GÉOMÉTRIQUE

39. — La recherche de la limite d'une somme est ainsi ramenée à la recherche d'une fonction qui ait pour dérivée la fonction qui figure dans les termes de la somme. La fonction une fois trouvée, il ne reste plus qu'à y substituer les deux valeurs extrêmes de a? et à prendre la différence. Cette dernière partie de l'opération est tout à fait secondaire, comme difficulté de calcul, à côté de la recherche même de la fonction. Aussi est-ce à celte recherche qu'on peut restreindre le calcul intégral proprement dit ^ On

^ Les opérations complémentaires, consistant à remplacer la variable par les valeurs extrêmes et à prendre la dilTérence , sont évidemment du res-

nomme fonction intégrale, ou intégrale indéfinie, ou plus simplement intégrale la fonction qui a pour dérivée M fonction donnée. On nomme intégrale définie la différence obtenue en substituant dans l'intégrale indéfinie les deux valeurs extrêmes de la variable \ ces deux valeurs extrêmes s'appellent les limites de Tintégrale ^

L'intégrale indéfinie n'a donc pas la signification en quelque sorte concrète de l'Intégrale définie : elle lie repré* sente pas une grandeur détermibée , comme e^t la limite d'une somme de termes. Elle n'exprime qu'une relation algébrique, qui consiste en ceci : qu'elle ait pour dérivée la fbnction donnée. On désigne cette Intégrale dans les formules par le même symbole / que les intégrales définies :

seulement il n'y a pas de valeurs extrêmes à indiquer. Ainsi la relation

F{x)==ff{x)

signifie simplement que F (a?) a pour dérivée f(âi) oil pour différentielle f<jû) Ax.

Il suit de là que le signe de llnlégration indéfinie et celui de la différentiatlon se détruisent réciproquement ;

si bien que d j f{x) dx ne signifie pas autre chose que

sort de l'algèbre ordliiaire, et n'oùl rien de commun avec les procédés propres «U calcul infinitésimal.

^ Il ftiut avoir bien soin de ne pas confondre Tacception donnée kl au mot de limite avec celle que nous lui avons donnée jusqu'à présent. Les limites d'une intégrale sont les valeurs déterminées entre lesqueUes est formée la somme qu'on se propose de calculer.

f{x) dx. Car prendre la diflërentielle de / f{ps) dx ou de

F {x)^ c*e8t prendre la quantité f{x) dx^ puisque, par hypothèseï F {x) est la fonction qui a f{x) pour dérivée ou

f{x) dx pour différentielle. De même j dT(x) représente

exactement F(;r)| car prendre l'intégrale de d ¥{x) ou de f{x) dx^ c*est prendre la fonction F {x) elle-même.

Le calcul intégral nous apparaît donc comme réciproque du calcul différentiel. Cest un résultat bien remarquable et qu'il était permis de ne pas entrevoir dès le début, car il n*est pas évident, à priori, que la limite d'une somme de termes de la forme f{x) dx est exprimée par la différence des valeurs de la fonction qui a f{x) pour dérivée.

dx est susceptible d'une

représentation géométrique.

Construisons la courbe A M B {fig. 2) qui a pour équation y:=zf{x)-f soit C la valeur initiale x de la variable, et soit D sa valeur finale xn . Je dis que l'intégrale définie sera représentée par la surface curviligne A B D C comprise entre la courbe, l'axe des abscisses, et les ordonnées extrêmes A C, BD.

En effet, décomposons la surface en bandes telles que M M' P P', au moyen d'ordonnées menées par les divers points de la base correspondant aux accroissements àx , Ax^ , • . . Aar^ ^ de la variable. Si l'on mène M H parallèle à OX , le rectangle MHPF est égal à MP ou /"(x), multiplié par l'accroissement PF. La somme de tous les rectangles ainsi formés, qui a pour expression

2/'(j?) Ajr, converge vers la surface ABDC *, à mesure

FIg. 2.

que chacun des accroissements diminue indéfmimeut. ^ Les intégrales indéfinies ne sont évidemment pas suscep-

^ C'est la conséquence de ce que la somme des parties telles que M H M* converge vers zéro. Nous ne nous occupons pas ici d'établir rigoureusement ce dernier point — qui, du reste, semble assez évident de lui-même — parce que c'est un cas très-particulier d'une proposition beaucoup plus générale que nous démontrerons plus loin.

' On s'appuye assez souvent sur cette représentation géométrique pour démontrer l'existence de l'intégrale de toute fonction d'une seule variable. Biais ce n'est point là une véritable démonstration ; car la construction même de la figure suppose implicitement que la fonction donnée satisfait aui conditions qui servent de base au raisonnement du n<* 37. Que deviendrait, par exemple, la surface qui doit représenter l'intégrale si la fonction et par suite l'ordonnée delà courbe pouvaient devenir infinies pour certaines valeurs de la variable ? Nous avons donc à reproduire les mêmes objections qui nous ont fait repousser la démonstration analogue pour l'existence de la dérivée.

11& SICONDB PAETIB.

tibles de la même interprétation, puisque rien, dans leur expression , ne limite la surface qu'elles devraient représenter. Toutefois, on peut les ramener aux intégrales définies, en imaginant que la valeur initiale de la variable est telle que la fonction intégrale est nulle pour cette valeur, et que la valeur finale garde Texpression indéterminée x. Dans cette hypothèse, et en désignant par x^ la valeur ini-

tiale, rintégrale définie / f{x) dx , ou F (x) — F(a?o) , se

réduit à F (a?), c'est-à-dire à l'intégrale indéfinie ellemême. Quant à la quantité x^ , elle peut fort bien être parement imaginaire, puisque l'équation F (j?) = o n'a pas nécessairement une racine réelle.