad?, qui ne se réduisent plus à h quand n augmente au delà de toute grandeur. On ne pourrait donc pas dire, à priori, que la série ci-dessus, indéfiniment prolongée, représente le développement exact de /"(xH- A). On est ainsi conduit à rechercher la fonction de ^ et de A qu'il convient d'ajouter à la série, arrêtée à un certain terme, pour reproduire identiquement le premier membre f(^x + h). Le calcul de ce reste, aussi bien que la discussion des conditions de convergence de la série, sont exposés dans tous les Traités *. On trouve que ce reste peut affecter diverses formes, selon les cas ; la plus usuelle est celle-ci :

r "^ * (^ 4- e A) , n étant Tordre

'Voir notamment la Théorie des fonctions analytiques de Lagrange, le Traité clànentaire de la théorie des fonctions de M. Coumot, etc. etc.

CALCUL INFiMITÊSIMAL. 99

de la dérivée qui figure daos le terme auquel ou arrête la série, et 9 étant une quantité comprise entre et 1.

La série de Taylor permet d'exprimer, sous une forme remarquable, Taccroissement ày d*une fonction correspondant à Taccroissement Aj? de la variable. Car si Ton suppose, dans la formule précédente, que h est cet accroissement Aaf , et si Ton remarque que A y = /T[a? + A jr) — f\x) , il Vient :

liy=n^)^x•^-r{x)^^+r{x) ^

D*après cela, la quantité que nous désignions par a, au n*^ 19 ,

est égale au développement f {x) r— + f" {x) -1- . . .

On peut donner une nouvelle forme à l'expression de Ay, en s'appuyant sur ce que, d'une manière générale,

/^"^ (a?) Aar" est égal à rf'*y. De là résulte la relation suivante :

^y^dy+-^d''y-\-^ç~^^d'y-\^

Nous avons ainsi la valeur de la différence en fonction des différentielles des divers ordres.

De la série de Taylor, on déduit une autre série, également importante, dite série de Maclaurin. Pour l'obtenir, il suffit de remarquer que la série de Taylor devant subsister identiquement, lors même que h représenterait une quantité variable , rien n'empêche d'établir le développement par rapport aux puissances de x au lieu de l'établir

par rapport à celles de h. Si ron suppose eiisuile que k devienue nul, la série prend la forme suivante :

ax) = m + X f (o) + ^ no) + ^^ r"(o) +

Les coefficients des puissances de x représentent les valeurs que prennent f{x) , f'{x) , /^' (a?) , . . . quand on fait dans ces diverses fonctions x=^o.

Ainsi se trouve résolu le problème qui consiste à développer une fonction quelconque en une série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de la variable.